張俊 ，李天勻 ，朱翔 ，郭文杰 ，陳繁

1華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

2船舶與海洋水動力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430074

3高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海200240

0 引 言

開口結(jié)構(gòu)具有很多優(yōu)勢，其可以在保證一定強(qiáng)度的前提下減輕結(jié)構(gòu)重量，還可以用于各種特殊的用途，使用范圍非常廣泛，尤其在船舶領(lǐng)域，如集裝箱船的大開口結(jié)構(gòu)、散貨船的貨倉開口、船體主體部分的人孔、排水孔以及上層建筑的結(jié)構(gòu)開口等。但同時(shí)開口也會影響結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、穩(wěn)定性以及振動特性等性能，因此對開口結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究具有重要意義。

近百年來，國內(nèi)外的專家學(xué)者們對開口結(jié)構(gòu)進(jìn)行了大量研究，各種成果層出不窮。Cho等［1］應(yīng)用假定振型法，通過運(yùn)動的拉格朗日方程導(dǎo)出自然頻率，對任意邊界條件下開口板的自由振動特性進(jìn)行研究，分析了開口大小對板結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響。Lu等［2］在帶有2個(gè)孔的平板的應(yīng)力解析解中對帶有1個(gè)橢圓孔和1個(gè)圓孔的平板提出了解析解，并采用復(fù)變函數(shù)的方法將求解區(qū)域映射成了一個(gè)圓環(huán)，原區(qū)域求解的應(yīng)力分布是這個(gè)圓環(huán)的特殊條件。同時(shí)，還具體介紹了映射函數(shù)、應(yīng)力邊界條件的復(fù)數(shù)表示法等。Kumari等［3］同樣應(yīng)用復(fù)變函數(shù)的方法，通過算例分析了帶有不同大小孔的平板的應(yīng)力分布。Jafari等［4］針對不同形狀、不同大小開口矩形板的應(yīng)力問題進(jìn)行了求解，并針對不同形狀、不同大小開口矩形板的應(yīng)力分布給出了關(guān)系圖像，其采用的也是復(fù)變函數(shù)解析方法。除此之外，Rayleigh-Ritz法也被用于求解帶開口和裂紋的結(jié)構(gòu)問題。邱永康等［5］和王旻昊等［6］在任意邊界條件下中心開矩形口矩形板的自由振動特性分析和基于傅立葉級數(shù)法的含開口板的振動固有特性分析中，對開矩形口的矩形板的問題進(jìn)行了系統(tǒng)分析，討論了開口位置、開口大小等對矩形板自由振動特性的影響。李凱等［7］在基于能量泛函的開口矩形板自由振動特性分析中，采用區(qū)域分解及能量泛函的方法計(jì)算了開口矩形板的自由振動頻率，得出了振型。

本文將基于Rayleigh-Ritz法，對任意邊界條件下典型形狀開口矩形薄板進(jìn)行分析。首先，采用改進(jìn)的傅里葉級數(shù)法［8-11］模擬求解域的位移容許函數(shù)，解決以往函數(shù)邊界不連續(xù)的問題；為求解復(fù)雜邊界條件下的結(jié)構(gòu)自由振動，采用線性分布的位移約束彈簧和轉(zhuǎn)角約束彈簧，通過改變彈簧的剛度系數(shù)模擬各種經(jīng)典邊界條件。然后，通過算例說明方法良好的收斂性和精確性。最后，對比文獻(xiàn)［5-7］中對矩形板開矩形口的區(qū)域劃分方法，本文將采取不將整塊板劃分為若干個(gè)小矩形板塊的方法，而是直接對整個(gè)求解域進(jìn)行求解，以較準(zhǔn)確地計(jì)算諸如圓形開口、橢圓形開口這種帶有曲邊的開口形狀，大大減少計(jì)算量，從而為之后計(jì)算任意形狀開口問題提供可能。

1 理論分析

1.1 開口矩形板的物理模型

本文研究的物理模型為中心開圓形、橢圓形開口的矩形薄板，如圖1所示。開口矩形板的長為a，寬為b，板厚為h，圓形、橢圓形（其長軸與短軸和矩形邊界平行）開口的中心與矩形板中心重合。

為了方便計(jì)算任意邊界條件下開口矩形板的自由振動固有頻率，本文采用沿邊界均勻分布的位移約束彈簧k和轉(zhuǎn)角約束彈簧K，通過改變兩類彈簧的剛度系數(shù)來簡便、快捷地模擬各種任意邊界條件。各種經(jīng)典的邊界條件及對應(yīng)的彈簧剛度系數(shù)如表1所示。

