哈爾濱師范大學(xué)研究生 馬正方

辯證法認(rèn)為：一切客觀事物都是互相聯(lián)系的，都是具有內(nèi)部規(guī)律的。憶往昔，是什么遺傳千古的留念？是什么增添數(shù)學(xué)的容顏？看今朝，是什么譜成數(shù)學(xué)的新篇？是什么存在不解之緣？馬躍躍啊路漫漫，我上下求索找答案！

一、數(shù)列接龍與幻方的不解之緣

“三項(xiàng)制”（等比等差這兩種數(shù)列均為三項(xiàng)）數(shù)列接龍以“1、2、4”“1、3、9”“1、4、16”之類開頭的項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列，該數(shù)列和傳統(tǒng)文化的幻方存在莫名其妙的不解之緣！如此這般，可以設(shè)計(jì)兩種“找朋友”的數(shù)學(xué)游戲。

第一種“找朋友”：

以幻方（圖1）為參照系，根據(jù)數(shù)列接龍“1、2、4、6、9、12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90、100、110、121……”之中的任意連續(xù)九項(xiàng)的數(shù)字“對(duì)號(hào)入座”。這就是說，該連續(xù)九項(xiàng)的數(shù)字之中，各個(gè)數(shù)字按先后次序是第幾個(gè)數(shù)字，該數(shù)字就按參照系所寫的同樣數(shù)字所處的位置，在另一個(gè)事先準(zhǔn)備的空白幻方圖案之中填寫該數(shù)字。如此這般，“對(duì)號(hào)入座”式地填滿整個(gè)空白的幻方圖案（如圖2）。進(jìn)一步具體舉例說明：根據(jù)任意選擇的數(shù)列接龍之中的九個(gè)數(shù)字“1、2、4、6、9、12、16、20、25”，這九個(gè)數(shù)字接先后次序排號(hào)分別為第1號(hào)、第2號(hào)、第3號(hào)之列；圖2之中的2是根據(jù)圖1這個(gè)參照系之中的2所提示的第2號(hào)，把九個(gè)數(shù)字的第2號(hào)數(shù)字“2”填寫在此位置；圖2之中的16是根據(jù)圖1之中的7所提示的第7號(hào)，把第7號(hào)數(shù)字“16”填寫在此位置。如此這般“對(duì)號(hào)入座”而成為圖2。

圖1

圖2

這里任意的連續(xù)九項(xiàng)的數(shù)字是前面提出的數(shù)列接龍之中靠前的九個(gè)數(shù)字（這樣比較簡(jiǎn)明）。如圖2所示，兩行數(shù)字相加之和相等：2+16+12=6+4+20=30；兩列數(shù)字相加之和相等：2+25+6=12+1+20=33。如此這般，和數(shù)相等可謂“朋友”。

第二種“找朋友”：

圖3

圖4

以幻方（圖3）為參照系，還根據(jù)（這樣比較簡(jiǎn)明）前面的數(shù)列接龍進(jìn)行，并且“對(duì)號(hào)入座”式的方法照樣使用。

這里任意的連續(xù)十六項(xiàng)的數(shù)字仍然是前面提出的數(shù)列接龍之中靠前的十六個(gè)數(shù)字“1、2、4、6、9、12、16、20、25……72”。如圖4所示，兩行數(shù)字相加之和相等：56+16+36+2=64+12+30+4=110；1+42+20+49=6+25+9+72=112。兩列數(shù)字相加之和相等：56+1+6+64=2+49+72+4=127；16+42+25+12=36+20+9+30=95。兩條對(duì)角線數(shù)字相加之和相等：2+20+25+64=56+42+9+4=111。如此這般，和數(shù)相等可謂“朋友”。

下面再舉三個(gè)例子，方法依然如前所述“對(duì)號(hào)入座”。也就是說，任意截取數(shù)列接龍（“三項(xiàng)制”）“1、2、4、6、9、12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90、100、110、121……”之中的滿足項(xiàng)數(shù)需要的一段數(shù)列（如本兩個(gè)例子的十六項(xiàng)數(shù)列接龍“12、16、20、25、30、36、42、49、56、64、72、81、90、100、110、121”），然后按所截取的數(shù)列之中的各個(gè)數(shù)字的先后次序“排號(hào)”,各個(gè)數(shù)字根據(jù)“號(hào)數(shù)”（如1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)等），按照參照系之中相同的數(shù)字所處的位置，從而在另一個(gè)事先畫好的相同圖案之中相同的位置進(jìn)行“對(duì)號(hào)入座”式的填寫（如圖6、圖8、圖10所示）。

