劉成龍　鄧萬(wàn)強(qiáng)

[摘 要] 以一道區(qū)級(jí)調(diào)考錯(cuò)題為例，展示了從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)的四個(gè)方面：（1）發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤——學(xué)習(xí)的起點(diǎn)；（2）分析錯(cuò)誤——學(xué)習(xí)的核心；（3）糾正錯(cuò)誤——學(xué)習(xí)的目標(biāo)；（4）問(wèn)題提升——學(xué)習(xí)的升華.

[關(guān)鍵詞] 發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤；分析錯(cuò)誤；糾正錯(cuò)誤；問(wèn)題提升

從科學(xué)的發(fā)展歷程來(lái)看，通向真理的道路常常是以錯(cuò)誤為基石. 一個(gè)較為圓滿的成果背后包含工作者們無(wú)數(shù)次從錯(cuò)誤到正確的修正與調(diào)整. 數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步也毫無(wú)例外. 比如：1640年前后法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬斷言素?cái)?shù)表達(dá)式為：對(duì)于任何非負(fù)整數(shù)n，表達(dá)式F=22n+1均給出素?cái)?shù). 大約100年后，1732年數(shù)學(xué)大師歐拉發(fā)現(xiàn)F=225+1=641×6700417不是素?cái)?shù)，從而推翻了費(fèi)馬猜想. 又如：在微積分的蓬勃發(fā)展時(shí)期，引進(jìn)一致連續(xù)概念以前，包括柯西在內(nèi)數(shù)學(xué)家們對(duì)收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分都深信不疑，幾乎所有的數(shù)學(xué)家都確信連續(xù)函數(shù)一定是可微的. 1872年魏爾斯特拉斯給出了歷史上第一個(gè)處處連續(xù)但不可微的例子，進(jìn)而引發(fā)了對(duì)函數(shù)具有“反?！毙詰B(tài)的深入研究. 可見(jiàn)，錯(cuò)誤非但不是數(shù)學(xué)中的“包袱”，反而是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的一劑良藥，正是錯(cuò)誤和正確的交織推動(dòng)著數(shù)學(xué)的向前發(fā)展. “從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)”是新課程背景下提倡的一種重要學(xué)習(xí)策略. 它體現(xiàn)了教學(xué)方式的深刻變革，是現(xiàn)代教學(xué)觀下的一種教育機(jī)智. 文中以一道區(qū)級(jí)調(diào)考試錯(cuò)題為例，展示“從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)”的過(guò)程.

案例 （某市區(qū)級(jí)調(diào)考試題）如圖1，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的三邊上，E是AC的中點(diǎn)，AD，BE，CF交于一點(diǎn)G，BD=2DC，S=2，S=22，則△DGC的面積是______.

為便于敘述這里先對(duì)案例中試題的條件進(jìn)行編號(hào)：

①E是AC的中點(diǎn)；

②AD，BE，CF交于一點(diǎn)G；

③BD=2DC；

④S=2；

⑤S=22.

發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤——學(xué)習(xí)的起點(diǎn)

這里給出試題的兩種解法：

解法1 ①⑤S=11 ④S=9 ③S =3.

解法2 ③⑤S=①④S=4S=.

解法1、2都正確，但出現(xiàn)了兩種不同的結(jié)果，這是為什么呢？

分析錯(cuò)誤——學(xué)習(xí)的核心

法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪指出：“即使優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家也經(jīng)常犯錯(cuò)，不過(guò)他能很快地發(fā)現(xiàn)并糾正”.

分析1 ==， 由①⑤可知S=9，S=4，故=，這與③矛盾；

分析2 ===，設(shè)S=x，則S=x，S=4x，故S=5x=11，解得x=≠2；即S≠2，這與④矛盾；

分析3 當(dāng)S=2時(shí)，由分析2可知S=8，故S=10，解得S=20，這與⑤矛盾；

分析4 由前文分析可知S=，S=3，所以S=-3-2-2=，故A，D，G不共線，這與②矛盾.

可以發(fā)現(xiàn)，原題的條件間互不相容，是一道錯(cuò)題！為了加深對(duì)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，下面看看試題的背景：

塞瓦定理 如圖（原題圖），G是S內(nèi)一點(diǎn)，連接AG，BG，CG，并分別延長(zhǎng)交BC，CA，AB于D，E，F(xiàn)，則··=1.

因?yàn)椤ぁ?··，由塞瓦定理可得：··=1或S·S·S=S·S·S.

