張嫂玲

[摘要]2015年2月9號，華夏上證50ETF正式上市交易，成為中國股票市場上第一只正式上市交易的期權(quán)，開啟了中國期權(quán)發(fā)展的新時(shí)期。傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)理論Black-Scholes定價(jià)模型中假定股價(jià)的波動(dòng)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而實(shí)際上股價(jià)的波動(dòng)率呈現(xiàn)尖峰厚尾的分布，因此不能直接用于期權(quán)價(jià)格的計(jì)算中。本文利用GARCH模型對方差進(jìn)行修正，利用得到的無條件方差代入Black-Scholes定價(jià)公式中，計(jì)算上證50ETF期權(quán)的理論價(jià)格，并與市場上相同期限和交易條件的上證50ETF期權(quán)的實(shí)際價(jià)格進(jìn)行比較，分析兩者產(chǎn)生差異的原因。

[關(guān)鍵詞]上證50ETF GARCH模型 期權(quán)定價(jià)

一、引言

早在18世紀(jì)的時(shí)候，歐洲和美國就已經(jīng)開始了期權(quán)交易，1973年美國成立芝加哥交易所，這是世界上第一個(gè)期權(quán)交易所，從此期權(quán)交易開始了統(tǒng)一、標(biāo)準(zhǔn)化的全面發(fā)展。國外關(guān)于期權(quán)定價(jià)方面的研究早在1900年就開始了，路易斯巴舍利在《投機(jī)理論》一文中，首次提出股票的價(jià)格運(yùn)動(dòng)過程為絕對的布朗運(yùn)動(dòng)，從而提出了第一個(gè)期權(quán)定價(jià)方程。1973年，Black和Scholes提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)方程，它是現(xiàn)代期權(quán)定價(jià)理論的基礎(chǔ)，從此以后，關(guān)于期權(quán)定價(jià)的理論得到了快速的發(fā)展，國外的期權(quán)市場也快速發(fā)展成熟起來。

反觀國內(nèi)的期權(quán)市場的發(fā)展則比較緩慢。直到2015年2月9號，華夏上證50ETF期權(quán)才正式上市交易，這是我國A股市場上的第一個(gè)期權(quán)產(chǎn)品。隨著期權(quán)在交易所的正式上市，2016年，國內(nèi)股票期權(quán)市場取得巨大發(fā)展。截至2016年11月末，上證50ETF期權(quán)總成交量達(dá)6622萬張，同比增長270%；上證50ETF期權(quán)累計(jì)權(quán)利金成交金額為365.09億元，相比2015年同期的200.67億元增長81.93%。11月上證50ETF期權(quán)總成交量達(dá)到1281.46萬張，同比增長204.38%。其中，認(rèn)購成交783.7萬張，認(rèn)沽成交497.76萬張，同比增長了232.78%和168.33%。

隨著我國金融市場的進(jìn)一步成熟完善，未來肯定會(huì)有越來越多的期權(quán)產(chǎn)品推出，而對相應(yīng)期權(quán)產(chǎn)品的定價(jià)研究也是必要的。經(jīng)典的BS期權(quán)定價(jià)模型在進(jìn)行期權(quán)的定價(jià)時(shí)，通常假定股價(jià)的收益率是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然而實(shí)證數(shù)據(jù)表明，一般股票的收益率呈現(xiàn)尖峰厚尾的分布，并不是嚴(yán)格的正態(tài)分布過程，它的方差是隨著時(shí)間的變化而變化的，因此我們不能直接采用正態(tài)分布來進(jìn)行估計(jì)。在本文中，我們首先采用GARCH模型來對股票的波動(dòng)率進(jìn)行修正，然后運(yùn)用GARCH模型求出股票對數(shù)收益率的無條件方差，將這個(gè)無條件方差作為指數(shù)價(jià)格的波動(dòng)率運(yùn)用于Black-Scholes公式來進(jìn)行期權(quán)的定價(jià)，最后與市場上華夏上證50ETF期權(quán)的實(shí)際價(jià)格進(jìn)行比較分析。

