摘 要：認(rèn)知就是人認(rèn)識(shí)外界事物的過程。認(rèn)知的基本方式是模式識(shí)別。數(shù)學(xué)的認(rèn)知方式也是模式識(shí)別。抽象、類比、遷移、化歸都是模式識(shí)別的基本方法。模式識(shí)別包括簡化、修正、應(yīng)用三個(gè)環(huán)節(jié)。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知；模型；模式；模式識(shí)別

所謂認(rèn)知就是人認(rèn)識(shí)外界事物的過程。認(rèn)知包括感知和思維，其基本要素是認(rèn)知方式、認(rèn)知水平（認(rèn)知能力）。認(rèn)知不只是心理學(xué)的一個(gè)概念，也是近年來取得突破性進(jìn)展的認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)的重要概念。

學(xué)習(xí)不只是掌握知識(shí)，更重要的是提高認(rèn)知水平。無論是必備品格還是關(guān)鍵能力，都離不開認(rèn)知。2017年9月中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)的《關(guān)于深化教育體制機(jī)制改革的意見》明確提出了要強(qiáng)化四種關(guān)鍵能力的培養(yǎng)，第一種關(guān)鍵能力就是認(rèn)知能力。研究認(rèn)知既是教學(xué)的需要，也是當(dāng)前研究核心素養(yǎng)的需要，更是應(yīng)對(duì)未來的需要。

一、數(shù)學(xué)的認(rèn)知與模式識(shí)別

人類在漫長的進(jìn)化過程中，從未離開認(rèn)識(shí)世界和改造世界的實(shí)踐活動(dòng)。在這個(gè)過程中，除了身體的進(jìn)化，還有大腦的進(jìn)化。在大腦的進(jìn)化中，一個(gè)重要的也是關(guān)鍵的事情是人類在思考面對(duì)同一類事物能否有一個(gè)普遍的方法來解決。在這樣的一種思考過程中，包含了兩個(gè)層面：一是如何識(shí)別哪些事物是屬于同一類；二是如何找到普遍的方法。

（一）如何確定一些事物是否屬于同一類

確定某些事物是否屬于同一類，方法是抓住事物的本質(zhì)特征。這在認(rèn)知心理學(xué)上叫做抽象。

實(shí)踐中并沒有1，只有1個(gè)蘋果，或1個(gè)鉛球等等。1是抽象的結(jié)果。因?yàn)槌橄?，所以有了?shù)的運(yùn)算，進(jìn)而解決實(shí)際問題。

鉛筆和橡皮從作用上來講都是用于文化學(xué)習(xí)，所以，人們用一個(gè)新概念——文具來把它們歸為一類。蘋果和葡萄人們用一個(gè)新概念——水果來把它們歸為一類。那么鉛筆和蘋果是一類嗎？有一天，快遞小哥給你打電話告訴你有你的兩件貨（運(yùn)用了加法1+1=2）。你收到兩個(gè)紙箱，里面分別裝著蘋果和鉛筆。這時(shí)，快遞小哥用了一個(gè)新概念——百貨，把蘋果和鉛筆歸為一類。此時(shí)，快遞小哥抓住了兩件事物的共同特征：沒有生命的生活用品。

再比如角和線段，表面上看起來不是一類，但是如果抽象地看，它們屬于同一類，都是軸對(duì)稱圖形，有許多共同的性質(zhì)。比如角的平分線與線段的垂直平分線對(duì)應(yīng)，都把圖形分為兩個(gè)全等的部分。

（二）對(duì)于同一類事物，如何找到解決問題的普遍方法

當(dāng)我們認(rèn)定幾樣事物屬于同一類，就可以用已經(jīng)熟悉的解決該類事物的方法來解決此一類事物的問題。這在認(rèn)知心理學(xué)上叫做遷移。

在學(xué)完三角形的全等這一章后，學(xué)生就已經(jīng)積累了一些關(guān)于證明線段相等的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)進(jìn)一步學(xué)習(xí)四邊形時(shí)，學(xué)生就可以運(yùn)用這些證明線段相等的經(jīng)驗(yàn)解決四邊形中的問題。

再比如，學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)，老師要幫助學(xué)生總結(jié)出課本研究一次函數(shù)的模式（人教社叫做基本套路），學(xué)生用這個(gè)研究模式就可以自己去研究二次函數(shù)和反比例函數(shù)。

