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【摘要】學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，在某種程度上會(huì)不可避免的出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，但是在學(xué)習(xí)過程中我們又希望學(xué)生能夠很好地掌握相應(yīng)的知識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，從而降低解題錯(cuò)誤。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它既能聯(lián)系代數(shù)又能聯(lián)系幾何，可將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，因此，研究學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，對(duì)其進(jìn)行歸類，并分析其形成的原因，具有很重要的意義。從目前的研究資料來看，研究關(guān)于藏漢雙語(yǔ)高中生三角函數(shù)解題錯(cuò)誤的文獻(xiàn)很少，因此筆者編制了三角函數(shù)測(cè)試卷，對(duì)青海省六州藏漢雙語(yǔ)高中生三角函數(shù)解題能力進(jìn)行了測(cè)試，按解題的一般順序——閱讀、理解、轉(zhuǎn)換、操作、編碼中出現(xiàn)的錯(cuò)誤程度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，進(jìn)而用SPSS 20.0對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，得出藏漢雙語(yǔ)高中生在解決三角函數(shù)問題時(shí)，出現(xiàn)的錯(cuò)誤層次以理解、編碼、操作、閱讀、轉(zhuǎn)換而遞增，未能成功解題的主因在于不能把文字轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型，不能選取合適的解題策略。

基于以上研究結(jié)論，筆者反思了青海省六州民族高級(jí)中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)狀況，特別對(duì)藏漢雙語(yǔ)三角函數(shù)教學(xué)提出了幾點(diǎn)建議。

【關(guān)鍵詞】藏漢雙語(yǔ) 三角函數(shù) 解題錯(cuò)誤 研究

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）06-0125-02

一、研究的背景及問題

函數(shù)的思想深刻、應(yīng)用廣泛，是高中教學(xué)內(nèi)容的核心部分，其與數(shù)列、方程、導(dǎo)數(shù)、幾何，以及不等式等內(nèi)容相互滲透，且函數(shù)的思想滲透在整個(gè)高中的全部過程中。而三角函數(shù)又是一類特殊的函數(shù)，歷來是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)生在高中階段必須掌握的基本初等函數(shù)。

在藏漢雙語(yǔ)教學(xué)過程中，以教學(xué)質(zhì)量而言提升的幅度是非常的緩慢。尤其是學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)這一內(nèi)容時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到很多問題，常常會(huì)出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。那么青海省藏漢雙語(yǔ)高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)難于提高的主因在哪里？特別是學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤是什么？因此探索藏漢雙語(yǔ)高中生在三角函數(shù)學(xué)習(xí)過程中存在的問題，并分析其產(chǎn)生的原因，就顯得尤為重要。

學(xué)生在解決問題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤是有一定的合理性的，如果積極和科學(xué)地分析其合理之處，變可有“化腐朽為神奇”的效果，分析其出現(xiàn)的原因、性質(zhì)，逐步“將錯(cuò)為正”，將“正確”建立在“錯(cuò)誤”之上，相信同學(xué)們對(duì)原先錯(cuò)誤的解題和現(xiàn)在正確的解題都有很深刻的理解。

錯(cuò)誤在哲學(xué)中定義為：錯(cuò)誤同正確對(duì)立，是指主體與客體規(guī)律不相一致的認(rèn)識(shí)或?qū)嵺`，顯然，此處的錯(cuò)誤是一種不正確的觀點(diǎn)和行為。錯(cuò)誤不僅在哲學(xué)中出現(xiàn)而且在其他學(xué)科，以及在日常生活中也會(huì)出現(xiàn)。在《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》中將錯(cuò)誤解釋為不正確的，與客觀事物不相符的思想，或者是不正確的行為、事物等。

錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)教育中，由于數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，沒有人直接對(duì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤給出了直接的定義，但對(duì)錯(cuò)誤有一些簡(jiǎn)單的論述：鄭毓信在《數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代發(fā)展》一文中有這樣的論述：有些教師將學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的不同于“標(biāo)準(zhǔn)觀念”的想法或做法視為錯(cuò)誤。此處的“標(biāo)準(zhǔn)觀念”指的是教材、專家及自身的觀念。Brousseau不認(rèn)為錯(cuò)誤是失誤或偶然的現(xiàn)象，而是對(duì)前知識(shí)的學(xué)習(xí)發(fā)生興趣的表現(xiàn)。

二、國(guó)外對(duì)高中生三角函數(shù)解題錯(cuò)誤研究的綜述

國(guó)外對(duì)學(xué)生的解題錯(cuò)誤是從學(xué)生算術(shù)錯(cuò)誤的診斷開始入手的，早在1925年美國(guó)學(xué)者buswell與judd用了長(zhǎng)達(dá)30多年的時(shí)間對(duì)學(xué)生的算術(shù)錯(cuò)誤進(jìn)行診斷，其后，德國(guó)和蘇聯(lián)等國(guó)家也相繼加入了此研究的行列。

傳統(tǒng)的觀點(diǎn)認(rèn)為，錯(cuò)誤是沒有任何益處的，學(xué)生犯錯(cuò)也就意味著其成績(jī)是不理想的。如skinner認(rèn)為應(yīng)該避免錯(cuò)誤，因?yàn)殄e(cuò)誤會(huì)浪費(fèi)其完成任務(wù)的時(shí)間。但隨著學(xué)者們對(duì)錯(cuò)誤的不斷研究，逐漸認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤不僅可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，而且教師也可糾正自己的教學(xué)方法。如Borasi認(rèn)為學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中所出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤是對(duì)其已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的再調(diào)整的結(jié)果，所以教師可以通過學(xué)生的思考及錯(cuò)誤的解題，從而可以提供一條更有效的補(bǔ)救方案。

亨德里克思從心理學(xué)的角度對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行了研究，總結(jié)出學(xué)生犯錯(cuò)的原因有語(yǔ)言困難、空間想象力不足、已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的不足、思維定式的影響、不恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用或推廣等五個(gè)方面。

澳大利亞的心理學(xué)家紐曼（Newman）針對(duì)一步計(jì)算的文字題于1977年提出把學(xué)生的解題錯(cuò)誤按解題過程分成以下五個(gè)層次：①閱讀能力；②理解；③轉(zhuǎn)換；④運(yùn)算技能；⑤呈現(xiàn)答案（見表1）。

Watson在1980年發(fā)表的《Investigating errors of beginning mathematicians》中認(rèn)為紐曼（Newman）的錯(cuò)誤分析理論適用于大量的數(shù)學(xué)問題，該錯(cuò)誤分析理論是建立在學(xué)生是如何解答數(shù)學(xué)問題的一個(gè)合理的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，此模型在不同的解題階段出現(xiàn)的解題失敗表現(xiàn)出不同的解題錯(cuò)誤。此后很多研究者將紐曼（Newman）錯(cuò)誤分析理論應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。Ellerton對(duì)206名初中生在解決數(shù)學(xué)文字題的困難類型做了調(diào)查，得出了70%以上的同學(xué)出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤來源于理解題意錯(cuò)誤和選擇解題策略錯(cuò)誤。

紐曼（Newman）的錯(cuò)誤分析理論比較成熟、完善，借鑒的研究成果也比較多。如Clarkson、Prakitipong& Nakamura、Zakaria&Maat;、黃興豐和郝玲等在研究中應(yīng)用了紐曼（Newman）解題錯(cuò)誤分析理論。

三、國(guó)內(nèi)對(duì)高中生三角函數(shù)解題錯(cuò)誤研究的綜述

數(shù)學(xué)是在問題解決的過程中產(chǎn)生的，并且也是在解決問題的過程中完善和發(fā)展起來的。我國(guó)歷來對(duì)解題教學(xué)很重視，很多學(xué)者在這方面有著很深的研究。如單墫教授所說的“數(shù)學(xué)的習(xí)題，不僅用來鞏固所學(xué)的知識(shí)，還可以培養(yǎng)能力，發(fā)展智慧。所以，通過解決問題，能夠更好地掌握數(shù)學(xué)的內(nèi)容、意義和方法 ?！?/p>

