薛 翔，周來(lái)水

（南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京210016）

0 引 言

相鄰曲面的連續(xù)拼接對(duì)于自由曲面造型［1］非常重要，因此CAD 和CAGD 領(lǐng)域?qū)W者對(duì)曲面拼接問題進(jìn)行了大量深入的研究，例如代數(shù)曲面間拼接［2，3］、Bezier曲面間拼接［4，5］、NURBS 曲 面 間 拼 接［6，7］、以 及B 樣 條 曲 面 間 拼接［8，9］。由于B樣條曲面被廣泛用于產(chǎn)品設(shè)計(jì)中的自由曲面造型，而且經(jīng)常需要通過(guò)局部拼接來(lái)得到外形更靈活的B樣條組合曲面，因此B 樣條曲面間的局部連續(xù)拼接在產(chǎn)品設(shè)計(jì)時(shí)就顯得更為重要。

在實(shí)際拼接時(shí)，相鄰B 樣條曲面在拼接邊界上經(jīng)常具有不同的邊界定義，所以無(wú)法直接進(jìn)行連續(xù)拼接。通常采用曲面細(xì)分來(lái)恢復(fù)拼接邊界上的一致性，但B 樣條曲面在細(xì)分時(shí)只能加入整行、整列的控制點(diǎn)，其中大多數(shù)控制點(diǎn)對(duì)曲面拼接毫無(wú)用處，只會(huì)造成拼接后曲面上的控制點(diǎn)冗余。相對(duì)于B樣條曲面細(xì)分時(shí)控制點(diǎn)的成批加入，T 樣條曲面［10］在細(xì)分時(shí)可以更靈活地加入局部控制點(diǎn)。

因此，針對(duì)B樣條曲面在局部拼接時(shí)由于曲面細(xì)分而加入冗余控制點(diǎn)的問題，本文提出一種更有效的T樣條曲面局部拼接法。該方法利用T樣條曲面的局部均勻細(xì)分算法，將兩張B樣條曲面局部拼接為一張精簡(jiǎn)的T樣條組合曲面，并通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該拼接法優(yōu)于B樣條曲面細(xì)分拼接法。

1 T樣條曲面基礎(chǔ)

圖1 T 網(wǎng)格及其T 樣條曲面

任何一張B樣條曲面都可以精確轉(zhuǎn)換為一張均勻T網(wǎng)格上的全行列T樣條曲面，如圖2所示。轉(zhuǎn)換后的全行列T樣條曲面在曲面細(xì)分時(shí)可以加入局部控制點(diǎn)，而轉(zhuǎn)換前的B樣條曲面在曲面細(xì)分時(shí)只能加入整行、或者整列的控制點(diǎn)。

圖2 均勻T 網(wǎng)格及其全行列T 樣條曲面

2 局部均勻細(xì)分算法

T 樣條曲面通過(guò)靈活的細(xì)分算法來(lái)加入局部控制點(diǎn)，接下來(lái)將在T 網(wǎng)格上具體描述其中一種較為簡(jiǎn)單的局部均勻細(xì)分算法。

給定一個(gè)T網(wǎng)格TMi，Bia／Bib／Bic／Bid為其上相鄰4個(gè)B樣條函數(shù)。如果這些B樣條函數(shù)在同一方向上具有相同的支持域，就可在T網(wǎng)格上加入一個(gè)新控制點(diǎn)和一個(gè)新B樣條函數(shù)Bi＋1e，如圖3 所示。此時(shí)，TMi就被局部均勻細(xì)分為TMi＋1，Bia／Bib／Bic／Bid也被細(xì)分為Bi＋1a／Bi＋1b／Bi＋1c／Bi＋1d／Bi＋1e。

圖3 T 網(wǎng)格上的局部均勻細(xì)分算法

利用局部均勻細(xì)分算法，就可在T 網(wǎng)格邊界上加入局部行的控制點(diǎn)。如圖4所示，通過(guò)對(duì)TM0進(jìn)行水平方向上的局部均勻細(xì)分，可在TM0邊界上加入3行局部控制點(diǎn)，同時(shí)將TM0局部均勻細(xì)分為TM9。

