余招賢

摘 要：分離變量法是求解有限域上數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題的普遍有效方法。文章首先簡(jiǎn)單介紹分離變量法的基本原理和使用分離變量法的限制條件，然后重點(diǎn)討論對(duì)非齊次方程和非齊次邊界條件的數(shù)學(xué)處理，使我們可以突破分離變量法的適用范圍，最大限度地直接或間接使用分離變量法求解各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)物理方程問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：分離變量法；適用條件；拓展應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：O411.1；O241.82

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一、引言

數(shù)學(xué)物理方程主要指從物理學(xué)及其工程技術(shù)應(yīng)用科學(xué)中產(chǎn)生的偏微分方程（有時(shí)也包含積分方程、微分積分方程等），它是一門(mén)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性強(qiáng)和物理應(yīng)用范圍廣的數(shù)理基礎(chǔ)課，同時(shí)它又被公認(rèn)為大學(xué)理工科教學(xué)中一門(mén)難教、難學(xué)的基礎(chǔ)必修課。數(shù)學(xué)物理方程是物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)，一般用來(lái)描述大量物理現(xiàn)象背后的普遍規(guī)律和共同特征。例如，波動(dòng)方程描寫(xiě)波動(dòng)現(xiàn)象的普遍規(guī)律，不管是聲波還是電磁波都要服從波動(dòng)方程。輸運(yùn)方程反映輸運(yùn)過(guò)程的基本規(guī)律，不管是由溫度梯度引起的熱傳導(dǎo)，還是由物質(zhì)濃度差引起的物質(zhì)擴(kuò)散都符合輸運(yùn)方程。穩(wěn)定場(chǎng)方程描述的現(xiàn)象就更加廣泛了，通常指物理量在不隨時(shí)間變化的情況下滿(mǎn)足的偏微分方程，但在數(shù)學(xué)物理方程中將特指拉普拉斯方程、泊松方程和亥姆霍茲方程，它們描述穩(wěn)定溫度場(chǎng)、靜電場(chǎng)、時(shí)諧電磁波的電場(chǎng)或磁場(chǎng)空間分布等[1][2]。這些經(jīng)典數(shù)學(xué)物理方程雖然能夠描寫(xiě)物理現(xiàn)象的共同規(guī)律，卻無(wú)法對(duì)某個(gè)具體現(xiàn)象和過(guò)程作出全面的描述，所以只有偏微分方程往往不足以確定具體問(wèn)題的解，定解還需要提供具體問(wèn)題的邊界條件和初始條件，它們分別反映系統(tǒng)受到外界的影響，以及系統(tǒng)在初始時(shí)刻的物理狀態(tài)，邊界條件和初始條件一起統(tǒng)稱(chēng)定解條件。

一般來(lái)說(shuō)，偏微分方程的解法相當(dāng)復(fù)雜，數(shù)學(xué)物理方程課程中涉及三類(lèi)經(jīng)典方程，其解法具有典型代表性，完全可以應(yīng)用到其他類(lèi)型的數(shù)學(xué)物理方程求解，如量子力學(xué)的薛定諤方程。分離變量法就是一種求解偏微分方程的普遍有效方法，適用于大量的有限域上的初邊值問(wèn)題。本文首先簡(jiǎn)單介紹分離變量法的基本原理，其次說(shuō)明分離變量法的嚴(yán)格適用條件，最后討論分離變量法的各種拓展應(yīng)用，重點(diǎn)介紹對(duì)非齊次邊界條件的數(shù)學(xué)處理，對(duì)非齊次方程應(yīng)用本征函數(shù)展開(kāi)法，對(duì)穩(wěn)定場(chǎng)引進(jìn)自然邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題，通過(guò)這些數(shù)學(xué)處理極大地拓展了直接或間接使用分離變量法的應(yīng)用范圍。