戴再平在《數(shù)學(xué)習(xí)題理論》中認(rèn)為，在數(shù)學(xué)的解題中，學(xué)生所表現(xiàn)的錯(cuò)誤是多樣的，為了更有效地利用好這些錯(cuò)誤，必須對(duì)各種錯(cuò)誤進(jìn)行歸類和分析，但由于產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因和復(fù)雜程度，以及錯(cuò)誤表現(xiàn)形式的多樣性，因此要有不同的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行不同的分類。并將錯(cuò)誤分為閱讀理解、轉(zhuǎn)碼、加工技能、策略選擇、編碼五種。

向正凡在《辨析中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤與培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題能力的研究》一文中把數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤分為曲解題意的錯(cuò)誤、擬定方案的錯(cuò)誤、執(zhí)行方案的錯(cuò)誤、回顧與反思的錯(cuò)誤四類。

黃興豐在《初中生在幾何解題中所出現(xiàn)錯(cuò)誤的調(diào)查研究》一文中把解題中發(fā)生的錯(cuò)誤分為閱讀理解、轉(zhuǎn)碼、加工技能、策略選擇、編碼五種。

王志英在《普高學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的成因分析與對(duì)策研究》一文中將學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤分為心理性錯(cuò)誤、概念理解性錯(cuò)誤、運(yùn)算性錯(cuò)誤、審題性錯(cuò)誤、邏輯性錯(cuò)誤。

魏述強(qiáng)在《基于學(xué)生錯(cuò)誤的試卷講評(píng)模式的行動(dòng)研究》一文中以紐曼（Newman）錯(cuò)誤分析理論為基礎(chǔ)，結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)將學(xué)生在解決解析幾何題時(shí)可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤分為閱讀理解錯(cuò)誤、選擇解題策略錯(cuò)誤、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換錯(cuò)誤、技能加工錯(cuò)誤、數(shù)學(xué)編碼錯(cuò)誤。

表2表示Borasi在1989年將錯(cuò)誤進(jìn)行分類，Borasi認(rèn)為在分析學(xué)生的錯(cuò)誤時(shí)，可以提供機(jī)會(huì)使學(xué)生進(jìn)行優(yōu)異的數(shù)學(xué)活動(dòng)；通過識(shí)別錯(cuò)誤，可以強(qiáng)調(diào)新的方面或解釋意外的元素；關(guān)注和處理錯(cuò)誤的經(jīng)歷可以使學(xué)生在今后的數(shù)學(xué)活動(dòng)中更為謹(jǐn)慎，能夠?qū)ψ鳂I(yè)的正誤進(jìn)行核對(duì)等作用。Borasi對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的錯(cuò)誤，以及對(duì)錯(cuò)誤分析的觀點(diǎn)與看法是新穎與深刻的。

從以上國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)解題錯(cuò)誤的研究來看，不僅對(duì)研究的領(lǐng)域在不斷的擴(kuò)大，而且對(duì)解題錯(cuò)誤的理解以及出錯(cuò)原因的認(rèn)識(shí)也在不斷地變化。更多的教師意識(shí)到解題錯(cuò)誤不僅僅是對(duì)學(xué)生的“診斷”和“治療”，更應(yīng)將其視為一種教學(xué)資源，總之，學(xué)生的解題錯(cuò)誤值得我們?nèi)パ芯?，尤其是?dǎo)致學(xué)生出錯(cuò)的原因和價(jià)值更值得我們?nèi)ド钊氲奶接憽?/p>

四、藏漢雙語(yǔ)教學(xué)現(xiàn)狀綜述

才科扎西在《甘青川三省藏漢雙語(yǔ)數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)行模式評(píng)述》一文中指出藏漢雙語(yǔ)教學(xué)模式有兩種，第一模式為本民族語(yǔ)言文字授課為主，單科加授國(guó)家通用語(yǔ)言文字，第二模式為國(guó)家通用語(yǔ)言文字授課，單科加授本民族語(yǔ)言文字。