可以發(fā)現(xiàn)G點(diǎn)一旦確定，三角形每條邊上的兩線段的比值確定，且G與任意兩定點(diǎn)構(gòu)成三角形中的兩小三角形比值確定. 這可以看成是此模型下的內(nèi)在屬性. 于是G、線段比值、面積大小必須達(dá)到內(nèi)在和諧，否則將會(huì)出現(xiàn)相互矛盾的情形. 文中的錯(cuò)因正是由G、線段比值、面積大小間矛盾所致.

糾正錯(cuò)誤——學(xué)習(xí)的目標(biāo)

該題目的糾正方式有以下幾種：

改進(jìn)1 其余條件不變，將⑤中的S=22改為S=20即可.

改進(jìn)2 其余條件不變，將④中的S=2改為S=即可.

改進(jìn)3 其余條件不變，將③中的BD=2DC改為BD=DC不共線即可.

改進(jìn)4 其余條件不變，將②中的AD，BE，CF交于一點(diǎn)G改為B，G，E不共線即可.

改進(jìn)5 其余條件不變，將②中的AD，BE，CF交于一點(diǎn)G改為A，G，D不共線即可.

問(wèn)題提升——學(xué)習(xí)的升華

對(duì)錯(cuò)題深入了解后，“你能把問(wèn)題推廣到更一般的情形嗎？”（波利亞語(yǔ)）.

推廣1 如圖（原題圖），AD，BE，CF交于一點(diǎn)G，BD=mDC，AE=nEC，S=22，則△DGC的面積是S=.

證明 設(shè)S=x，S=y，由BD=mDC，AE=nEC，可得S=mx，S=ny，

于是（m+1）x+y=，x+（n+1）y=， 解得x=，y=， 即S=.

推廣2 如圖，若△ABC的面積為1，BG ∶ GF ∶ FC=m ∶ 1 ∶ n，CE ∶ DE ∶ AD=s ∶ 1 ∶ t，

則S=-.

證明 設(shè)S=mx，S=sy，由題意得S=（n+1）x，S=（t+1）y，

于是mx+（n+1）x+sy=，（n+1）x+sy+（t+1）y=，解得x=，y=-.

令S=nu，S=sv，則S=（m+1）u，S=（t+1）v，

得nu+（m+1）u+sv=，nu+sv+（t+1）v=.

解得

u=，v=-.

故S=S-S-S

=-mx-nu-sv

=-.

特別地，當(dāng)m=n=s=t=1時(shí)，有AD=DE=EC，BG=GF=FC， 此時(shí)S=.

教學(xué)啟示

文中的案例展示了“從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)”的過(guò)程：發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤和問(wèn)題提升，其中發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤是“學(xué)習(xí)”的起點(diǎn)、分析錯(cuò)誤是“學(xué)習(xí)”的核心、糾正錯(cuò)誤是“學(xué)習(xí)”的目標(biāo)，問(wèn)題提升是“學(xué)習(xí)”的升華. 同時(shí)，錯(cuò)誤分析是“學(xué)習(xí)”的難點(diǎn)，分析錯(cuò)誤是“學(xué)習(xí)”的關(guān)鍵點(diǎn)，問(wèn)題提升是整個(gè)“學(xué)習(xí)”的亮點(diǎn). 整個(gè)過(guò)程在析錯(cuò)、糾錯(cuò)中揭示了錯(cuò)誤的本質(zhì)，在提升中將案例“學(xué)習(xí)”推向了高潮. 可見(jiàn)，“從錯(cuò)誤中學(xué)習(xí)”是一種有益的學(xué)習(xí)方式. 教學(xué)中的錯(cuò)誤很多，包括知識(shí)錯(cuò)誤、邏輯錯(cuò)誤、心理錯(cuò)誤、策略錯(cuò)誤等等. 面對(duì)錯(cuò)誤，我們需要有容納錯(cuò)誤的胸懷，而不是對(duì)錯(cuò)誤的簡(jiǎn)單摒棄. 教學(xué)中犯錯(cuò)的主體有教師、學(xué)生以及知識(shí)載體（教材、教輔等），尤其面臨學(xué)生的錯(cuò)誤，我們應(yīng)該給予更多的寬容與接納. 因此，將錯(cuò)誤開(kāi)發(fā)成寶貴的學(xué)習(xí)資源、教育資源我們責(zé)無(wú)旁貸！