二、分離變量法的基本原理

對(duì)于微分方程可以先求通解，然后利用邊值條件定解。偏微分方程卻一般無(wú)法采用類(lèi)似方法求解，主要是因?yàn)槠⒎址匠痰耐ń怆y找，即使找到了通解，可能也難以定解。分離變量法基本原理的提出其實(shí)是受到物理中駐波現(xiàn)象的啟示，如兩端固定弦的自由振動(dòng)滿(mǎn)足波動(dòng)方程。從物理上容易看出，弦的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)波有反射作用，波在兩個(gè)端點(diǎn)之間往復(fù)反射并疊加形成駐波。這就啟發(fā)我們弦上存在駐波形式的特解，駐波的特點(diǎn)就是波函數(shù)可以表示為時(shí)間變量函數(shù)和空間變量函數(shù)的乘積，即存在分離變量形式的特解。

現(xiàn)在分離變量法已經(jīng)成為求解數(shù)學(xué)物理方程最有效的一種方法，雖然其核心思想源自駐波，但這并不意味著它只能應(yīng)用在波動(dòng)方程的求解，它完全可以推廣到各種類(lèi)型的數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題。具體來(lái)說(shuō)，分離變量法首先需要假設(shè)方程存在分離變量形式的特解，對(duì)方程分離變量，從而把偏微分方程轉(zhuǎn)換成幾個(gè)單變量函數(shù)滿(mǎn)足的微分方程，對(duì)邊界條件分離變量，由此得出對(duì)微分方程所描述的單變量函數(shù)的某些限制，這些限制條件和微分方程一起構(gòu)成本征值問(wèn)題。然后對(duì)本征值問(wèn)題進(jìn)行求解，求解結(jié)果不僅需要找到一組非零特解（本征函數(shù)），還要確定那些待定常數(shù)所能取到的一些特定數(shù)值（本征值）。最后把這些分離變量形式的特解疊加起來(lái)，得到滿(mǎn)足方程和邊界條件的一般解，進(jìn)一步使其滿(mǎn)足初始條件，以確定一般解中的疊加系數(shù)，方程最終獲解。

三、分離變量法的條件

雖然分離變量法行之有效，應(yīng)用廣泛，但它的使用范圍仍然受到一定的限制。分離變量法的首要前提是存在分離變量形式的特解，這種特解是否真的存在，一切都要看最終能否定解。當(dāng)我們把分離變量特解代入偏微分方程，就會(huì)發(fā)現(xiàn)只有對(duì)齊次偏微分方程，才能真正實(shí)施分離變量的步驟，即把偏微分方程轉(zhuǎn)換為一系列的單變量微分方程。而對(duì)非齊次偏微分方程，顯然無(wú)法分離變量，因?yàn)榉驱R次項(xiàng)是一個(gè)不為零的已知函數(shù)，無(wú)法寫(xiě)成解的分離表達(dá)形式。所以分離變量法要求方程必須是齊次的。

對(duì)齊次偏微分方程進(jìn)行分離變量后得到的系列微分方程，與普通微分方程有一點(diǎn)顯著不同，那就是它們還包含分離變量過(guò)程中引進(jìn)的一些待定常數(shù)，導(dǎo)致這些微分方程無(wú)法單獨(dú)求解，必須為其提供合適的附加條件，構(gòu)成所謂的本征值問(wèn)題。這些附加條件的來(lái)源多種多樣，它們通常來(lái)自對(duì)原定解問(wèn)題的全部或部分邊界條件進(jìn)行分離變量所得，也就是要求全部或部分邊界條件必須是齊次的。對(duì)于穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題，情況則有點(diǎn)復(fù)雜。穩(wěn)定場(chǎng)的邊界條件不可能全部是齊次的，否則按照解析函數(shù)理論，穩(wěn)定場(chǎng)內(nèi)部每一點(diǎn)上物理量的值都決定于邊界上的值，即全部齊次邊界條件意味著系統(tǒng)內(nèi)的穩(wěn)定場(chǎng)恒為零，這是沒(méi)有物理意義的。例如，在直角坐標(biāo)系中，對(duì)矩形或長(zhǎng)方體邊界的情況，只要求部分邊界條件是齊次的，能夠分離變量構(gòu)成本征值問(wèn)題即可。對(duì)圓形、球面或圓柱邊界，一般選擇極坐標(biāo)、球坐標(biāo)或柱坐標(biāo)，這時(shí)候雖然邊界條件一般是非齊次的，但我們可以對(duì)角坐標(biāo)采用周期條件或有界條件，能夠與相應(yīng)角坐標(biāo)的微分方程構(gòu)成本征值問(wèn)題。

