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        三等份線段的尺規(guī)作圖

        2018-10-26 11:00:26李明桂
        新教育時代·教師版 2018年29期
        關(guān)鍵詞:尺規(guī)作圖

        李明桂

        摘 要:三等分線段尺規(guī)作圖是中學數(shù)學中尺規(guī)作圖的三個不能之一,對這個命題的成立性有點懷疑,能否從構(gòu)造線段的三分之一長線段來解決這個問題,通過研究對應(yīng)線段成比例兩直線平行,平行線分線段成比例定理構(gòu)建線段的三分之一,分構(gòu)造點在線段的上方、構(gòu)造點在線段端點的正上方、構(gòu)造點在線段的反向延長線三種情況,解決一般性的問題,從而解決這個數(shù)學難題。此作法可推廣任意等分線段。巧妙利用三角形的重心分中線為上二下一的特性,找出線段的三等分點,解決線段三等分的難題。

        關(guān)鍵詞:三等分線段 尺規(guī)作圖 任意等分線段

        研究成果報告:

        1.在尺規(guī)作圖中,有三個尺規(guī)不能的問題——三等份線段、三等份圓弧、三等份角。在學習的初期,對此結(jié)論深信不疑。但在隨后的教學中,發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論存在疑問。在學習了平行線分線段成比例和對應(yīng)線段成比例兩直線平行后,發(fā)現(xiàn)可以從尋找線段的三分之一長來解決這個問題,這種方法是三等份線段尺規(guī)作圖的一般作法。

        2.在學習了三角形的重心的性質(zhì)后,發(fā)現(xiàn)三等份線段尺規(guī)作圖的簡潔作法,這種方法是三等份線段尺規(guī)作圖的特殊作法。

        3.三等份線段尺規(guī)作圖的一般作法可以推廣到任意等份線段的尺規(guī)作圖。

        4.此項研究的意義在于對數(shù)學觀點的質(zhì)疑,推動數(shù)學的發(fā)展。

        研究成果內(nèi)容:

        在數(shù)學教學中,對尺規(guī)作圖平分線段、平分已知角、直線的垂線進行了詳細的解析,并提出尺規(guī)作圖不能三等份線段的觀點,多年來一直對此表示懷疑。在對平行線分線段成比例和對應(yīng)線段成比例兩直線平行研究后,思考能否采用尋找線段的三分之一的方法解決等份問題。

        研究一:已知線段AB,求作線段AB的三等份點,﹙輔助線與線段成銳角﹚圖示1

        ①以線段AB 的端點A為頂點作射線AC;②在射線AC上依次截取AA1=A1A2=A2N;③以N為圓心,AN為半徑作圓交線段AB所在的直線于M點;④在線段MN上分別截取MC1=C1C2=C2N=AA1;⑤連結(jié)A2C2、NB,兩線段所在的直線交于P點;⑥以A2P的長為半徑,分別以A、B為圓心作圓,交線段AB于D、E兩點;⑦點D、E就是線段AB的三等份點。

        研究二:已知線段AB,求作線段AB的三等份點,﹙輔助線與線段成直角﹚圖示2

        ①作線段AB的垂線AC;②在射線AC上依次截取AA1=A1A2=A2N;③過A1、A2依次作射線AC的垂線A1M、A2P;④連結(jié)NB,分別交直線A1M、A2P于C1、C2點;⑤以A2C2為半徑,分別以A、B為圓心作圓,交線段AB于D、E兩點;⑥點D、E就是線段AB 的三等份點。

        研究三:已知線段AB,求作線段AB的三等份點﹙輔助線與線段成鈍角﹚圖示3

        ①以線段AB 的端點A 為端點作射線AN;②作射線AN 上依次截取AA1=A1A2=A2N;③以N 為圓心AN 的長為半徑作圓交線段AB的反向延長線于M 點;④分別以M、N為圓心AA1的長為半徑作圓交線段MN于C1、C2點,連結(jié)A2C2、NB,設(shè)兩直線交于P點;⑤分別以A、B 為圓心A2P的長為半徑作圓交線段AB于D、E兩點;⑥點D、E就是線段AB 的三等份點。

        通過上述的研究表明,只要所作的射線和已知直線不在同一條直線上,都可以對線段進行三等份,這種方法可推廣求已知線段的任意等份點。

        研究四:已知線段AB,求作線段AB的三等份點,圖示4

        ①過A點任意作一條直線l,(和直線AB不重合);②在直線l上截取AP=AQ;③連結(jié)BQ、BP;④作線段BP 的中點M;⑤連結(jié)QM交線段AB于點D;⑥以B為圓心,AD的長為半徑作圓交線段AB于點E;

        ⑦D、E就是線段AB的三等份點。

        這種作法是利用三角形的重心的特殊性質(zhì)對已知線段進行三等份點。

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