魏智

[摘要]引入平面向量的概念后，幾何圖形與代數(shù)運(yùn)算得以交融，圖形語言的直觀美與向量語言的簡潔美融會(huì)貫通.中學(xué)生對(duì)平面向量之所以“望而生畏”往往是由于對(duì)平面向量的雙屬性理解不透.通過對(duì)以平行四邊形為內(nèi)核的一類平面向量問題進(jìn)行深入分析，能讓學(xué)生更好地理解平面向量的數(shù)形之美.

[關(guān)鍵詞]平面向量；平行四邊形；數(shù)形結(jié)合

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]16746058（2018）05002502

引入平面向量后，全等和平行（平移）、相似、垂直等就可轉(zhuǎn)化為向量的加減法、數(shù)乘向量、數(shù)量積等運(yùn)算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系，實(shí)現(xiàn)“形”與“數(shù)”的交融，貫通圖形語言的直觀美與向量語言的簡潔美.課標(biāo)要求，通過向量知識(shí)與方法的學(xué)習(xí)，學(xué)生能理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)與物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問題的能力.實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往由于對(duì)向量的雙屬性特征理解不透，而畏于處理向量與幾何的綜合題目.本文對(duì)以平行四邊形為內(nèi)核的一類平面向量問題進(jìn)行分析.

典型例題：已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個(gè)命題：

P1：|a+b|>1θ∈0，2π3

P2：|a+b|>1θ∈2π3，π

P3：|a-b|>1θ∈0，π3

P4：|a-b|>1θ∈π3，π

其中的真命題是.

分析：此題可運(yùn)用公式|a|2=a2、數(shù)量積公式及簡單的余弦函數(shù)知識(shí)得出答案.不過，稍加分析不難發(fā)現(xiàn)此題實(shí)際是一個(gè)以單位向量a、b為鄰邊的平行四邊形模型，其實(shí)質(zhì)是保持平行四邊形的邊長不變，研究角的變化.

如圖1所示，不妨設(shè)|a+b|=|AC|，|a-b|=|DB|.

當(dāng)|a+b|=1時(shí)，|AC|=|DC|=|AD|，即△ADC是等邊三角形，

此時(shí)∠A=2π3；

|a+b|>1，意味著線段AC變長，此時(shí)θ變小，

即θ∈0，2π3

.

同理|a-b|=1時(shí)，|AD|=|AB|=|BD|，即△ABD是等邊三角形，此時(shí)

∠A=

π3

；|a-b|>1，意味著線段BD變長，此時(shí)θ變大，即θ∈

π3，π

.

變式1：向量a，b滿足：|a|=|b|=|a+b|=1，則|a-tb|（t∈R）的最小值是.

分析：在平行四邊形ABCD中，|AB|=|AD|=

|AC|=1，∠DAC=∠BAC=60°，∠A=120°.由向量減法的三角形法則可知，向量a-tb的起點(diǎn)在

直線DA上，終點(diǎn)是點(diǎn)B.|a-tb|就是指B點(diǎn)與直線DA上任意

點(diǎn)之間的線段長度.

過點(diǎn)B引直線DA的垂線BH交DA于點(diǎn)H（如圖2所示），

則|a-tb|的最小值就是垂線段DH的長，即32.

變式2：已知a、b、c是單位向量，且|a+b|=3，

則（a-c）·（b+c）的取值范圍是.

分析：如圖3所示，在菱形ABCD中，|AD|=|DC|=1，

|AC|=3.直角三角形△AMD中，cos∠DAM=32

，則∠DAM=30°，

所以∠A=60°，|DB|=1，

即|a-b|=1.

又（a-b）·c=|a-b|·|c|cosθ（θ是a-b與c的夾角），且-1≤cosθ≤1.

所以-1≤（a-b）·c≤1，

所以（a-c）·（b+c）=a·b+（a-b）·c-1=（a-b）·c-12，

所以（a-c）·（b+c）的取值范圍是-32

12

.

變式3：若a，b是兩個(gè)非零向量，且|a|=|b|=

λ|a+b|，λ∈22，1

，則向量b與a-b夾角的取值范圍是.

分析：在平行四邊形ABCD中，當(dāng)∠BAC從0°增大到180°時(shí)，|AC|從2|a|連續(xù)減小到0，同時(shí)|DB|從0連續(xù)增大到2|a|，當(dāng)然∠ADB亦是連續(xù)變化.因此，只需計(jì)算λ=22

及λ=1的情況即可.

當(dāng)λ=22時(shí)，∠D=90°，則∠ADB=45°，此時(shí)b與a-b的夾角是135°.

當(dāng)λ=1時(shí)，∠D=60°，則∠ADB=30°，此時(shí)b與a-b的夾角是150°.

所以，b與a-b的夾角的取值范圍是

3π4，5π6

.

變式4：已知向量a、b滿足：cos〈a+b，a〉=12，

cos〈a+b，b〉=22，則|a||b|=.

分析：此題仍然是一個(gè)平行四邊形模型，本質(zhì)是保持角度

不變，研究邊的相關(guān)問題.如圖4所示，平行四邊形ABCD中，AB=a，

|AD|=b，則a+b=AC

，所以∠DAC=π4，

∠BAC=π3，

在△ABC中，由正弦定理可得

|a||b|

=|AB||AC|=

sinπ4

sinπ3

=63

.

可以看到，基于向量的加減法、數(shù)乘向量和數(shù)量積

等運(yùn)算，用向量語言來表述圖形關(guān)系具有很強(qiáng)的簡潔

性.比如向量式

a=λb中就蘊(yùn)含一組平行關(guān)系；向量式a+b則指代一個(gè)平行四邊形；而向量式（a+b）·（a-b）=0中，則包含一個(gè)菱形；向量式|a+b|=|a-b|則暗含一個(gè)矩形；向量式|a|=|b|=|a+b|，則蘊(yùn)含一個(gè)內(nèi)角是120°的菱形；向量式a·b=0中即可找到一個(gè)圓，又可找到矩形.看到如此精美的向量式，就需要看到它所蘊(yùn)含的幾何圖形，如此便可將向量的簡潔美與圖形的直觀美合二為一，靈活應(yīng)用向量的雙屬性特征解決綜合問題.

[參考文獻(xiàn)]

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（責(zé)任編輯黃桂堅(jiān)）