構(gòu)成本征值問(wèn)題后進(jìn)行求解，將會(huì)得到一系列的本征值和本征函數(shù)。本征函數(shù)的實(shí)質(zhì)就是符合方程和邊界條件（部分）的特解，這些本征函數(shù)（特解）通常具有正交、歸一、完備等性質(zhì)。分離變量法能夠成功的另一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)就是，這些特解的線性疊加仍然是偏微分方程的解，并且還能滿(mǎn)足邊界條件（部分）。把這些特解疊加起來(lái)，構(gòu)成滿(mǎn)足方程和邊界條件（部分）的一般解，然后利用初始條件或其余定解條件確定一般解中的未知系數(shù)。要能做到這一點(diǎn)，就必須要求原方程和邊界條件都是線性的。

實(shí)際上，使用分離變量法，除了要求方程和邊界條件滿(mǎn)足齊次和線性條件之外，還要求邊界的形狀是規(guī)則的幾何形狀，如矩形、圓形、球形、圓柱形等，在適當(dāng)選擇的坐標(biāo)系中，這些規(guī)則的邊界可以用若干個(gè)只含有一個(gè)變量的方程來(lái)表示，這一點(diǎn)容易被人忽略。

四、分離變量法的各種拓展

通過(guò)前面的討論，可以看出使用分離變量法有著嚴(yán)格的適用條件，即不僅要求方程和邊界條件線性（部分）齊次，還要求系統(tǒng)的邊界具有規(guī)則幾何形狀。實(shí)際上這些條件都是分離變量法的充分條件，而非全部是必要條件，下面說(shuō)明我們可以通過(guò)一些數(shù)學(xué)手段，突破上述條件的限制，在更大的范圍內(nèi)繼續(xù)直接或間接使用分離變量法的思想，以幫助我們解決各種復(fù)雜問(wèn)題[3][4]。

1.對(duì)非齊次邊界條件的處理

首先討論邊界條件，通常說(shuō)只有齊次邊界條件才能分離變量，才能和微分方程構(gòu)成本征值問(wèn)題，進(jìn)而求解本征值和本征函數(shù)，按照分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)理論處理問(wèn)題?？紤]一維波動(dòng)方程的定解問(wèn)題，方程是齊次的，但邊界條件是非齊次的，在這種情況下方程仍然可以分離變量得到微分方程，邊界條件卻不能分離變量了，所以無(wú)法提供微分方程的附加條件以構(gòu)成本征值問(wèn)題，原則上就不能應(yīng)用分離變量法了。一個(gè)變通的做法是引進(jìn)一個(gè)數(shù)學(xué)輔助函數(shù)，使邊界條件由非齊次變成齊次，符合邊界條件分離變量的要求，這樣的簡(jiǎn)單輔助函數(shù)對(duì)三類(lèi)線性非齊次邊界條件都很容易找到。付出的代價(jià)卻是方程很可能變成非齊次，即邊界條件齊次化了，方程卻變?yōu)榉驱R次了，還是不能直接應(yīng)用分離變量法。其實(shí)更普遍的情況是方程和邊界條件本來(lái)都是非齊次的，但是我們總能通過(guò)尋找輔助函數(shù)，使邊界條件齊次化，最壞的結(jié)果就是非齊次的方程繼續(xù)是非齊次罷了。所以對(duì)任意非齊次方程附加非齊次邊界條件的定解問(wèn)題，我們總是可以通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換，把定解問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為一個(gè)非齊次方程附加齊次邊界條件的情況，這種情況我們能夠按照后面介紹的本征函數(shù)展開(kāi)法進(jìn)行有效處理。

