黃笠

【摘要】在新課程背景下，有效教學(xué)越來越被教師所接受.數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)也越來越講究效益.傳統(tǒng)教學(xué)中的題海大戰(zhàn)和延長學(xué)習(xí)時間來提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也已經(jīng)違背“少教多學(xué)”的理念.因此，本文從數(shù)學(xué)課堂的講題出發(fā)，通過分析講題的方法過程，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，讓數(shù)學(xué)課堂實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效.

【關(guān)鍵詞】講題；關(guān)注點(diǎn)；數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)學(xué)課堂經(jīng)常會出現(xiàn)教師反復(fù)講解同類型的題目，花了大力氣，學(xué)生也學(xué)得累，但是效果不理想的現(xiàn)象.做過幾遍、講過幾遍的題目學(xué)生還是不會，還是會做錯.教師因此也容易走向職業(yè)倦怠，認(rèn)為自己教不會學(xué)生甚至教了幾十年不會教了.其實(shí)，我們不能簡單地責(zé)怪學(xué)生不聰明、不勤奮，在教師的講題過程中，忽視了學(xué)生思維能力的培養(yǎng).教師缺乏教學(xué)目標(biāo)意識，想到哪講到哪；重點(diǎn)內(nèi)容不突出，難點(diǎn)的突破沒有相應(yīng)的教學(xué)處理；解題的邏輯思維混亂；講題只關(guān)注答案，忽視了學(xué)生的思考過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力并沒有隨之提升.因此，筆者通過分析一些課堂講題實(shí)例的關(guān)注點(diǎn)，力爭促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展.

一、講題要講清分析點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性

數(shù)學(xué)思維的深刻性就是在對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析研究、解決的過程中，善于從復(fù)雜的表現(xiàn)形式中抽象出空間形式和數(shù)量關(guān)系，把握住本質(zhì)及規(guī)律.深刻性是思維品質(zhì)的基礎(chǔ)，只有加強(qiáng)知識方法的理解，才能不斷地提升數(shù)學(xué)思維的深刻性.

例1 如圖所示，已知A，B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=4，MA=1，MB>1，以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M，N兩點(diǎn)重合于點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC.若△ABC為直角三角形，則AB=.

講題要講清分析點(diǎn)，首先要幫助學(xué)生有效審題.讓學(xué)生明白該研究哪些知識，讓學(xué)生通過觀察找出已知條件和待求結(jié)論，然后再去讓學(xué)生建立橋梁.養(yǎng)成良好的審題和分析習(xí)慣對于解決好一些中檔題是非常有幫助的，也是數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展的前提.例1這道題目往往是利用方程思想，設(shè)AB=x，然后利用條件△ABC為直角三角形分三類情況建立方程求解，最后可以得出正確答案.但是這樣的講解就完成了嗎？不是！我們不能放過題目中出現(xiàn)的任何一個條件，包括一些隱含條件.經(jīng)過仔細(xì)分析題目發(fā)現(xiàn)有這個條件：“構(gòu)成△ABC”.可以有怎么樣的用處呢？于是學(xué)生恍然大悟，要保證構(gòu)成三角形的條件就是要任意兩邊之和大于第三邊.馬上可以建立三個不等式求出1

兩種不同的思路，雖然都可以得到正確答案，但是筆者認(rèn)為認(rèn)真分析條件先得出AB的隱含范圍應(yīng)該更接近數(shù)學(xué)的本質(zhì)，更能讓我們的課堂充滿數(shù)學(xué)味.在本題的教學(xué)中，可以通過小組合作交流，學(xué)生在交流中體驗思維的碰撞，充分挖掘題中的隱含條件和本質(zhì)，不斷提高學(xué)生的審題能力和觀察能力，從而培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的深刻性.

二、講題要講出關(guān)鍵點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯性

例2 如圖所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°.

∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折疊后與點(diǎn)O重合，則∠CEF的度數(shù)是.

這道題目的關(guān)鍵在于是否會運(yùn)用條件∠BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O來解題，學(xué)生利用角平分線可得∠BAO=∠CAO=25°，但是AB的中垂線這個條件如何運(yùn)用是關(guān)鍵，很多學(xué)生在此處都有困難.當(dāng)然教師可以直接告訴學(xué)生怎么用，但是效果不一定理想，往往會導(dǎo)致學(xué)生講完就忘記！因為一道習(xí)題，對于教師是非常熟悉的，但對于學(xué)生可能是完全陌生的，教師不一定要直接點(diǎn)破習(xí)題中的關(guān)鍵點(diǎn).可以適當(dāng)?shù)亟o學(xué)生留有思考，教師只要拋出問題串，激發(fā)學(xué)生積極參與思考，而不一定是按照基本思路一講到底.提問和思考后再和學(xué)生一起分析，這樣更能加深學(xué)生的體會.那么AB的垂直平分線到底能如何使用呢？此時引導(dǎo)學(xué)生回憶教材的描述：垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等.教師追問：在圖中應(yīng)該是哪個點(diǎn)到A和B的距離相等呢？學(xué)生馬上回答：O點(diǎn)！于是就在關(guān)鍵處引導(dǎo)學(xué)生得到OA=OB.學(xué)生連接OB得到∠OBA=∠OAB=25°.此時，學(xué)生的邏輯推理思維已經(jīng)被激活，根據(jù)AB=AC和∠BAC=50°，學(xué)生容易得出∠ABC=∠ACB=65°，進(jìn)而得到∠OBC=40°.由折疊可知∠CEF是∠CEO的一半，∠CEO是等腰△CEO的頂角，可以通過先求底角來完成.求哪一個底角容易呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)△ABO≌△ACO，得到OB=OC，馬上求出∠OBC=∠OCB=40°.最后根據(jù)底角40°可以求出∠CEO=100°，得到∠CEF=50°.