總之，無論第一個(gè)層面還是第二個(gè)層面，共同之處就是識(shí)別某事物或某類事物的本質(zhì)特征。人腦在認(rèn)知事物時(shí)，抓住了該事物的本質(zhì)特征——模式，這個(gè)過程叫做模式識(shí)別。

二、數(shù)學(xué)的模型、模式與模式識(shí)別

世界很復(fù)雜，因此需要簡化，這是人類認(rèn)知的基本規(guī)律，也是人類賴以生存的基本能力。因?yàn)樾枰喕虼水a(chǎn)生了模型與模式。

模型（Pattern）與模式（Model），在英文里是兩個(gè)詞，但是在實(shí)際使用過程中，卻很難區(qū)別。廣義地講，組成一個(gè)事物的要素，構(gòu)成了這個(gè)事物的基本特征。這特征決定了該事物與別的事物的聯(lián)系與區(qū)別，這特征就叫做這個(gè)事物的模式。模式一詞所涉及的范圍很廣，它揭示了事物之間隱藏的規(guī)律關(guān)系。而這些事物可以是具體的，也可以是抽象的，比如思維模式。

模型是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的事物的某些特征與內(nèi)在聯(lián)系所作的一種模擬或抽象。為了研究一個(gè)過程或事物，可以通過在某些特征（形狀或結(jié)構(gòu)等）方面與它相似的“模型”來描述或表示。模型可以是所研究對(duì)象的實(shí)物模型，例如建筑模型、教學(xué)模型、玩具等，也可以是對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，例如公式或圖形等。它能反映出有關(guān)因素之間的關(guān)系。

通過比較模型與模式的定義可以看出，雖然在有些情況下，模型也指所研究的系統(tǒng)、過程、事物或概念的一種表達(dá)形式，這與模式其實(shí)沒有實(shí)質(zhì)區(qū)別。但一般認(rèn)為模型是有實(shí)際背景的，強(qiáng)調(diào)的是現(xiàn)實(shí)客觀事物的抽象，主要特征是“型”；而模式是解決一類事物的通用的方法，強(qiáng)調(diào)的是一類事物的抽象，這類事物可以是現(xiàn)實(shí)中存在的，也可以是已經(jīng)抽象了的，主要特征是“式”，是方式、方法。比如，原子核結(jié)構(gòu)模型、數(shù)字模型等都是模型，而電視機(jī)或電腦的16∶9顯示模式、百度云存儲(chǔ)模式、企業(yè)的管理模式、課堂教學(xué)模式、計(jì)劃生育模式、電訊收費(fèi)模式、市場模式等等都是模式。也可以認(rèn)為模式是更加抽象的模型。

模型與模式并不是專為數(shù)學(xué)而產(chǎn)生的，而是基于現(xiàn)實(shí)生活的。德國物理學(xué)家焦耳用一個(gè)公式描繪了熱和功之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，在研究熱的本質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了并由此得到了能量守恒定律，最終總結(jié)出熱力學(xué)第一定律。英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家麥克斯韋用四元方程組準(zhǔn)確地描繪出電磁場的特性及其相互作用的關(guān)系，在任何情況下都可以應(yīng)用，最終得出光本身是由電磁波構(gòu)成的這一正確結(jié)論。英國物理學(xué)家牛頓用自己發(fā)現(xiàn)的萬有引力定律來建構(gòu)行星運(yùn)動(dòng)的軌跡模型，把天上的行星和它們的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)規(guī)律，同地上重力下墜的現(xiàn)象統(tǒng)一起來，實(shí)現(xiàn)了天上人間的統(tǒng)一。伽利略用公式描述了自由落體運(yùn)動(dòng)的物體的規(guī)律。美國科學(xué)家用公式刻畫了大腦運(yùn)作基本算法。這些都是模式識(shí)別的例子。

構(gòu)建模型是為了解釋現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)的語言講述的現(xiàn)實(shí)世界的故事。盡管數(shù)學(xué)是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的抽象描述，但抽象描述的結(jié)果是人腦抽象思維的產(chǎn)物——模式，特別是數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展，大多數(shù)情況下不是直接面對(duì)著具體的實(shí)物進(jìn)行研究，而是以模式為直接的研究對(duì)象。所以有的數(shù)學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)是關(guān)于模式和秩序的科學(xué)。