2.對(duì)非齊次方程的處理

下面只需考慮非齊次方程附加齊次邊界條件的情況。由于方程本身不能直接分離變量，這種情況顯然不能直接應(yīng)用分離變量法求解。但是我們可以基于分離變量法的理論，找到一種普遍而又有效的解決方案，處理非齊次方程和齊次邊界條件的典型問(wèn)題。具體方法是先忽略方程的非齊次項(xiàng)，直接考慮一個(gè)齊次方程和齊次邊界條件結(jié)合的問(wèn)題?，F(xiàn)在當(dāng)然可以分離變量了，由相應(yīng)本征值問(wèn)題可以得到本征函數(shù)。從理論上說(shuō)，盡管方程是非齊次的，定解問(wèn)題的相應(yīng)齊次問(wèn)題的本征函數(shù)總是客觀存在的，如果我們還是按照把本征函數(shù)（特解）線性疊加得到一般解的方法，這樣的一般解只能是齊次方程在齊次邊界條件下的一般解，肯定無(wú)法滿(mǎn)足非齊次的方程。即使我們?cè)儆沙跏紬l件定出疊加系數(shù)，這樣得到的解絕不是原定解問(wèn)題的解，也絕不是原定解問(wèn)題的廣義解。但從本征函數(shù)完備性的角度，任何一個(gè)函數(shù)（包括原定解問(wèn)題的解）都可以用本征函數(shù)展開(kāi)，只不過(guò)現(xiàn)在的展開(kāi)系數(shù)不是常系數(shù)，而是某個(gè)變量的待求函數(shù)。為了確定該函數(shù)，把原方程的每一項(xiàng)都用本征函數(shù)展開(kāi)，就可以得到待求函數(shù)滿(mǎn)足的非齊次微分方程，同樣對(duì)原定解條件作相同的展開(kāi)，得出待求函數(shù)滿(mǎn)足的附加條件，現(xiàn)在原則上就可以完全解出待求函數(shù)，最終就可以得到既滿(mǎn)足非齊次方程又滿(mǎn)足齊次邊界條件的解。另外也說(shuō)明為什么必須先要將邊界條件齊次化，因?yàn)橹挥袧M(mǎn)足與本征函數(shù)相同的（齊次）邊界條件的函數(shù)，才能按照該組本征函數(shù)展開(kāi)（至少在平均收斂的意義下）。以上方法稱(chēng)為本征函數(shù)展開(kāi)法，也稱(chēng)為廣義傅里葉級(jí)數(shù)法。所以在最一般的情況下，我們依然可以應(yīng)用分離變量法的思想求解線性非齊次方程和線性非齊次邊界條件的定解問(wèn)題。

3.對(duì)穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題的處理

對(duì)穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題，由于不存在初始條件，所以只需考慮邊界條件。首先要明確，根據(jù)研究對(duì)象是否包含各種不同的“源”，穩(wěn)定場(chǎng)方程可以是齊次的（無(wú)源，拉普拉斯方程），或者是非齊次的（有源，泊松方程）。而如前所述，穩(wěn)定場(chǎng)的邊界條件不可能全部是齊次的，所以穩(wěn)定場(chǎng)的邊界條件一般是非齊次的，最多只能在部分邊界上是齊次的。問(wèn)題來(lái)了，分離變量法還能用嗎？