圖5

圖6

如圖6所示，兩行兩列數(shù)字相加之和相等：16+90+49+72=56+36+110+25=100+72+30+25=81+90+20+36=227；另外兩行兩列數(shù)字相加之和也相等：42+81+12+100=121+20+64+30=42+16+121+56=12+49+64+110=235。如此這般，和數(shù)相等，可謂平等友好的“朋友”啊！

圖7

圖8

如圖8所示，兩行和一條對(duì)角線數(shù)字相加之和相等：56+16+6+25=20+49+30+4=36+49+6+12=103；兩行和一條對(duì)角線數(shù)字相加之和相等：1+42+64+12=36+2+9+72=1+16+30+72=119；兩列數(shù)字相加之和相等：1+56+20+36=12+25+4+72；42+16+49+2=64+6+30+9=109。如此這般，和數(shù)相等可謂平等友好的“朋友”啊！

圖9

圖10

如圖10所示，兩行兩列數(shù)字相加之和相等：20+36+49+2=64+6+12+25=56+36+6+9=42+49+12+4=107；1+56+42+16=30+9+4+72=1+20+64+30=16+2+25+72=115。如此這般，和數(shù)相等，可謂平等友好的“朋友”?。?/p>

如前面的圖1、圖3、圖5、圖7、圖9所示，各個(gè)參照系都是從前流傳下來的比較典型的幻方。圖1正是古典的流傳極廣的九宮算幻方，因此，筆者特意選擇這幾個(gè)幻方作參照系。參照系不是固定不變的，可以根據(jù)掌握的幻方更換參照系。一個(gè)幻方作為參照系可供任何“三項(xiàng)制”的數(shù)列接龍“對(duì)號(hào)入座”使用。較多參照系，可以使數(shù)列接龍的表現(xiàn)多樣化。

由于作為參照系的幻方存在一定的特殊性，和數(shù)相等的等量關(guān)系在特殊情況下表現(xiàn)不明顯，因此不容易被人發(fā)現(xiàn)。例如有的等量關(guān)系表現(xiàn)在中間兩行的8個(gè)數(shù)之和與兩條對(duì)角線的8個(gè)數(shù)之和相等，兩列的8個(gè)數(shù)之和與另外兩列的8個(gè)數(shù)之和相等。

幻方屬于優(yōu)秀的中華傳統(tǒng)文化，文化自信、理論自信需要繼往開來，不斷創(chuàng)新。數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)是宇宙的語言。數(shù)學(xué)具有精準(zhǔn)求是之真，化愚增智之善，簡(jiǎn)潔和諧之美。隨著時(shí)代的進(jìn)步和科學(xué)的發(fā)展，“組合數(shù)學(xué)”的作用得以彰顯，各類數(shù)學(xué)互相交融組合，往往產(chǎn)生規(guī)模效應(yīng)。讓數(shù)聯(lián)合起來成為數(shù)列，又讓數(shù)列聯(lián)合起來成為數(shù)列接龍，再讓數(shù)列接龍產(chǎn)生上不封頂?shù)母叽畏匠?，從而讓?shù)列接龍和幻方聯(lián)合起來產(chǎn)生莫名其妙的不解之緣，如此這般的數(shù)學(xué)組合正是筆者努力創(chuàng)新的激情嘗試。任何創(chuàng)新的初生階段都不會(huì)盡善盡美，敬請(qǐng)尊師指教！

穿越時(shí)空，讓新生的數(shù)列接龍和古老的幻方產(chǎn)生不解之緣：如圖2、圖4、圖6、圖8、圖10統(tǒng)稱數(shù)列接龍方陣，數(shù)列接龍方陣就是幻方的半成品，幻方的等量關(guān)系在數(shù)列接龍方陣之中形式不同地存在著。然而，數(shù)列接龍方陣的等量關(guān)系并不像幻方那樣顯眼直白，需要人的觀察力而好玩，因此，數(shù)列接龍方陣不是幻方勝似幻方，真可謂青出于藍(lán)而勝于藍(lán)。