講解習(xí)題要有層次感，一般可以先從簡單條件入手，步步深入，讓學(xué)生在習(xí)題的聽講中漸入佳境，這樣有利于學(xué)生配合思考.適當(dāng)?shù)牡胤讲捎脻u進(jìn)式問題串，使得每一步都為下面的思維活動打下基礎(chǔ)，激發(fā)學(xué)生的探究欲望和培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，讓每個層次的學(xué)生都能有所體驗，并從中獲得一定的成就感.在問題的難點(diǎn)處，有目的地暴露學(xué)生的思維障礙，通過關(guān)鍵條件的引導(dǎo)與思考，給學(xué)生搭建解題的腳手架，能夠讓學(xué)生消除畏難心理，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生提高思維的邏輯推理能力.

三、講題要講透聯(lián)系點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的批判性

數(shù)學(xué)思維的批判性是指在思維活動中能獨(dú)立思考，嚴(yán)格估計思維材料和精確檢查思維過程，有根據(jù)地做出肯定接受或否定質(zhì)疑的品質(zhì).在數(shù)學(xué)解題中，不斷精簡過程，發(fā)現(xiàn)和挖掘新的解題方法，都是思維批判性的基本表現(xiàn).

例3 已知一個直角三角形的周長是30，斜邊長13，求它的面積.

遇到此題，學(xué)生的方程思想掌握較好，能夠較快地設(shè)直角邊為a和b，于是得到兩個方程：a+b=17，a2+b2=169.然后消去b得到a的一元二次方程，求解出兩條直角邊為5和12，從而得到面積是30.有些教師在課堂上也是這樣講，然后給出計算過程之后就講下一題了.實(shí)際上這道題目還有其他的解法嗎？教師提出疑問，學(xué)生的思維再次被激發(fā).教師問：設(shè)了直角邊a和b之后，面積怎么表示？學(xué)生回答：S=12ab.教師又問：那不是只要先求出ab就可以了！除了分別求直角邊a和b，能不能考慮下整體思想去求ab？這個時候?qū)W生發(fā)現(xiàn)ab，a+b，a2+b2三者之間是有聯(lián)系的！馬上根據(jù)（a+b）2=a2+b2+2ab可以得出2ab=172-132=30×4=120，最后求得面積為30.

因此，在講題過程中要注意條件和哪些定理、公式是有聯(lián)系的，條件與結(jié)論之間有何聯(lián)系，充分運(yùn)用這些隱含的聯(lián)系，讓學(xué)生有質(zhì)疑思考的過程，能不能發(fā)現(xiàn)更好的方法，可以使講題更高效.數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是教技巧，更重要的是教學(xué)生學(xué)會觀察、實(shí)驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象等方法去探尋數(shù)理關(guān)系和規(guī)律，從中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，同時也發(fā)展了數(shù)學(xué)思維的批判性.

四、講題要突出轉(zhuǎn)化點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性

例4 如圖所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，MN⊥AC于點(diǎn)N，則MN等于.

學(xué)生很快能夠知道BM=CM=3，接下來就束手無策了.原因在哪呢？學(xué)生想不到去添加輔助線，主要原因是在等腰三角形中缺乏三線合一的數(shù)學(xué)意識，新授課“三線合一”的概念生成過快，急于進(jìn)行習(xí)題的反復(fù)訓(xùn)練，在短期內(nèi)是可以達(dá)到教學(xué)效果的.但是長期來看，學(xué)生容易遺忘.學(xué)生在概念的生成中沒有足夠參與的時間和過程，只是死記方法，關(guān)于圖形的背景和特征都沒有去認(rèn)真理解，遇上較為陌生的題目，雖然知識點(diǎn)相同，學(xué)生無法通過自己原有的知識結(jié)構(gòu)來完成解答.因為學(xué)生原有的知識結(jié)構(gòu)更多的是一個一個孤立的題目的解題方法，并沒有建立完整的知識結(jié)構(gòu)去解題.當(dāng)學(xué)生陷入這樣的困境時，教師可以適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生，能否把相關(guān)的條件結(jié)合起來轉(zhuǎn)化一下去解題？這時，學(xué)生才恍然大悟，原來是應(yīng)該要把AB=AC和點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)兩個條件組合，構(gòu)成三線合一的條件，轉(zhuǎn)化得到三線合一的結(jié)論來解題.學(xué)生往往只會把條件一對一地單一轉(zhuǎn)化，缺乏把條件組合在一起進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力.到此，輔助線也呼之欲出，當(dāng)學(xué)生連接AM后，得出AM⊥BC，勾股定理計算出AM=4.再來看MN⊥AC怎么轉(zhuǎn)化呢？結(jié)合AM⊥BC，學(xué)生此時明白求MN可以轉(zhuǎn)化為求Rt△AMC斜邊上的高.