表1 經(jīng)典邊界條件下的彈簧剛度系數(shù)Table 1 Values of spring stiffness of classical boundary conditions

根據(jù)以上彈簧模擬任意邊界條件的方法，可得到開口矩形薄板的物理模型如圖2所示。

由于本文的研究對象具有高度的對稱性，為簡化計(jì)算，只研究1/4的結(jié)構(gòu)，通過對稱性的正對稱和反對稱的性質(zhì)來得出整體開口矩形板的固有頻率。本文研究對象的計(jì)算模型如圖3所示。

本文選取改進(jìn)的傅里葉級數(shù)方法來作為開口矩形板的位移容許函數(shù)，可表示為［11］：

式中：Amn為未知傅里葉級數(shù)展開系數(shù)；簡諧時(shí)間因子eiωt表示開口矩形板垂向位移與時(shí)間相關(guān)的項(xiàng)；M，N為截?cái)囗?xiàng)數(shù)；?m(x)為x方向的容許梁函數(shù)；ψn(y)為y方向的容許梁函數(shù)。

根據(jù)改進(jìn)的傅里葉級數(shù)方法，式（1）中的?m(x)與ψn(y)可分別表示為：

式中：m=1，2，3，…，M；n=1，2，3，…，N。

1.2 含開口板的自由振動能量分析

本文基于Rayleigh-Ritz法，首先求得結(jié)構(gòu)整體的能量方程，然后再針對傅里葉級數(shù)展開中的未知系數(shù)求極值，將問題轉(zhuǎn)化為求解標(biāo)準(zhǔn)特征值的問題。下面，將以開圓口的矩形薄板為例進(jìn)行分析。

未開口板結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能為：

開口部分結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能為：

未開口矩形薄板的動能可以表示為：

開口部分的動能可以表示為：

式中，ρ為材料的密度。

儲存在邊界約束彈簧中的彈簧勢能為

式中：kx0，ky0，kxa，kyb分別為x=0，y=0，x=a/2，y=b/2處位移約束彈簧的剛度值；Kx0，Ky0，Kxa，Kyb分別為x=0，y=0，x=a/2，y=b/2處轉(zhuǎn)角約束彈簧的剛度值；R為開口半徑。

于是，整體結(jié)構(gòu)的能量泛函即可表示為［12］

對未知的傅里葉級數(shù)展開求極值，可得

這樣，就可以將自由振動的問題轉(zhuǎn)化成求特征值的問題，簡化計(jì)算。具體可以表示為

式中：K=Ks+Kp，其中Ks為彈簧能量的剛度矩陣，Kp為整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的剛度矩陣；M為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣；A為未知的Fourier系數(shù)向量；ω為圓頻率。

2 數(shù)值計(jì)算與分析

本文對復(fù)雜邊界條件下典型形狀開口矩形板的自由振動特性進(jìn)行分析計(jì)算，比較不同開口大小和不同開口形狀對開口板固有頻率的影響，并與有限元軟件ANSYS的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，分析說明本文方法的精確性。選用鋼材，材料的參數(shù)取值取為：材料密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3，材料的楊氏模量E=2.1×1011Pa。將開圓口的矩形薄板作為收斂性分析的研究對象。

2.1 收斂性分析

上文的分析表明，位移容許函數(shù)中的截?cái)囗?xiàng)數(shù)M，N的取值對結(jié)果的精度影響很大。在模擬邊界條件時(shí)，剛度系數(shù)可能需要取∞，由于應(yīng)用Matlab進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)彈簧的剛度系數(shù)只能取一個(gè)有限的、具體的值，故剛度系數(shù)的取值對結(jié)果的影響也很大。本次收斂性分析主要是針對以上2個(gè)量進(jìn)行。首先，對截?cái)囗?xiàng)數(shù)M，N的取值進(jìn)行收斂性分析。選取四邊自由（F-F-F-F）的開圓口的矩形板作為研究對象，相關(guān)幾何參數(shù)如下：矩形板長a=6 m，寬 b=4 m，厚度 h=0.02 m，內(nèi)開口半徑R=1 m。計(jì)算其前6階的固有頻率值（單位：Hz），為便于分析，這里取M=N（表2）。

表2 四邊自由（F-F-F-F）邊界條件下開圓口矩形板的固有頻率Table 2 Natural frequencies of rectangular plate with a circular opening in F-F-F-F boundary