此時(shí)需考慮兩種典型的情況。第一種就是研究物理量在矩形薄板或長(zhǎng)方體介質(zhì)中的穩(wěn)定分布。顯然系統(tǒng)的邊界是矩形的四條邊或長(zhǎng)方體的六個(gè)外表面，這時(shí)最好選擇直角坐標(biāo)系，如果系統(tǒng)內(nèi)無(wú)源，滿(mǎn)足齊次拉普拉斯方程，當(dāng)然可以分離變量。對(duì)于邊界條件來(lái)說(shuō)，如果矩形的一組對(duì)邊上或長(zhǎng)方體的兩組相對(duì)的外表面上的邊界條件是齊次的，那么就可以對(duì)相應(yīng)的齊次邊界條件進(jìn)行分離變量，所得的限制條件與微分方程一起構(gòu)成本征值問(wèn)題并求解，最后構(gòu)成穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題的一般解，并利用剩余的非齊次邊界條件確定一般解中的疊加系數(shù)，從而最終定解。實(shí)際上對(duì)具有矩形或長(zhǎng)方體邊界的系統(tǒng)進(jìn)行求解時(shí)，可以進(jìn)一步拓展分離變量法的適用范圍，即使所有的邊界條件都是非齊次的，只要方程是線性齊次的拉普拉斯方程，就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的分解方法，即把一個(gè)矩形邊界的定解問(wèn)題分成兩個(gè)新的定解問(wèn)題，把一個(gè)長(zhǎng)方體邊界的定解問(wèn)題分成三個(gè)新的定解問(wèn)題，其中每一個(gè)新的定解問(wèn)題都含有部分齊次邊界條件，完全可以按照分離變量法求解，最后再把它們各自的解疊加起來(lái)，就可以得到原定解問(wèn)題的完整答案。

第二種情況就是對(duì)二維圓或三維柱形和球面邊界，最好采用平面極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)，這時(shí)邊界條件只能是非齊次的，否則系統(tǒng)內(nèi)部每一點(diǎn)的物理量取值為零。假如方程還是齊次的拉普拉斯方程，分離變量法還能應(yīng)用嗎？答案是肯定的。拉普拉斯方程一定是可以分離變量的，在平面極坐標(biāo)系中拉普拉斯方程可以分解為兩個(gè)微分方程，即徑向方程和角向方程，在三維球坐標(biāo)系中拉普拉斯方程可以分解為徑向方程和兩個(gè)角向方程。雖然這時(shí)邊界條件是無(wú)法分離變量的，也就是不能為微分方程提供附加條件，但是極坐標(biāo)或球坐標(biāo)的引入自然要考慮角坐標(biāo)的周期性，還有要求物理量在邊界上保持有界性，這些都是對(duì)微分方程中的本征值的附加要求，可以構(gòu)成相應(yīng)的本征值問(wèn)題。然后就可以按照分離變量法的標(biāo)準(zhǔn)步驟進(jìn)行求解。當(dāng)然對(duì)非齊次的穩(wěn)定場(chǎng)方程，我們就只能通過(guò)尋找特解的方法，使其轉(zhuǎn)化為齊次方程，然后即可按照上述討論的方法進(jìn)行求解。

五、結(jié)論

分離變量法的基本原理就是通過(guò)尋找可以表達(dá)為分離變量函數(shù)乘積形式的非零特解，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為微分方程，其實(shí)質(zhì)是將自變量的個(gè)數(shù)減少，求出這些微分方程滿(mǎn)足齊次邊界條件或附加自然邊界條件的非零特解，再作線性疊加，最終求出滿(mǎn)足所有定解條件的解。分離變量法的嚴(yán)格適用條件是方程和邊界條件都是線性的和齊次的，邊界形狀是規(guī)則的幾何形狀。為了最大限度拓展分離變量法的使用范圍，對(duì)最一般的非齊次方程和非齊次邊界條件的時(shí)域問(wèn)題，可以通過(guò)引進(jìn)數(shù)學(xué)輔助函數(shù)，把非齊次邊界條件齊次化，然后引進(jìn)建立在分離變量法理論基礎(chǔ)上的本征函數(shù)展開(kāi)法，對(duì)穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題的非齊次邊界條件，可以引進(jìn)附加的自然邊界條件以構(gòu)成本征值問(wèn)題，這些數(shù)學(xué)方法有效突破了分離變量法的限制條件，使我們可以解決更廣泛和更復(fù)雜的數(shù)學(xué)物理方程問(wèn)題。

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