弗拉維爾提出元認(rèn)知的概念，就是個體關(guān)于自己的認(rèn)知過程的知識和調(diào)節(jié)這些過程的能力.主要功能表現(xiàn)在定向、控制和調(diào)節(jié).在這個講題過程中，不斷地把條件組合使用，按照既定方向轉(zhuǎn)化得到對解題有幫助的結(jié)論，并在轉(zhuǎn)化過程中不斷地加以監(jiān)控和調(diào)節(jié)，最終得到需要的結(jié)論.不僅加強(qiáng)了學(xué)生的解題能力，更提升了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性.

五、講題要講總結(jié)點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣泛性

例5 如圖所示，已知一次函數(shù)y1=k1x+6與反比例函數(shù)y2=k2x（x>0）的圖像交于點(diǎn)A，B，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為2和4.

（1）k1=，k2=.

（2）求點(diǎn)A，B，O所構(gòu)成的三角形的面積.

分析 第1小題可以通過橫坐標(biāo)的代入得到方程組來解答.

第2小題的解答如下：A（2，4），B（4，2）.

方法一 令直線AB與x軸、y軸交于點(diǎn)C，D.

S△AOB=S△AOC-S△BOC=12-6=6，

或者S△AOB=S△BOD-S△AOD=12-6=6.

方法二 AB=22，OA=OB=25，可知是等腰三角形，考慮作底邊AB上的高，根據(jù)三線合一得出AB的一半是2，運(yùn)用勾股定理求出高是32，于是S△AOB=12×32×22=6.

方法三 作AE⊥x軸交OB于點(diǎn)G，BF⊥x軸，

S△AOB=S四邊形AOFB-S△BOF=S四邊形AOFB-S△AOE=S梯形AEFB=6.

方法四 S△AOB=S△AGO+S△AGB=12×AG×h1+12×AG×h2=12×AG×4=6.

方法五 由海倫公式p=12（a+b+c）=12×（25+25+22）=25+2，

S△AOB=p（p-a）（p-b）（p-c）=（25+2）×2×2×（25-2）=（20-2）×2=6.

有些教師對于此題講完方法一就結(jié)束，未能達(dá)到足夠的思維訓(xùn)練.對于此類題可以通過開展數(shù)學(xué)活動，將學(xué)生分成若干組，比一比哪一組使用的解題方法多.一下子就把學(xué)生的興趣激發(fā)起來，學(xué)生在探究多種解法的活動中有意識地針對活動過程進(jìn)行必要的總結(jié)，最后師生可以共同完成方法的總結(jié)，得出求面積的一般方法可以簡單記為：“面積公式、加加減減、尋找相似”.這樣的總結(jié)，讓學(xué)生不再是對面積的求法“只見樹木，不見森林”.講題后的總結(jié)可以是知識的總結(jié)、思想方法的總結(jié)、形式規(guī)范的總結(jié)、條理清晰的總結(jié)、解答嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目偨Y(jié)、注意點(diǎn)的總結(jié)、例題變式的總結(jié)等.通過各種不同形式的總結(jié)，讓學(xué)生對題有一個再認(rèn)識和反思的過程，能夠更好地促進(jìn)知識的鞏固和生成，提升數(shù)學(xué)思維的廣泛性.

因此，在講題過程中，教師可以適當(dāng)引入有關(guān)的情境，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生積極參與到問題的思考中；通過小組合作交流，給予學(xué)生思維碰撞的時間和機(jī)會；通過啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解知識方法的本質(zhì)；通過學(xué)生的自主反思總結(jié)，鞏固和生成所學(xué)知識，提升數(shù)學(xué)思維能力.教學(xué)中還應(yīng)該充分考慮到學(xué)生的已有知識儲備和不同思維能力，采取側(cè)重點(diǎn)不同的講解方法.例如，初一的題目注重加深知識理解，掌握基本方法.初二的題目注重探究合作，最后實(shí)現(xiàn)共同完成.初三的題目注重思維點(diǎn)撥，方法歸納，本質(zhì)挖掘.對于難點(diǎn)的處理方式，我們可以通過幾何畫板的演示，相關(guān)知識材料的展示，表格的歸納呈現(xiàn)等手段為學(xué)生的思維搭建腳手架.在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng)過程中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模都是較高層次的能力.在教學(xué)中更要關(guān)注學(xué)生的思維起點(diǎn)和發(fā)展過程，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的不斷提升.