分析表2中的數(shù)據(jù)可知：隨著截?cái)囗?xiàng)數(shù)M，N的不斷增加，圓形開口矩形薄板的固有頻率逐漸趨于穩(wěn)定，當(dāng)M=N=12時(shí)，固有頻率已基本不再發(fā)生變化?？梢哉J(rèn)為，當(dāng)截?cái)囗?xiàng)數(shù)取12時(shí)采用本文的方法已經(jīng)收斂，證明了改進(jìn)傅里葉級數(shù)方法在計(jì)算開口板振動特性方面的收斂性。表中計(jì)算數(shù)據(jù)與有限元軟件計(jì)算結(jié)果相差很小，證明了計(jì)算的精確性。后面的計(jì)算中將均取截?cái)囗?xiàng)M=N=12。

然后，對彈簧的剛度系數(shù)取值進(jìn)行收斂性分析。選取固支（C-C-C-C）邊界條件下開圓口的矩形板作為研究對象，相關(guān)幾何參數(shù)如下：矩形板長a=6 m，寬b=4 m，厚度h=0.02 m，內(nèi)開口半徑R=1 m，計(jì)算其前6階的固有頻率值。根據(jù)表2的分析，這里取截?cái)囗?xiàng)數(shù)M=N=12，分析不同彈簧剛度系數(shù)下（K=k=10r）的計(jì)算結(jié)果，結(jié)果如表3所示。

表3 M=N=12時(shí)固支（C-C-C-C）邊界條件下開圓口矩形板的固有頻率Table 3 Natural frequencies of rectangular plate with a circularopening in C-C-C-C boundary（M=N=12）

表3中的數(shù)據(jù)表明：隨著彈簧剛度系數(shù)值的不斷增加，圓形開口矩形薄板的固有頻率逐漸趨于穩(wěn)定，當(dāng)指數(shù)r=14時(shí)，固有頻率已基本不再發(fā)生變化，可以認(rèn)為當(dāng)彈簧剛度指數(shù)r=14時(shí)即可代替某些彈簧剛度系數(shù)取無窮的情況，例如簡支時(shí)位移彈簧的剛度系數(shù)、固支時(shí)位移彈簧和轉(zhuǎn)角彈簧的剛度系數(shù)等，且取得的結(jié)果較為精確，具有良好的收斂性和準(zhǔn)確性。該計(jì)算數(shù)據(jù)與有限元軟件計(jì)算結(jié)果吻合較好。所以在后面計(jì)算中，將取彈簧剛度系數(shù)k=1014N/m，K=1014（N·m）/rad來代替取∞時(shí)模擬的簡支、固支邊界。

2.2 準(zhǔn)確性分析

下面對本文方法的準(zhǔn)確性進(jìn)行分析。選取固支邊界條件下開圓口的矩形板和簡支（S-S-S-S）邊界條件下開橢圓口的矩形板作為研究對象，相關(guān)幾何參數(shù)如下：矩形板長a=6 m，寬b=4 m，厚度h=0.02 m，開口半徑R=1 m，橢圓長半軸短半軸，計(jì)算其前6階的固有頻率值。為便于分析，這里取M=N，并與有限元軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比，結(jié)果如表4和表5所示。

表4 固支邊界條件下開圓口矩形板的固有頻率對比Table 4 Comparison ofnatural frequencies of rectangular plate with a circular opening in C-C-C-C boundary

表5 簡支（S-S-S-S）條件下開橢圓口矩形板的固有頻率對比Table 5 Comparison ofnatural frequencies of rectangular plate with an ellipse opening in S-S-S-S boundary

提取前4階固有頻率的模態(tài)振型圖，并與有限元仿真軟件（ANSYS）振型圖進(jìn)行對比，如圖4所示。圖4中，每個(gè)分圖中的上圖為采用本文方法所得振型，下圖為有限元方法所得振型。圖4表明計(jì)算所得振型與有限元方法所得振型基本一致，證明了本文方法的正確性。

選取固支邊界條件下開圓口矩形板為研究對象，計(jì)算不同大小開口下開口板的自由振動頻率。相關(guān)幾何參數(shù)如下：矩形板長a=6 m，寬b=4 m，厚度h=0.02 m，計(jì)算開口半徑R=0（無開口），0.5，0.75，1.0，1.25，1.5 m時(shí)，其前6階的固有頻率值。為便于分析，取M=N。與有限元軟件計(jì)算結(jié)果的對比如表6所示。

表6 固支邊界條件下開不同面積圓口矩形板的固有頻率Table 6 Natural frequencies of rectangular plate with different areas of circular opening in C-C-C-C boundary

2.3 開口尺寸對開口板自由振動性能的影響分析

開口尺寸對開口板自由振動特性有著最為直接的影響，利用本文方法，通過對不同開口面積開口板的自由振動固有頻率進(jìn)行計(jì)算分析，總結(jié)了開口板的自由振動特性與開口面積的定性關(guān)系。