數(shù)列接龍方陣具有可操作性：編制一個(gè)數(shù)列接龍方陣比編制一個(gè)幻方容易得多。只要手中掌握幾個(gè)現(xiàn)成的四階（十六個(gè)方格）幻方作為參照系，就能夠用以“1、2、4”開頭的數(shù)列接龍之中的任意連續(xù)十六個(gè)數(shù)字經(jīng)過“排號(hào)”而“對(duì)號(hào)入座”地編制成一個(gè)乃至無數(shù)個(gè)數(shù)列接龍方陣（由于接龍無限量而數(shù)字無窮多）。數(shù)列接龍方陣具有趣味性：發(fā)現(xiàn)其中不固定而多變的等量關(guān)系需要一定的觀察、想象、思考、計(jì)算、判斷等能力，還需要一定的情商。數(shù)列接龍方陣是寓教于樂、寓科于趣、寓理于情（如“找朋友”）、寓學(xué)于玩，從而進(jìn)行素質(zhì)教育的好教材！

科學(xué)需要猜想、聯(lián)想、幻想之類的想象體現(xiàn)參考價(jià)值（下文對(duì)引力波也是如此），它山之石可以攻玉！數(shù)學(xué)是宇宙的語言??！作為參照系的幻方恰似生物的基因，基因的改變而使數(shù)列接龍的數(shù)字落實(shí)在方陣上也隨之改變并且規(guī)律性的表現(xiàn)發(fā)生變化。聯(lián)想到“轉(zhuǎn)基因”農(nóng)作物，不正是如此嗎？大千世界的生物不正是和基因息息相關(guān)嗎？

二、數(shù)列接龍與五角星的不解之緣

（1）以1為首項(xiàng)的連續(xù)十項(xiàng)的數(shù)列接龍“1、2、4、6、9、12、16、20、25、30”按一定次序安排在五角星的十個(gè)兩線交點(diǎn)之上，并且組成五角星圖案的五條線段，每條線段上不相鄰（相隔一個(gè)數(shù)）的兩個(gè)數(shù)相加之和，較大的和數(shù)減去較小的和數(shù)所得的差數(shù)寫在該線段一側(cè)的星角內(nèi)：

圖11

如圖11所示，（1+20）-（2+16）=3，（6+25）-（9+20）=2，（4+16）-（6+12）=2，（2+30）-（4+25）=3，（1+30）-（9+12）=10，并且3+2+2+3=10。

（2）以2為首項(xiàng)的連續(xù)十項(xiàng)的數(shù)列接龍“2、4、6、9……36”按一定次序安排在五角星上，以后的程序如同（1）一樣（具體程序從略），請(qǐng)見圖12。

圖12

圖13

（3）以4為首項(xiàng)的連續(xù)十項(xiàng)的數(shù)列接龍“4、6、9、12……42”按一定次序安排在五角星上，以后的程序如同（1）一樣，請(qǐng)見圖13。

（4）以6為首項(xiàng)的連續(xù)十項(xiàng)的數(shù)列接龍“6、9、12、16……49”按一定次序安排在五角星上，以后的程序如同（1）一樣，請(qǐng)見圖14。

圖14

如前面的（1）（2）（3）（4）所述，五角星的五個(gè)星角上的數(shù)字以“3、2、2、3、10”和“3、2、1、4、10”這樣的旋律而循環(huán)往復(fù)地體現(xiàn)以“1、2、4”開頭的等比等差數(shù)列接龍?！?、2、2、3、10”和“3、2、1、4、10”的不同而體現(xiàn)對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律。

數(shù)學(xué)是宇宙的語言，具有獨(dú)特的深刻性和哲理性，數(shù)學(xué)抽象地述說宇宙萬物所存在的規(guī)律性。宇宙萬物不以任何動(dòng)物的主觀意志為轉(zhuǎn)移，而按一定的客觀規(guī)律存在著。宇宙間所存在的引力波如同旋律圖所示而以一定的旋律波動(dòng)著，不可能“亂作為”！筆者如此大膽猜想，是由于歷史表明：推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展需要想象的假說！

定義7 設(shè)X為一非空集合，υ1=(A1,λ1),υ2=(A2,λ2)是定義在X上的兩個(gè)智立方集，則υ1和υ2之間的可能度公式為

如上所述，以“1、2、4”這樣“三項(xiàng)制”開頭的等比等差數(shù)列接龍不僅和幻方存在不解之緣，而且和五角星也存在不解之緣??！難怪?jǐn)?shù)學(xué)就是以數(shù)和形為主題的學(xué)問??！學(xué)問啊學(xué)問，學(xué)問是什么？學(xué)問就是把原本簡(jiǎn)單的東西復(fù)雜化，又把原本復(fù)雜的東西簡(jiǎn)單化。當(dāng)然，如此之化不是瞎化，而是科學(xué)化！就拿以“1、2、4”開頭的數(shù)列接龍來說吧，如此接龍比較麻煩，但是這樣做的好處是可以鍛煉思維和計(jì)算的能力。如果想要把接龍進(jìn)行得輕松快捷，可以如此對(duì)接龍進(jìn)行簡(jiǎn)單化處理。以下揭示該數(shù)列的規(guī)律：

