杭靜

垂徑定理及其推論，主要應用于研究直徑與同圓中的弦、弧之間的垂直平分關系，其內容雖然簡單，但要靈活應用卻非易事.現(xiàn)舉例說明.

1. 利用垂徑平分弦所對的弧構成相等的圓心（周）角

例1 （2013·廣西梧州）如圖1，AB是☉O的直徑，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，則∠ABD=（ ）.

A. 20° B. 46°

C. 55° D. 70°

【解析】連接OD，∵AB垂直于弦CD，∴=，∠BOD=∠BOC=70°；∵OB=OD，∴∠ABD=×（180°-70°）=55°，故選C.

【點評】圓中通常把圓周角和圓心角以及它們所對的弧的度數(shù)進行轉換，怎么轉換需要根據(jù)題目的要求來確定.

2. 利用垂徑垂直平分弦，構成等線段

例2 （2013·湖北黃石）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點D，則AD的長為（ ）.

A. B.

C. D.

【解析】過點C作CF⊥AD，垂足為點F，因為∠ACB=90°，AC=3，BC=4，則AB=5；因為AC×BC=AB×CF，所以CF=；因為AC=3，在Rt△ACF中，利用勾股定理可求得：AF=，因為AF=FD，所以AD=，故選擇C.

【點評】在有關圓的計算問題中，當求圓的一條弦的長時，常常要考慮垂徑定理的應用.本題考查了垂徑定理的應用、面積法、勾股定理等知識，能正確地作出輔助線是解決此題的關鍵.

3. 利用垂徑垂直弦，構造特殊四邊形

例3 （2013·四川自貢）如圖3，在平面直角坐標系中，☉A經過原點O，并且分別與x軸、y軸交于B、C兩點，已知B（8，0），C（0，6），則☉A的半徑為（ ）.

A. 3 B. 4

C. 5 D. 8

【解析】過點A作AD⊥x軸、AE⊥y軸，垂足分別為D、E. ∵B（8，0），C（0，6），∴OB=8，OC=6，∴OD=4，OE=3，∵∠BOC=∠ADO=∠AEO=90°，∴四邊形ADOE是矩形，∴AD=OE=3，∴AO===5. 故選C.

【點評】本題考查平面直角坐標系、垂徑定理、矩形的判定等知識.找出直徑或半徑是解答本題的關鍵.

4. 利用垂徑垂直弦，構造特殊三角形

例4 （ 2013·黑龍江牡丹江）在半徑為13的☉O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距離為7，若AB=24，則CD的長為（ ）.

A. 10 B. 4

C. 10或4 D. 10或2

【解析】連接OA，OC. 過O作直線EF⊥CD于E，交AB于F，則EF⊥AB. ∵OF⊥AB，OE⊥CD，∴AF=AB=12，CE=CD. 在 Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理，得OF==5. ①當AB和CD在圓心的兩側時，如圖4，則OE=EF-OF=2，在Rt△COE中，據(jù)勾股定理，得CE==，CD=2；②當AB和CD在圓心的同側時，如圖5，則OE=EF+OF=12，在Rt△COE中，據(jù)勾股定理，得CE==5，CD=10. 則CD的長為10或2. 選D.

【點評】本題考查垂徑定理和勾股定理，作輔助線構造應用垂徑定理和勾股定理的基本圖形是關鍵. 由于本題沒有畫出圖形，所以兩弦的位置有兩種可能：兩弦在圓心的同側或兩弦在圓心的兩側.

小試身手

1. AB是☉O的弦，OC⊥AB于C，若AB=2 cm，OC=1 cm，則☉O的半徑長為______ cm.

2. 圓的半徑為13 cm，兩弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，則兩弦AB，CD的距離是（ ）.

A. 7 cm B. 17 cm

C. 12 cm D. 7 cm或17 cm

（作者單位：江蘇省興化市第一中學）