王邵惠子 王青建

【摘要】本文概述尺規(guī)作圖的歷史和基本作圖方法，從代數(shù)學(xué)角度揭示尺規(guī)作圖的本質(zhì)是“做出一個(gè)實(shí)數(shù)”，基于此闡述幾何作圖三大難題的不可作性，并指出研究尺規(guī)作圖的意義.

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖；作圖本質(zhì)；幾何作圖三大難題

尺規(guī)作圖是指用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖.其中的直尺必須沒(méi)有任何刻度，可以任意延長(zhǎng)，且只能用它畫(huà)直線(xiàn)；圓規(guī)可以開(kāi)合任意寬度，但上面仍不能有刻度.由于尺規(guī)的限制，人們研究作圖的過(guò)程中產(chǎn)生了著名的“幾何作圖三大難題”，經(jīng)過(guò)兩千多年的研究才得以解決，成為數(shù)學(xué)史上閃耀的篇章.

一、尺規(guī)作圖的歷史

中國(guó)古代的作圖工具主要是規(guī)和矩.規(guī)，即能畫(huà)圓的圓規(guī)，矩，為兩條相連成直角的長(zhǎng)短不一的尺構(gòu)成，可以畫(huà)直線(xiàn)和直角.“規(guī)矩”兩字在甲骨文中都存在，可見(jiàn)其出現(xiàn)較早，甚至可追溯到大禹治水以前.最遲在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，規(guī)矩已被廣泛使用[1].

古希臘人恩諾皮德斯（Oenopides）是目前已知最早明確提出幾何作圖只能使用尺規(guī)的人.約公元前300年歐幾里得（Euclid）將其總結(jié)在他的名著《幾何原本》中，成為希臘幾何學(xué)的基石.希臘人強(qiáng)調(diào)尺規(guī)作圖的原因也是想從盡可能簡(jiǎn)單的條件得出盡可能多的結(jié)果.另外，希臘人認(rèn)為圓是最完美的平面圖形，直線(xiàn)是最簡(jiǎn)單的幾何圖形，它們是平面幾何最基本的研究對(duì)象，通過(guò)尺規(guī)可以作出，因此，要求作圖只能夠用這兩個(gè)工具[2].

二、尺規(guī)作圖的本質(zhì)

在初中幾何教學(xué)中，我們知道關(guān)于尺規(guī)作圖有以下基本作圖結(jié)果：① 作一線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段；② 作一角等于已知角；③ 平分已知角；④ 作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（作線(xiàn)段中點(diǎn)）；⑤ 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn).有限次重復(fù)利用基本作圖和這些基本結(jié)果可以實(shí)現(xiàn)大部分平面幾何的作圖問(wèn)題.

尺規(guī)作圖實(shí)際上可歸結(jié)為代數(shù)問(wèn)題.基本作圖結(jié)果①“作一條已知長(zhǎng)度的線(xiàn)段”實(shí)意是“做出一個(gè)實(shí)數(shù)”的長(zhǎng)度，因此，可以用尺規(guī)人作出任意兩實(shí)數(shù)的和與差.

（四）尺規(guī)作圖的發(fā)展

人們?cè)诶贸咭?guī)去完成幾何作圖三大難題屢屢失敗的時(shí)候，一方面，懷疑它們作圖的可能性并加以證明，另一方面，考慮用什么辦法能夠做出這三個(gè)圖形，由此一些新的方法產(chǎn)生了.

古希臘數(shù)學(xué)家梅內(nèi)克繆斯（Menaechmus）借助圓錐曲線(xiàn)、狄克萊斯（Diocles）借助蔓葉線(xiàn)解決了倍立方體問(wèn)題；阿基米德（Archimedes）利用有一點(diǎn)標(biāo)記的直尺和圓規(guī)[1]、希庇亞斯（Hippias）借助割圓曲線(xiàn)、尼科梅德斯（Nicomedes）借助蚌線(xiàn)、法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（Blaise Pascal）借助蚶線(xiàn)解決了三等分角問(wèn)題[3]；古希臘安提豐（Antiphon）用圓內(nèi)接正多邊形逼近圓面積的方法、迪諾斯克拉圖（Dinostratus）利用割圓曲線(xiàn)、阿基米德利用螺線(xiàn)法、阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）借助圓柱螺線(xiàn)解決了化圓為方問(wèn)題.