研究開口尺寸對開口板振動特性的影響。在固支邊界條件下，研究開圓口矩形薄板的自由振動特性。矩形板長a=6 m，寬b=4 m，厚度h=0.02 m，設(shè)開口中心與板的中心重合，為開口半徑分別為R=0（無開口），0.5，0.75，1.0，1.25，1.5 m的圓形，對比分析開口板前6階的固有頻率值。

為了更加直觀地得到簡支、固支條件下開口矩形板的自由振動特性規(guī)律，將計(jì)算數(shù)據(jù)繪制成如圖5、圖6所示。

從圖5中可以看出，對于第1階固有頻率，在固支條件下，隨著開口面積的增大，自由振動固有頻率也增大，但其對高階自由振動固有頻率的影響并不明顯。對于上述現(xiàn)象可能的解釋如下：固有頻率與結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量都有關(guān)系。在板的中心開口不僅會降低結(jié)構(gòu)的剛度，也會降低結(jié)構(gòu)的質(zhì)量，而對于簡支和固支邊界條件下的矩形板，其第1階振型的形狀極為相似，均是中心部分具有較大的位移，所以在板中心開口會使結(jié)構(gòu)質(zhì)量降低得更加迅速，從而導(dǎo)致其整體頻率呈上升趨勢。但對于其他階的頻率，因其振型不一定是中心的位移較大，所以在中心開口結(jié)構(gòu)的質(zhì)量不一定會降低得更多，故固有頻率也就不一定呈上升趨勢。

通過對比圖5和圖6可以看出，對于簡支和固支邊界條件，開口大小對固有頻率的影響趨勢基本一致，這可能是因?yàn)樵诤喼Ш凸讨l件下，開口矩形板的振型類似，因而有上述現(xiàn)象。

2.4 開口形狀對開口板自由振動性能影響分析

最后討論開口形狀對開口板自由振動特性的影響。在固支邊界條件下，矩形薄板長a=6 m，寬b=4 m，厚度h=0.02 m，內(nèi)開口面積S=π m2，對比矩形薄板開矩形、圓形、橢圓形口時(shí)前3階固有頻率的變化，提取前3階固有頻率計(jì)算結(jié)果如表7所示。

表7 固支邊界條件下不同開口形狀開口板的固有頻率Table 7 Natural frequenciesofrectangularplatewith different shaped openings in C-C-C-C boundary

為了更加直觀地表示開口形狀對固有頻率的影響，將計(jì)算數(shù)據(jù)繪制成了如圖7所示的圖像。

由圖7可以看出，對于第1階固有頻率，當(dāng)開口面積相同時(shí)，自由振動的第1階固有頻率幾乎沒變化，因而可以得出結(jié)論：當(dāng)開口很小時(shí)，開口板自由振動的第1階固有頻率值與形狀基本無關(guān)。而高階的固有頻率與開口形狀則有一定的關(guān)系。對于上述現(xiàn)象的解釋如下：對于固支邊界條件，第1階振型的形變主要集中在中心部分，而本文研究的是中心開口的矩形薄板，中心變形大的地方均被開口截掉了，而邊緣部分的影響則不大，所以剛度變化、質(zhì)量變化對不同形狀的開口來說幾乎相同。文獻(xiàn)［6］的研究也表明，對于不同的開口位置來說，開口越靠近中心部分，開口板的首階固有頻率就越小，這也可以作為上述解釋的證明。

3 結(jié) 語

本文基于Rayleigh-Ritz法，將開口矩形板的自由振動問題轉(zhuǎn)化為了求特征值的問題，通過采用改進(jìn)的傅里葉級數(shù)方法模擬位移容許函數(shù)，應(yīng)用沿邊界線性分布的位移約束彈簧和轉(zhuǎn)角約束彈簧模擬各種任意邊界條件，研究了典型開口形狀矩形薄板的自由振動特性。通過典型的算例，將所得頻率和振型結(jié)果與有限元模擬給出的頻率、振型結(jié)果進(jìn)行了對比，證明了本方法的收斂性和準(zhǔn)確性。同時(shí)，還探討了不同開口大小和開口形狀對開口矩形薄板自由振動的影響，通過結(jié)合趨勢圖與振型圖，得出開口對結(jié)構(gòu)自由振動固有頻率的影響與對應(yīng)頻率階數(shù)的振型有關(guān)，在某階頻率所對應(yīng)振型振幅較大處，開口將更加顯著地增加該階的固有頻率。

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