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        簡單化處理
        ——數(shù)學(xué)的不懈追求

        2018-03-26 04:36:54
        新課程(下) 2018年4期
        關(guān)鍵詞:異面交點(diǎn)課本

        趙 剛

        (山東淄博第四中學(xué),山東 淄博)

        我們都知道愛迪生測量燈泡容積的故事,故事的內(nèi)容不再贅述.這個(gè)故事告訴我們:可以把一個(gè)相對復(fù)雜的問題進(jìn)行簡單化處理.如何對一個(gè)復(fù)雜的問題進(jìn)行簡單化處理,彰顯的是我們對復(fù)雜問題本質(zhì)的理解與把握.同時(shí)自然科學(xué)研究的最高使命是從繁雜中整理出秩序,秩序就意味著真理,意味著簡潔.簡單性是科學(xué)工作者一貫追求的目標(biāo).正如莎士比亞所說:“簡潔是智慧的靈魂,冗長是膚淺的藻飾.”

        那么在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,“簡單化處理”能帶給我們哪些啟示呢?

        一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“簡單化處理”

        “簡單化處理”應(yīng)孕育在平時(shí)的潛移默化的教學(xué)之中,只有教師不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生去領(lǐng)悟教材如何對一些數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“簡單化處理”,才能讓學(xué)生感悟到“簡單化處理”的意義和作用,通過“簡單化處理”使學(xué)生更加明確要掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì),提高數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).我們從課本中的幾處定義說起.

        1.異面直線所成的角(或夾角)

        異面直線所成的角(或夾角)的定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn) O,作直線 a′∥a,b′∥b 我們把 a′與 b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).在這個(gè)定義中,O點(diǎn)是空間中任意一點(diǎn),既然任意,所以課本才有下面一段話!

        為了簡便(即簡單化處理),點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上.正因?yàn)檫@樣,我們在求解兩條異面直線所成角時(shí),對點(diǎn)O的處理本著簡單化原則進(jìn)行處理.

        2.任意角的三角函數(shù)

        人教A版必修四是這樣定義“任意角的三角函數(shù)”的.

        設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么

        (1)y叫做 α 的正弦,記作 sinα,即 sinα=y;

        (2)x叫做 α 的余弦,記作 cosα,即 cosα=x;

        在課本的這個(gè)定義中,為什么引進(jìn)單位圓?引進(jìn)單位圓的意義是什么?課本都沒有交代.

        任意角的三角函數(shù)應(yīng)這樣定義比較好:

        設(shè)α是一個(gè)任意角,在它終邊上任取一點(diǎn)P(x,y),這個(gè)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離記為r,則那么有(x≠0).又因?yàn)?P(x,y)為角 α 終邊上任意一點(diǎn),既然任意,為了簡單——數(shù)學(xué)所追求的境界,取r=1,這樣就有sinα=y、cosα=x.并且這樣理解以后,也就能理解課本中關(guān)于正切線的定義了——也是為了“簡單”,取了“x=1”.

        二、數(shù)學(xué)思維中的“簡單化處理”

        面對繁雜的數(shù)學(xué)問題,如何透過現(xiàn)象看到問題本質(zhì),對問題做簡單化處理,不僅是正確、迅速解題的需要和保證,而且是優(yōu)化思維品質(zhì)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神、提高創(chuàng)新能力的有效途徑.對學(xué)生來說,則是一種對所學(xué)知識的靈活運(yùn)用和高超駕馭基礎(chǔ)上的創(chuàng)新,是一種精神的升華和對數(shù)學(xué)美的追求.

        1.平面向量

        平面內(nèi)有無數(shù)多個(gè)向量,我們不可能一一進(jìn)行研究,那該如何處理呢?這就是平面向量的基本定理,即我們可以把平面內(nèi)無數(shù)多個(gè)向量進(jìn)行簡單化處理,轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量即可.即我們在用向量知識與方法處理數(shù)學(xué)問題時(shí),做的第一件事就是建立一組基底,還要注意基底的最高境界是單位正交基底——平面直角坐標(biāo)系.

        例 1.在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1.D 是邊 BC 上的一點(diǎn),DC=2BD,則=_______.

        由于 D 是邊 BC 上的一點(diǎn),且 DC=2BD,所以有故而這樣

        此題還可以建立直角坐標(biāo)系——基底的最高境界,利用坐標(biāo)的運(yùn)算解決問題,請讀者自己給出.

        2.解析幾何

        解析幾何的問題做一簡單化處理就是可以把它濃縮成三種交點(diǎn):即直線與直線交點(diǎn);直線與圓錐曲線交點(diǎn);圓錐曲線間的交點(diǎn).對于這三種交點(diǎn)我們會采取不同的策略來處理.

        對于直線與直線交點(diǎn),我們的處理策略是將直線方程聯(lián)立,解出交點(diǎn)坐標(biāo);對于直線與圓錐曲線的交點(diǎn),我們的處理策略采用大家都非常熟悉的“設(shè)而不求”的處理策略。下面通過例題說一說圓錐曲線間的交點(diǎn)處理策略.

        解析:橢圓與雙曲線的交點(diǎn)P就其本意而言,我們應(yīng)該將其方程組成方程組從中求出P的坐標(biāo),再利用P的坐標(biāo)和F1、F2的坐標(biāo),求∠cosF1PF2的大小.

        當(dāng)然了,這樣做無可厚非,只是過程復(fù)雜了一點(diǎn).

        但這個(gè)題我們并不需要這樣做,只是將交點(diǎn)P看成是橢圓和雙曲線上的點(diǎn)來使用即可.

        所以在碰到有關(guān)圓錐曲線間的交點(diǎn)問題時(shí),交點(diǎn)坐標(biāo)是不需要求的,只是將交點(diǎn)分別看成是圓錐曲線上的點(diǎn)即可.

        總之,數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要善于引導(dǎo)學(xué)生探索知識內(nèi)部錯(cuò)綜復(fù)雜的細(xì)節(jié),認(rèn)知知識核心及其整體結(jié)構(gòu),還要善于引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡單化處理的數(shù)學(xué)思想和策略智慧,帶領(lǐng)學(xué)生達(dá)到鳥瞰數(shù)學(xué)的境界.

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