1、2、4、6、9、12、16、20、25、30……該數(shù)列從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)減去前項(xiàng)之差為：1、2、2、3、3、4、4、5、5……掌握了這個(gè)規(guī)律，就輕而易舉地在30這個(gè)數(shù)字之后依次對(duì)各數(shù)加上“6、6、7、7、8、8、9、9……”從而順理成章了。例如：30+6=36，36+6=42,42+7=49,49+7=56……如此這般依照“2、2、3、3、4、4……”這樣成雙成對(duì)的自然數(shù)列順藤摸瓜，以“1、2、4”開頭的等比等差數(shù)列接龍就快捷地實(shí)現(xiàn)了。

舉一反三，觸類旁通。如上所述的關(guān)于以“1、2、4”開頭的等比等差數(shù)列接龍，然而其他關(guān)于以“1、3、9”“1、4、16”“1、5、25”之類開頭的所有“三項(xiàng)制”等比等差數(shù)列接龍均和如上所述的“1、2、4”開頭者具有類似的規(guī)律，并且均和幻方、五角星產(chǎn)生不解之緣。

例如以“1、3、9”開頭的等比等差數(shù)列接龍：

1、3、9、15、25、35、49、63……該數(shù)列從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)減去前項(xiàng)之差為2、6、6、10、10、14、14……，從而構(gòu)成以2為首項(xiàng)和以“6-2=4”為公差的關(guān)于2和一系列成對(duì)的自然數(shù)所形成的等差數(shù)列。

例如以“1、4、16”開頭的等比等差數(shù)列接龍：

1、4、16、28、49、70、100、130……該數(shù)列從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)減去前項(xiàng)之差為3、12、12、21、21、30、30……，從而構(gòu)成以3為首項(xiàng)和以“12-3=9”為公差的關(guān)于3和一系列成對(duì)的自然數(shù)所形成的等差數(shù)列。

例如以“1、5、25”開頭的等比等差數(shù)列接龍：

1、5、25、45、81、117、169、221……該數(shù)列從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)減去前項(xiàng)之差為4、20、20、36、36、52、52……，從而構(gòu)成以4為首項(xiàng)和以“20-4=16”為公差的關(guān)于4和一系列成對(duì)的自然數(shù)所形成的等差數(shù)列。

如上所述，各個(gè)數(shù)列接龍所形成的等差數(shù)列“1、2、2、3、3、4、4……”“2、6、6、10、10、14、14……”“3、12、12、21、21、30、30……”，如此這般，“三項(xiàng)制”數(shù)列接龍，所有出現(xiàn)的等差數(shù)列必然出現(xiàn)公差成為12、22、32、42這樣一系列情況。

例如以“1、3、9”開頭的等比等差數(shù)列接龍：1、3、9、15、25、35、49、63、81、99、121……，如前面關(guān)于“1、2、4”開頭的數(shù)列接龍一樣，連續(xù)十項(xiàng)把“1、3、9、15、25、35、49、63、81、99”和“3、9、15、25、35、49、63、81、99、121”分別按一定次序安排在五角星上，每條線段上不相鄰的兩個(gè)數(shù)相加之和，較大的和數(shù)減去較小的和數(shù)所得的差數(shù)寫在該線段一側(cè)的星角內(nèi)：

圖15

圖16

如圖15和圖16所示，五角星的五個(gè)星角上的數(shù)字必然以“12、8、8、12、40”和“12、8、4、16、40”這樣的旋律而循環(huán)往復(fù)體現(xiàn)以“1、3、9”開頭的等比等差數(shù)列接龍。

又例如以“1、4、16”開頭的等比等差數(shù)列接龍：1、4、16、28、49、70、100、130、169、208、256……，如同前例關(guān)于“1、3、9”那樣處理，如圖17和圖18所示：

圖17

圖18

如圖17和圖18所示，五角星的五個(gè)星角上的數(shù)字必然以“27、18、18、27、90”和“27、18、9、36、90”這樣的旋律而循環(huán)往復(fù)地體現(xiàn)以“1、14、16”開頭的等比等差數(shù)列接龍。另外，如圖11、圖15、圖17所示，五角星左下角內(nèi)的數(shù)字分別是10、40、90，如果是以“1、5、25”開頭的等比等差數(shù)列接龍，那么左下角內(nèi)的數(shù)字必然是160；如果是以“1、6、36”開頭者，那么左下角內(nèi)的數(shù)字必然是250?？偠灾?，各個(gè)數(shù)字均為自然數(shù)的平方數(shù)和零所組成的數(shù)字。

