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        垂徑定理牽手勾股定理

        2018-05-09 06:08:47唐雪鋒
        數(shù)理化解題研究 2018年5期
        關(guān)鍵詞:垂徑油面典例

        謝 勇 唐雪鋒

        (湖北省棗陽市興隆一中 441218)

        典例(人教版數(shù)學(xué)教材九年級上冊第83頁練習(xí)第1題)如圖1,在⊙O中,弦AB的長為8 cm,圓心O到AB的距離為3 cm.求⊙O的半徑.

        解過點(diǎn)O作OE⊥AB,E為垂足,連接OA.

        在Rt△AEO中,∵OE2+AE2=OA2,

        ∴⊙O的半徑為5 cm.

        規(guī)律解題過程中涉及垂徑定理和勾股定理.在圖1中,OA是半徑,我們把OE叫做弦心距(即圓心到弦的距離),AE叫做半弦,求解與垂徑定理相關(guān)的圓類計算問題時,通常需要把相關(guān)數(shù)量集中到由它們所組成的直角三角形中,運(yùn)用勾股定理解決.

        思考1 將條件與結(jié)論互換位置思考.如圖2,⊙O的半徑為5 cm,CD為直徑,弦AB⊥CD于點(diǎn)E,OE=3 cm,求弦AB的長.

        點(diǎn)評典例是已知半弦、弦心距,求圓的半徑問題,而本題是已知半徑、弦心距,求半弦的問題.探究幾何問題的一種常用方法就是象這樣,將已知條件與結(jié)論互換位置思考.另外,比較圖1和圖2,發(fā)現(xiàn)在解決有關(guān)弦的問題時,往往只需從圓心作一條與弦垂直的線段即可.

        思考2 變換條件思考.如圖3,在⊙O中,弦AB的長為8 cm,點(diǎn)C在⊙O上,且OC⊥AB,垂足為點(diǎn)E,若CE=2 cm,求⊙O的半徑.

        點(diǎn)評和典例相比,它們均是在同一個直角三角形中運(yùn)用勾股定理計算求解.所不同的是,本題構(gòu)建的是弦長、半徑、弦心距等數(shù)量間的方程模型,這和課本第82頁的例題解法是一樣的.

        思考3 將靜止圖形動態(tài)化思考.如圖4,⊙O的直徑為10 cm,弦AB的長為8 cm,E是弦AB上的一個動點(diǎn),那么OE的長的取值范圍是____.

        分析求OE的長的取值范圍,實(shí)際上就是找OE的最大值和最小值,弦上的點(diǎn)與圓心的距離的最大值就是該圓的半徑,而最小值是弦心距.

        點(diǎn)評動態(tài)化思考圖形,可多取幾個點(diǎn)E,并將它與圓心連接起來,比較后,會發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著垂線段最短的數(shù)學(xué)道理.

        小結(jié)如圖5,在⊙O中,OC⊥AB于點(diǎn)D,AB=l,OA=R,OD=d,CD=h,根據(jù)OA2=AD2+OD2及OC=OD+CD,當(dāng)知道l、R、d、h中的任意兩個量時,就可以求出剩余的兩個量.

        拓廣探索如圖6,在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油,截面如圖,油面寬AB為6分米,如果再注入一些油后,油面AB上升1分米,油面寬變?yōu)?分米,圓柱形油槽直徑MN為____分米.

        解取油面AB上升1分米到達(dá)A′B′的位置,過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C,交A′B′于點(diǎn)D,連接OB,OB′.

        ∴AB=6,A′B′=8,CD=1.

        由勾股定理,得OB2=OC2+CB2,OB′2=OD2+DB′2.

        而OB=OB′,OC=OD+CD=OD+1,

        ∴(OD+1)2+32=OD2+42,解得OD=3.

        ∴MN=2OB′=10(分米).

        故答案填10.

        點(diǎn)評這是一道與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題,求解關(guān)鍵是從中構(gòu)建如典例1那樣的基本圖形,綜合運(yùn)用垂徑定理和勾股定理構(gòu)建方程求解.

        參考文獻(xiàn):

        [1]姜曉翔.基于“自主變式” 引發(fā)“生本探究”[J].中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2016(10):15-17.

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