在研究過(guò)程中，人們進(jìn)行了探索與思考：若作圖不用尺可以做什么？這被稱(chēng)為單規(guī)作圖.顯然，只用一只圓規(guī)不能作出直線(xiàn)，但是作出一條直線(xiàn)上的兩個(gè)不同點(diǎn)，就“相當(dāng)于”做出這條直線(xiàn).1673年丹麥人摩爾（George Mohr）指出：只用一只圓規(guī)，就能完成尺規(guī)的工作.1797年意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼（L.Mascheroni）發(fā)表《圓規(guī)幾何學(xué)》，證明了此結(jié)論，史稱(chēng)“馬斯凱羅尼圓規(guī)問(wèn)題”.

1759年德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭伯特（Johann Heinrich Lambert）提出只用直尺的作圖問(wèn)題（確定一個(gè)圓的圓心和半徑就“相當(dāng)于”作出這個(gè)圓），1822年龐斯列（Poncelet）進(jìn)行完善，但需要在平面內(nèi)給出一個(gè)定圓和圓心才能夠用直尺解決所有尺規(guī)能作的圖形.1833年瑞士數(shù)學(xué)家施泰納（Steiner）給出了證明[2]，史稱(chēng)“施泰納直尺問(wèn)題”.

在解決完以上問(wèn)題之后，人們不禁再次發(fā)問(wèn)：若圓規(guī)不能調(diào)整兩條腿間的距離是否可以作圖？這被稱(chēng)為銹規(guī)問(wèn)題.1979年英國(guó)數(shù)學(xué)教授丹·佩多（Daniel Pedoe）提出了銹規(guī)作圖問(wèn)題：如果A，B是任意給定的兩個(gè)點(diǎn)，滿(mǎn)足要求的點(diǎn)C仍然能夠只用銹規(guī)作出嗎？我國(guó)數(shù)學(xué)家張景中院士與其搭檔楊路很快就找到兩種解法.1982年，佩多在此基礎(chǔ)上發(fā)表文章同時(shí)提出：已知兩點(diǎn)A，B，能否只用一個(gè)生銹的圓規(guī)做出線(xiàn)段AB的中點(diǎn)？1987年，侯曉榮推廣了張景中院士等人的想法，使這個(gè)問(wèn)題得以解決[4].

（四）尺規(guī)作圖的意義

在尺規(guī)作圖兩千多年的歷史研究過(guò)程中產(chǎn)生了很多“副產(chǎn)品”，例如，開(kāi)創(chuàng)了圓錐曲線(xiàn)的研究；產(chǎn)生了“窮竭法”的思想，成為微積分的前身；通過(guò)研究了三次方程的解法、正n邊形的做法，與近代方程論、群論聯(lián)系緊密.這些發(fā)現(xiàn)在一定意義上推進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展.

人們最初研究尺規(guī)作圖問(wèn)題的部分原因是生產(chǎn)生活的需要，后來(lái)，探求其中數(shù)學(xué)原理成為人們研究主要?jiǎng)右?在數(shù)學(xué)史上，很多的分支和學(xué)科的發(fā)展也與人們對(duì)它的興趣密切相關(guān)，費(fèi)馬大定理、哥德巴赫猜想、四色定理都是如此.尺規(guī)作圖的很多問(wèn)題似乎在現(xiàn)實(shí)生活中并沒(méi)有什么應(yīng)用，但是眾多數(shù)學(xué)愛(ài)好者還是孜孜不倦地探索其中的魅力.數(shù)學(xué)大師陳省身曾說(shuō)“數(shù)學(xué)好玩”，所以數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展與它“好玩”密不可分.也因如此，三大作圖問(wèn)題才有如此多的證法與擴(kuò)展，成為數(shù)學(xué)史上閃耀的篇章！

【參考文獻(xiàn)】

[1]梁宗巨，王青建，孫宏安.世界數(shù)學(xué)通史[M].沈陽(yáng)：遼寧教育出版社，2001.

[2]王青建.數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[3]彭林.幾何三大作圖問(wèn)題史話(huà)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2004（5）：51-53.

[4]顧森.思考的樂(lè)趣：Matrix67數(shù)學(xué)筆記[M].北京：人民郵電出版社，2012.