林桂標(biāo)

(廣西欽州市第二中學(xué) 535099)

想要開展對(duì)函數(shù)f(x)=lnx/x的應(yīng)用教學(xué)，首先需要讓學(xué)生們了解該函數(shù)的基本性質(zhì)，摸清它的單調(diào)性、圖象、極值和圖象等.在介紹其單調(diào)性時(shí)，必定會(huì)涉及到函數(shù)求導(dǎo)，在求導(dǎo)過程中又需要先確定函數(shù)定義域.求導(dǎo)后又可以確定函數(shù)的最值與極值.有了上述研究基礎(chǔ)，本文再進(jìn)一步結(jié)合實(shí)例，對(duì)該函數(shù)在不同知識(shí)點(diǎn)考察中的應(yīng)用展開討論.

一、函數(shù)f(x)=lnx/x的基本性質(zhì)

由兩個(gè)基本初等函數(shù)的定義域，確定函數(shù)f(x)=lnx/x的定義域?yàn)?0,+).對(duì)該函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得到如下關(guān)系式求解f′(x)>0，解得0e.綜上可知，f(x)在(0,e)上是增函數(shù)，在(e,+)是減函數(shù)，當(dāng)x=e時(shí)取得極大值也是最大值，并將該函數(shù)圖象繪制如右圖.

二、函數(shù)f(x)=lnx/x的應(yīng)用

應(yīng)用1：比較ab與ba的大小(a>0,b>0)

應(yīng)用1是對(duì)函數(shù)f(x)=lnx/x單調(diào)性的考察，只需要對(duì)函數(shù)形式進(jìn)行簡單變換即可實(shí)現(xiàn).

當(dāng)a、b∈(e,+)，且aba.

例1 (2014年高考湖北卷第22題)π為圓周率，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828….(1)求函數(shù)f(x)=lnx/x的單調(diào)區(qū)間；(2)(文)求e3、3e、eπ、πe、π3和3π這六個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).

解析(1)根據(jù)上文對(duì)函數(shù)f(x)=lnx/x的基本性質(zhì)的介紹，即可確定該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)y=ex、y=3x、y=πx都是單調(diào)增函數(shù)，可得e3

應(yīng)用2：函數(shù)零點(diǎn)判斷

例2 (2013年江蘇高考第20題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù).若函數(shù)g(x)在定義域(-1,+)單調(diào)增，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析函數(shù)g(x)在定義域(-1,+)單調(diào)增，則有g(shù)′(x)=ex-a≥0在定義域內(nèi)恒成立，則a≤(ex)min，即是由函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即是方程的根的個(gè)數(shù)，也就是函數(shù)y=a與函數(shù)f(x)=lnx/x的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).至此，本題由函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題.結(jié)合函數(shù)f(x)=lnx/x的圖象，可知：當(dāng)或者a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

總之，函數(shù)f(x)=lnx/x在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.看似關(guān)系不大的數(shù)列、函數(shù)零點(diǎn)和比較大小問題，通過構(gòu)造出來的輔助函數(shù)，都與函數(shù)f(x)=lnx/x有著千絲萬縷的聯(lián)系.尤其是在高中總復(fù)習(xí)階段，類似的點(diǎn)撥式教學(xué)，將各類知識(shí)點(diǎn)通過某一函數(shù)相聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的舉一反三、觸類旁通，有效提高教學(xué)效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]陸永.函數(shù)f(x)=lnx/x特殊性質(zhì)的研究及應(yīng)用[J].高中數(shù)理化，2017(07).

[2]沈宇斌，李卓，姚凱，劉輝，甘大旺.如何探求函數(shù)f(x)=x～x的單調(diào)性與最小值[J].高中數(shù)理化，2014.