二、模型設(shè)定

（一）GARCH模型

傳統(tǒng)上，我們研究時(shí)間序列數(shù)據(jù)時(shí)，通常假定它的方差是一個(gè)常數(shù)，但是在后面的研究中發(fā)現(xiàn)對于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，在一段時(shí)間內(nèi)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)波動(dòng)幅度較大，在另一段時(shí)間內(nèi)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的波動(dòng)幅度又比較小，呈現(xiàn)叢聚性。一般來說，由于不同的時(shí)間段所獲得的信息是不一樣的，因此它的方差并不是一直保持不變的，而是隨著時(shí)間的變化而變化，受到之前變化的影響。為了刻畫方差的變化，1982年，恩格爾教授第一次提到了自回歸條件異方差模型，也就是ARCH模型。該模型將當(dāng)前一切可以得到的信息作為條件，運(yùn)用自回歸方程來刻畫方差的變化，解決了時(shí)間序列波動(dòng)率不呈現(xiàn)正態(tài)分布的問題。但是當(dāng)ARCH模型中殘差的滯后項(xiàng)太多時(shí)，模型自由度損失過多會(huì)損失很多的信息，Bollerslov于1986在Engle的ARCH模型的基礎(chǔ)上提出了GARCH模型，用來反映數(shù)據(jù)中的長期記憶，GARCH（1，1）模型就相當(dāng)于無窮階的ARCH模型。因此一般在金融研究中，我們使用GARCH（1，1）模型來代替多階的ARCH模型。

（～）GARCH模型的穩(wěn)定性條件

無條件方差是序列的長期波動(dòng)率，它是一個(gè)穩(wěn)定的方差，無條件方差是一個(gè)常數(shù)，可以利用GARCH模型計(jì)算出來。通過GARCH（p，q）模型得到如下方程：

GARCH模型是協(xié)方差穩(wěn)定的，是經(jīng)典回歸，因此我們可以利用這個(gè)求出無條件方差，即vat（e0。條件方差是在已有的信息集下的波動(dòng)率，基于現(xiàn)在和過去的信息。而無條件方差則是時(shí)間序列的長期方差，包含了所有的信息，過去的，現(xiàn)在的，未來的，它包含的信息量更大，所以最后我們用它作為股指的波動(dòng)率來估算期權(quán)的價(jià)格。

GARCH模型是協(xié)方差穩(wěn)定的，是經(jīng)典回歸，因此我們可以利用這個(gè)求出無條件方差，即var（ε_t）。條件方差是在已有的信息集下的波動(dòng)率，基于現(xiàn)在和過去的信息。而無條件方差則是時(shí)間序列的長期方差，包含了所有的信息，過去的，現(xiàn)在的，未來的，它包含的信息量更大，所以最后我們用它作為股指的波動(dòng)率來估算期權(quán)的價(jià)格。

三、實(shí)證分析

本文選取華夏上證50ETF為研究對象，選取了從2015年2月9日華夏上證50ETF期權(quán)正式上市第一天到2016年12月24日的收盤價(jià)，扣除節(jié)假日和股市的休市日，共計(jì)455個(gè)數(shù)據(jù)為研究對象（數(shù)據(jù)來源于同花順）。

（一）ARCH效應(yīng)的檢驗(yàn)

首先對上證50ETF收盤價(jià)取對數(shù)收益率令其為r=logS_t-logS_t-1，通過STATA作出時(shí)序圖（圖略）發(fā)現(xiàn)50ETF收益率的波動(dòng)呈現(xiàn)明顯的叢聚現(xiàn)象，較大的波動(dòng)后面跟著大幅波動(dòng)，而小的波動(dòng)后面也多是小幅度的波動(dòng)，初步判定其存在ARCH效應(yīng)。通過正態(tài)分布折線圖也可以看出其對數(shù)收益率呈現(xiàn)明顯的尖峰厚尾特征，存在明顯的ARCH效應(yīng)。

（二）平穩(wěn)性檢驗(yàn)