才果在《青海藏區(qū)藏漢雙語(yǔ)教學(xué)發(fā)展與思考》一文中認(rèn)為青海民族教育的難點(diǎn)是藏族教育，而藏族教育的難點(diǎn)又在于藏漢雙語(yǔ)教育。該文對(duì)青海藏區(qū)雙語(yǔ)教育提出了建立藏漢雙語(yǔ)民族幼兒園、高考中增加藏漢雙語(yǔ)招生人數(shù)、大力發(fā)展藏漢雙語(yǔ)職業(yè)教育、大力培養(yǎng)藏漢雙語(yǔ)理科師資、加大投入藏漢雙語(yǔ)教育的經(jīng)費(fèi)等五點(diǎn)建議。

索南仁欠老師在《青海藏漢雙語(yǔ)教學(xué)現(xiàn)狀及建設(shè)》一文中從教學(xué)模式、師資隊(duì)伍、教材建設(shè)等方面對(duì)青海省藏漢雙語(yǔ)的教育現(xiàn)狀進(jìn)行了總結(jié)，并認(rèn)為應(yīng)科學(xué)地定位雙語(yǔ)教師的培養(yǎng)目標(biāo)、優(yōu)化雙語(yǔ)教師的培養(yǎng)層次、科學(xué)地推進(jìn)雙語(yǔ)教材的建設(shè)進(jìn)度、完善雙語(yǔ)教師的評(píng)估體系、完善雙語(yǔ)教師的培訓(xùn)等建議。

扎洛老師在《制約少數(shù)民族雙語(yǔ)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量的主因分析》一文中人深入地探討了制約青海少數(shù)民族雙語(yǔ)教育質(zhì)量的主因是雙語(yǔ)教師的學(xué)科專業(yè)素質(zhì)，教師素養(yǎng)成為提升藏漢雙語(yǔ)教育教學(xué)質(zhì)量的瓶頸。

從以上各位學(xué)者的研究來看，不難發(fā)現(xiàn)，關(guān)于藏漢雙語(yǔ)的研究主要集中在大的方向，而對(duì)藏漢雙語(yǔ)教學(xué)中每個(gè)學(xué)科比如：數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等方面的研究甚少，特別是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中各個(gè)模塊的研究更是少之又少。進(jìn)而學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)那些錯(cuò)誤？在解決關(guān)于三角函數(shù)的問題時(shí)，學(xué)生會(huì)應(yīng)用哪些知識(shí)模塊？在解題過程中思維出現(xiàn)障礙時(shí)，會(huì)做出怎樣的反應(yīng)等方面的研究是非常的少。

五、研究目的、對(duì)象及方法

通過研究青海藏區(qū)六州藏漢雙語(yǔ)教學(xué)高中生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)這一內(nèi)容時(shí)所存在的解題錯(cuò)誤和出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的原因，以此來拋磚引玉，吸引更多的研究者來研究這一問題，進(jìn)而提出改進(jìn)教師的教學(xué)策略，以及提高學(xué)生的解題及自我反思能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

青海省共有六個(gè)藏族自治州，根據(jù)青海省教育的布局調(diào)整，初步形成了村辦幼兒園、鄉(xiāng)辦小學(xué)、縣辦初中、州辦高中的狀況，本研究選取的調(diào)查對(duì)象是青海省藏區(qū)六州每州一所民族高中，含蓋了所有的藏族自治州，覆蓋面100%，樣本具有較好的代表性。本次測(cè)試卷共發(fā)放521份，回收500份。測(cè)試卷作答時(shí)間為90分鐘。

本研究所采用的是測(cè)試卷的調(diào)查方式，測(cè)試卷分為藏漢兩個(gè)版面并進(jìn)行了雙語(yǔ)對(duì)照，并用SPSS（20.0）數(shù)據(jù)軟件統(tǒng)計(jì)、分析、處理問卷的數(shù)據(jù)與結(jié)果。