圖4 T 網(wǎng)格邊界上的局部均勻細(xì)分

3 基于T樣條曲面的局部連續(xù)拼接

設(shè)兩相鄰B樣條曲面為A 和B ，它們需要沿其公共邊界Ab／Bb實(shí)現(xiàn)局部連續(xù)拼接，但Ab與Bb具有不同的邊界定義，并且在這兩張曲面的公共邊界上還存在間隙與重疊，如圖5 （a）所示。如果利用B 樣條曲面細(xì)分來(lái)連續(xù)拼接這兩張曲面，則會(huì)在拼接后的B 樣條組合曲面上加入不必要的冗余控制點(diǎn)。如圖5 （b）所示，曲面A 在局部拼接時(shí)加入了7個(gè)控制點(diǎn)，其中4個(gè)為冗余控制點(diǎn)，因?yàn)樗鼈儗?duì)曲面拼接沒有任何用處。如果利用T 樣條曲面的局部均勻細(xì)分算法來(lái)進(jìn)行連續(xù)拼接，在曲面細(xì)分時(shí)則不加入任何冗余控制點(diǎn)，從而得到一張控制點(diǎn)更少的T 樣條組合曲面。如圖5 （c）所示，曲面A 在局部拼接時(shí)加入的3個(gè)控制點(diǎn)都不是冗余控制點(diǎn)，因?yàn)樗鼈兌加糜谇嫫唇印?/p>

圖5 相鄰曲面在局部邊界上的連續(xù)拼接

接下來(lái)就對(duì)基于T 樣條曲面的局部拼接法進(jìn)行具體描述：

步驟1 先將B樣條曲面A 和B 精確轉(zhuǎn)換為兩張全行列T 樣條曲面A 和B ，它們分別定義在均勻T 網(wǎng)格uTMA與uTMB上。uTMA的節(jié)點(diǎn)距向量為DA／EA，uTMB的節(jié)點(diǎn)距向量為DB／EB。拼接邊界Ab與Bb也分別定義在兩個(gè)邊界T 網(wǎng)格uTMAb與uTMBb上，其各自節(jié)點(diǎn)距向量為DAb／EAb與DBb／EBb。由于uTMAb≠uTMBb，Ab與Bb則定義在不一致的邊界T 網(wǎng)格上，如圖6所示。因此，曲面A和B 無(wú)法直接沿其公共邊界Ab／Bb實(shí)現(xiàn)連續(xù)拼接。

圖6 拼接前不一致的邊界T 網(wǎng)格

步驟2 通過(guò)局部均勻細(xì)分算法在T 網(wǎng)格邊界上加入局部控制點(diǎn)，不僅可使Ab與Bb重新定義在一致的邊界T網(wǎng)格上，而且還不加入任何冗余控制點(diǎn)。如圖7 所示，通過(guò)在uTMA邊界上加入一局部行的控制點(diǎn)，將uTMA局部均勻細(xì)分為TMA，就可使Ab與Bb的邊界T 網(wǎng)格重新恢復(fù)一致，也即uTM′Ab＝uTMBb，其中DAb＝DBb和E′Ab＝EBb。此時(shí)只要重合Ab與Bb的控制點(diǎn)，就可將曲面A 和B沿其局部邊界連續(xù)拼接為一張精簡(jiǎn)的T 樣條組合曲面，如圖5 （c）所示。

4 造型實(shí)例

圖7 局部均勻細(xì)分后一致的邊界T 網(wǎng)格

本文在VC＋＋與VTK 渲染庫(kù)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了基于局部均勻細(xì)分的T 樣條曲面局部拼接法，并將其用于車尾部的后圍板曲面造型。圖8 （a）為待拼接的3張相鄰B 樣條曲面A／B／C。由于曲面A 與曲面B 和C 在各自拼接邊界上具有不同的邊界定義，因此這3張曲面無(wú)法直接實(shí)現(xiàn)局部連續(xù)拼接。為得到圖8 （b）中連續(xù)拼接后的組合曲面，接下來(lái)將利用B樣條曲面細(xì)分拼接法與T 樣條曲面局部拼接法分別構(gòu)建后圍板的曲面模型。

在圖9 （a）中，B樣條曲面A 通過(guò)曲面細(xì)分使其與曲面B 和C 在拼接邊界上具有一致的邊界條件，從而實(shí)現(xiàn)曲面間的連續(xù)拼接。但B樣條曲面A 在細(xì)分時(shí)必須加入兩整行的控制點(diǎn)，總共為40個(gè)控制點(diǎn)，其中28 個(gè)控制點(diǎn)對(duì)曲面拼接沒有任何用處。拼接后的后圍板曲面模型將由一張B樣條組合曲面來(lái)描述。

圖8 后圍板曲面模型的構(gòu)建

圖9 基于曲面細(xì)分的后圍板曲面拼接

如果將這3張B 樣條曲面轉(zhuǎn)換為全行列T 樣條曲面，就可利用局部均勻細(xì)分來(lái)得到拼接邊界上的一致性，從而將這些曲面局部連續(xù)拼接在一起，如圖9 （b）所示。此時(shí)只需在全行列T 樣條曲面A 的兩側(cè)分別加入兩行局部控制點(diǎn)，一共為12個(gè)控制點(diǎn)，這些控制點(diǎn)全部用于曲面拼接，并且只有圖9 （a）中B樣條曲面細(xì)分拼接時(shí)所加控制點(diǎn)的30%。此時(shí)，后圍板曲面模型就可由一張更精簡(jiǎn)的T 樣條組合曲面來(lái)描述，其上的控制點(diǎn)更少。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出的T 樣條曲面局部拼接法較好地解決了相鄰B樣條曲面在局部拼接時(shí)由于曲面細(xì)分而加入冗余控制點(diǎn)的問題。該拼接法利用T 樣條曲面的局部均勻細(xì)分來(lái)實(shí)現(xiàn)拼接邊界上的一致性，同時(shí)不加入任何冗余控制點(diǎn)，因此在局部拼接后可以得到一張更精簡(jiǎn)的組合曲面。最后，通過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該拼接法比B 樣條曲面細(xì)分拼接法更有效，并且還具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。