在對時(shí)間序列進(jìn)行具體的分析估計(jì)前，先采用的經(jīng)典的ADF檢驗(yàn)看是否穩(wěn)定，結(jié)果如表1所示。我們可以看到，無論是在5%的置信水平下或者1%的置信水平下，數(shù)據(jù)都通過了檢驗(yàn)，我們認(rèn)為該組數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的時(shí)間序列，可以建立回歸方程。

（三）ARCH-LM檢驗(yàn)和GARCH模型的建立

在進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn)前，先對對數(shù)收益率r建立回歸方程，得到殘差項(xiàng)，然后運(yùn)用A.RCH—LM檢驗(yàn)檢驗(yàn)殘差項(xiàng)是否存在ARCH效應(yīng)，結(jié)果表明殘差項(xiàng)存在高階的ARCH效應(yīng)，為了減少自由度的損失，我們放棄ARcH模型，建立GARCH（1，1）模型。具體模型為：

由等式可知，α+β=0.9396006+0.0578838=0.997484，非常接近于1，說明沖擊是持續(xù)有效的，可用于未來行情預(yù)測，模型是有效的。我們通過GARCH模型的條件方差方差可以求出華夏上證50ETF的長期穩(wěn)定方差為

（四）模型有效性的檢驗(yàn)

在得到波動(dòng)率以后，對GARCH模型得到的修正后的殘差進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)殘差的平方和殘差均服從正態(tài)分布，不再存在ARCH效應(yīng)，因此我們得到的GARCH模型是有效的，可以消除原對數(shù)收益率的叢聚效應(yīng)。

（五）期權(quán)的價(jià)格

將經(jīng)過GARCH模型修正過后的平穩(wěn)的年化波動(dòng)率代入Black-scholes公式得到華夏上證50指的期權(quán)理論價(jià)格，其中無風(fēng)險(xiǎn)利率r采用市場上當(dāng)日的shibor一年期利率代替，然后與市場是實(shí)際的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行對比，結(jié)果如下表2、表3所示（期權(quán)市場價(jià)格數(shù)據(jù)來自于Wind）。

四、結(jié)果分析

從表2可以看出，認(rèn)購期權(quán)的價(jià)格算出來普遍高于市場上實(shí)際的期權(quán)價(jià)格，而從表3來看，認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)格普遍低于市場實(shí)際的期權(quán)價(jià)格。

一個(gè)方面是由于市場上投資者對未來期權(quán)價(jià)格預(yù)期造成的。近來期權(quán)市場上認(rèn)購期權(quán)的價(jià)格普遍下跌，而認(rèn)沽期權(quán)的價(jià)格普遍上漲，說明投資者普遍認(rèn)為當(dāng)前上證50ETF定價(jià)過高，未來價(jià)格會(huì)有所下降，因此導(dǎo)致認(rèn)購期權(quán)需求下降，價(jià)格下跌，認(rèn)沽期權(quán)需求增加，價(jià)格上升。我國期權(quán)市場尚處于起步階段，市場并不能完全公平定價(jià)，價(jià)格很大程度上會(huì)受到投資者預(yù)期的影響。

另一個(gè)方面是模型本身存在一定的不足。GARCH模型可以很好地描述高階的ARCH過程，但是實(shí)證研究表明收益率殘差的正負(fù)會(huì)對收益率產(chǎn)生非對稱效應(yīng)影響，但是GARCH模型假定條件方差是滯后殘差的平方的函數(shù)，殘差的符號并不會(huì)影響波動(dòng)率的大小，導(dǎo)致模型并不能反映出這種非對稱差異，所以最后的結(jié)果也會(huì)存在一定的偏差。在實(shí)際中我們也可以看到利空的消息對股票收益率的影響是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于利好消息帶來的正面的影響的。另外，為了保證非負(fù)，在GARCH模型的GARCH項(xiàng)方程中假定所有的系數(shù)都是正的。這些約束會(huì)使得在估計(jì)GARCH模型時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。

再者是我國的期權(quán)定價(jià)市場還不夠完善。我國2015年才正式開始了股指期權(quán)的上市交易，市場遠(yuǎn)沒有國外市場成熟，同時(shí)國內(nèi)的股票市場也并不是一個(gè)完全的有效市場，所以市場交易價(jià)格并不能完全反應(yīng)所有的信息。