六、研究的結(jié)論及建議

1.研究的結(jié)論

（1）樣本數(shù)據(jù)的相應(yīng)分析

對(duì)于本次測(cè)試的數(shù)據(jù)筆者應(yīng)用spss（20.0）進(jìn)行了相應(yīng)分析，得出：青海藏區(qū)雙語(yǔ)教學(xué)高中生在解決三角函數(shù)問題時(shí)，解題錯(cuò)誤以理解、編碼、操作、閱讀、轉(zhuǎn)換的順序而遞，即：未能成功解題的主因在于不能把文字轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型，不能選取合適的解題策略。

（2）區(qū)間段數(shù)據(jù)的相應(yīng)分析

對(duì)于青海省藏漢雙語(yǔ)教學(xué)高中生在解決三角函數(shù)問題時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，筆者根據(jù)測(cè)試情況，將其分為十個(gè)區(qū)間，即：[0，10]、[11，20]、[21，30]、[31，40]、[41，50]、[51，60]、[61，70]、[71，80]、[81，90]、[91，100]具體統(tǒng)計(jì)情況如下：

1）成績(jī)處于[0，50]的高中生在解決三角函數(shù)問題時(shí)，在閱讀這一環(huán)節(jié)沒有過關(guān)，即：沒能辨別關(guān)鍵的字詞和符號(hào)成為不能把問題正確地解決的關(guān)鍵。

2）成績(jī)處于[51，90]的高中生在解決三角函數(shù)問題時(shí)，錯(cuò)誤主要出現(xiàn)在理解這一過程，即：能夠閱讀問題但不能準(zhǔn)確理解關(guān)鍵字詞、符號(hào)和問題的真正含義，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

3）成績(jī)處于[91，100]的高中生在解決三角函數(shù)問題時(shí)，解決問題的錯(cuò)誤以理解、閱讀、轉(zhuǎn)換、編碼、操作為序而遞增，即：沒能將問題成功地解決的關(guān)鍵在于能夠找到一個(gè)合適的解題策略，但不能正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)操作。

2.建議

成績(jī)處于[0，50]的學(xué)生在解題過程中閱讀錯(cuò)誤的秩均值偏高，由于閱讀是基礎(chǔ)，基礎(chǔ)不牢，山動(dòng)地?fù)u，出現(xiàn)閱讀錯(cuò)誤而不能辨別關(guān)鍵的字詞和符號(hào)，進(jìn)而不能理解關(guān)鍵字詞、符號(hào)和問題的真正含義，即出現(xiàn)理解錯(cuò)誤，所以導(dǎo)致轉(zhuǎn)換、操作等一系列錯(cuò)誤，這就要求數(shù)學(xué)教師在以后的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不僅要講透數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)而且要講清數(shù)學(xué)關(guān)鍵詞和關(guān)鍵術(shù)語(yǔ)，指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)常閱讀數(shù)學(xué)讀物，提高學(xué)生的閱讀能力。成績(jī)處于[51，90]的學(xué)生在各個(gè)解題過程中呈現(xiàn)的秩均值偏高的理解，雖然能夠閱讀問題，但理解出現(xiàn)偏差，不能準(zhǔn)確理解關(guān)鍵字詞、符號(hào)和問題的真正含義，這就要求教師加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、推理、模型等基本數(shù)學(xué)思想，以培養(yǎng)學(xué)生的理解能力。成績(jī)處于[91，100]的學(xué)生在各個(gè)解題過程中呈現(xiàn)的秩均值偏高的是操作，由于出現(xiàn)操作錯(cuò)誤，所以學(xué)生在解題過程中能夠找到一個(gè)合適的解題策略，但不能正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，從而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤，這就要求教師經(jīng)常指導(dǎo)學(xué)生注意整理、歸納解題方法，進(jìn)而提高學(xué)生的運(yùn)算操作技能。

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