前面已經(jīng)指出，所有的“三項(xiàng)制”等比等差數(shù)列接龍都和幻方有不解之緣。再舉一例如下：

以幻方（圖3）為參照系，以“1、3、9”開頭的數(shù)列接龍前十 六 個(gè) 數(shù) 字“1、3、9、15、25、35、49、63、81、99、121、143、169、195、225、255”對(duì)號(hào)入座地填寫至圖19之中。

圖19

如圖19所示，中間兩行兩列的數(shù)字之和分別相等：1+143+63+169=15+81+25+255=376，49+143+81+35=121+63+25+99=308；其余兩行兩列的數(shù)字之和分別相等：195+49+121+3=225+35+99+9=368，195+1+15+225=3+169+255+9=436；兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和相等：3+63+81+225=195+143+25+9=372。

綜觀全篇文章，分中有合，合中有分。分中有合就是把等比等差兩種數(shù)列合在一起成為等比等差數(shù)列接龍；合中有分就是把等比等差數(shù)列接龍分成各段數(shù)字，從而把每段按一定次序安排在幻方圖案和五角星圖案之中來分析驗(yàn)證一定的規(guī)律。如此這般，數(shù)形結(jié)合，指點(diǎn)圖案，激揚(yáng)數(shù)字，數(shù)學(xué)世界的新大陸任你盡情游玩。正如數(shù)學(xué)大師陳省身所說：數(shù)學(xué)好玩。

再例如以“1、2、4”“1、3、9”“1、4、16”之類開頭的項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列，該數(shù)列之中的任何連續(xù)十項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)（或偶數(shù)項(xiàng)）按一定次序安排在五角星上，每條線段上不相鄰的兩個(gè)數(shù)相加之和，較大的和數(shù)減去較小的和數(shù)之差寫在該線段一側(cè)的星角內(nèi)。例如把“1、2、4”開頭的這樣“三項(xiàng)制”數(shù)列之中的奇數(shù)項(xiàng)1、4、9、16、25、36、49、64、81、100以及偶數(shù)項(xiàng) 2、6、12、20、30、42、56、72、90、110分別安排在圖20和圖21之中進(jìn)行如上所述的加減處理（如（1+64）-（4+49）=12）：

圖20

圖21

如圖所示，兩圖之中星角內(nèi)的五個(gè)得數(shù)一模一樣，并且和以前介紹的五角星存在同樣的規(guī)律性：12+8=6+14，12+8+6+14=40。其他“三項(xiàng)制”等比等差數(shù)列接龍也具有如上所述的類似情況。

如此這般，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的和諧之美！如圖21所示，五角星的左下角內(nèi)的數(shù)字是40。如果是以“1、3、9”開頭的等比等差數(shù)列接龍，那么該角內(nèi)的數(shù)字必然是160；如果是以“1、4、16”開頭，那么該角內(nèi)的數(shù)字必然是360?？偠灾鱾€(gè)數(shù)字均為2、4、6之類偶數(shù)的平方數(shù)和零所組成的數(shù)字。

例如：以“1、3、9”開頭的等比等差數(shù)列接龍“1、3、9、15、25、35、49、63、81、99、121、143、169、195、225、255、289、323、361、399……”，把該數(shù)列的連續(xù)十項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)1、9、25、49、81、121、169、225、289、361按一定次序安排在五角星上（如圖22）并且如圖20所示進(jìn)行處理：

圖22

又例如：以“1、4、16”開頭的等比等差數(shù)列接龍“1、4、16、28、49、70、100、130、169、208、256、304、361、418、484、550、625、700、784、868……”，把該數(shù)列的連續(xù)十項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)4、28、70、130、208、304、418、550、700、868按一定次序安排在五角星上（如圖23）并且如圖21所示進(jìn)行處理：

圖23

如圖22所示，如果是連續(xù)十項(xiàng)的偶數(shù)項(xiàng)，星角內(nèi)的五個(gè)得數(shù)也是同樣。如圖23所示，如果是連續(xù)十項(xiàng)的奇數(shù)項(xiàng)，星角內(nèi)的五個(gè)得數(shù)也是同樣，都一模一樣??！

大江入海，君者自來。望大江南北、長(zhǎng)城內(nèi)外，無限風(fēng)光多氣派！日月放光明，數(shù)學(xué)天地帥。數(shù)海蕩舟多好玩，快樂人生唱豪邁！