［1］SHEN Junhua，SHI Guizhen.Review on the free curves and surfaces modeling theories ［J］.Information Technology，2013，37 （3）：184－187 （in Chinese）. ［沈俊華，史貴振.自由曲線曲面造型理論發(fā)展綜述 ［J］.信息技術(shù)，2013，37（3）：184－187.］

［2］LI Yundong，ZHANG Xianjun.Blending of two algebraic surfaces by PDE method ［J］.Journal of DALI University （Natural Science），2010，9 （4）：23－25 （in Chinese）.［李云東，張先君.應(yīng)用PDE方法構(gòu)造兩個(gè)代數(shù)曲面拼接 ［J］.大理學(xué)院學(xué)報(bào) （自然科學(xué)版），2010，9 （4）：23－25.］

［3］LI Yundong，LUO Jing.Smooth blending of two algebraic surface along planar sections［J］.Journal of Chengdu University of Information Technology，2008，23 （3）：333－336 （in Chinese）.［李云東，羅靜.兩個(gè)代數(shù)曲面沿平面截口的光滑拼接［J］.成都信息工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，23 （3）：333－336.］

［4］LIU Huili，MENG Qingxian.Smooth connection of triangular Bézier patches with a common vertex ［J］.Journal of Compu－ter－Aided Design ＆Computer Graphics，2009，21 （8）：1074－1082 （in Chinese）.［劉會(huì)立，孟慶賢.繞一角點(diǎn)的Bézier三角曲面片的光滑拼接 ［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2009，21 （8）：1074－1082.］

［5］HU Gang，ZHANG Nianjuan，QIN Xinqiang，et al.Research on the smooth splice for cubic Bézier curves and surfaces with multiple shape parameters［J］.Journal of Xi’an University of Technology，2009，25 （4）：482－486 （in Chinese）.［胡鋼，張念娟，秦新強(qiáng)，等.帶多形狀參數(shù)的三次Bézier曲線曲面的光 滑 拼 接 ［J］.西 安 理 工 大 學(xué) 學(xué) 報(bào)，2009，25 （4）：482－486.］

［6］YANG Huogen，WU Wendi.A method of G1smooth connection between adjacent NURBS surfaces［J］.Journal of Nanchang University（Natural Science），2010，32 （2）：124－126 （in Chinese）.［楊火根，吳問娣.一類鄰接NURBS 曲面G1 光滑拼接方法［J］.南昌大學(xué)學(xué)報(bào)（理科版），2010，32 （2）：124－126.］

［7］WU Lushen，GAO Xiangqing，XIONG Hui，et al.Improved curve surface seamless splicing based on NURBS ［J］.Optics and Precision Engineering，2013，21 （2）：431－436 （in Chinese）.［吳祿慎，高項(xiàng)清，熊輝，等.改進(jìn)的NURBS曲面片拼接算法 ［J］.光學(xué)精密工程，2013，21 （2）：431－436.］

［8］ZHAO Nailiang，REN Xin，MA Weiyin.Properties and applications of connecting functions for GC1－connected B－spline surfaces［J］.Journal of Computer－Aided Design ＆ Computer Graphics，2009，21 （8）：1061－1065 （in Chinese）.［趙乃良，任歆，馬維銀.B樣條曲面GC1拼接中連接函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用［J］.計(jì) 算 機(jī) 輔 助 設(shè) 計(jì) 與 圖 形 學(xué) 學(xué) 報(bào)，2009，21 （8）：1061－1065.］

［9］JIN Xijuan，YAO Jie，F(xiàn)ANG Kui.Convexity preserving connection for B－spline surfaces［J］.Microcomputer ＆Its Applications，2011，30 （23）：51－53 （in Chinese）. ［金席卷，姚杰，方逵.B－樣條曲面的保凸拼接 ［J］.微型機(jī)與應(yīng)用，2011，30 （23）：51－53.］

［10］LI Xin.T－splines and splines over T－meshes ［D］.Hefei：University of Science and Technology of China，2008：1－130（in Chinese）. ［李新.T 樣條和T 網(wǎng)格上的樣條 ［D］.合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2008：1－130.］