從數(shù)學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)模式比數(shù)學(xué)模型更為一般，數(shù)學(xué)模式涉及的是一類數(shù)學(xué)問題的解決方法。張奠宙教授認(rèn)為，廣義地講，數(shù)學(xué)中的各種概念和基本算法都可以叫做數(shù)學(xué)模型。加減乘除都有各自的現(xiàn)實(shí)原型，它們都是以各自相應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型作為背景抽象出來的。

三、數(shù)學(xué)模式識(shí)別的基本過程

模式識(shí)別的基本過程可以概括為：簡化——為需要認(rèn)識(shí)的事物建立認(rèn)知模式；修正——在識(shí)別新事物的過程中不斷修正；應(yīng)用——用認(rèn)知模式解釋事物、預(yù)測未來。

（一）簡化——為需要認(rèn)識(shí)的事物建立認(rèn)知模式

德國天文學(xué)家、物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒和古希臘學(xué)者們一樣十分重視數(shù)學(xué)的作用，總想在自然界尋找數(shù)字的規(guī)律性。規(guī)律愈簡單，從數(shù)學(xué)上看就愈好，因而在他看來就愈接近自然。他專心探求隱藏在行星中的數(shù)量關(guān)系。他深信上帝是依照完美的數(shù)學(xué)原則創(chuàng)造世界的，提出了行星運(yùn)動(dòng)的三大定律：軌道定律、面積定律、周期定律。漢代張衡則把宇宙簡化為渾天儀。古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯和中國古代數(shù)學(xué)家趙爽在不同時(shí)期發(fā)現(xiàn)了直角三角形三條直角邊之間的關(guān)系模式，后人稱作勾股定理。數(shù)學(xué)家把拋投物體的軌道簡化為一條拋物線，把行星運(yùn)動(dòng)的軌跡簡化為圓錐曲線，把蜜蜂的巢簡化為六邊形，把許多經(jīng)濟(jì)規(guī)律簡化為數(shù)學(xué)公式。

（二）修正——在識(shí)別新事物的過程中不斷修正

古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家托勒密創(chuàng)立了地心說，其基本過程是：建立一個(gè)簡單的元模型、利用元模型構(gòu)建更復(fù)雜的模型、通過歷史數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型。

在數(shù)學(xué)的建模過程中，一般都要假設(shè)一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)。隨著解決問題的精確度要求，可以不斷地修正這些參數(shù)，使其符合要求。有時(shí)還需要修正變量之間的關(guān)系，使其更符合客觀現(xiàn)實(shí)。

（三）應(yīng)用——用認(rèn)知模式解釋事物、預(yù)測未來

模式的一個(gè)重要應(yīng)用是預(yù)測。用航天器的飛行模式，可以計(jì)算出航天器進(jìn)入軌道的時(shí)間。用宇宙間行星運(yùn)動(dòng)模式可以計(jì)算出小行星撞擊地球的時(shí)間。用經(jīng)濟(jì)模型人們可以預(yù)測社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的進(jìn)程。用氣象規(guī)律人們可以進(jìn)行天氣預(yù)報(bào)。人們通過模型計(jì)算發(fā)現(xiàn)了海王星。也就是說海王星的發(fā)現(xiàn)并不是觀察的結(jié)果，而是計(jì)算的結(jié)果。用初中的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以計(jì)算出鉛球從出手后經(jīng)過多長時(shí)間可以落地。

四、模式識(shí)別在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

（一）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的模式識(shí)別

1.模仿

許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始于模仿，模仿其實(shí)就是仿其模式。有些人仿其形，有些人仿其神，神比形更接近事物的本質(zhì)。能接近事物本質(zhì)者，模式識(shí)別的能力就強(qiáng)。能識(shí)別事物的模式時(shí)，才算是聽懂了或者是看懂了。

2.創(chuàng)新

創(chuàng)新往往是建立在模仿的基礎(chǔ)上，即人們首先通過模仿，識(shí)別了事物的模式，這時(shí)可能是初步的。通過進(jìn)一步的研究識(shí)別了事物的本質(zhì)特征。然后在此基礎(chǔ)上建立一個(gè)新的模式，這就是教學(xué)創(chuàng)新。一題多解和多題一解都屬于創(chuàng)新。

3.變式

數(shù)學(xué)中的所謂變式教學(xué)是指在教學(xué)中變換某事物（概念、問題或方法）的非本質(zhì)屬性以突出事物的本質(zhì)屬性的教學(xué)方法。目的在于使學(xué)生明確哪些是事物的本質(zhì)屬性，哪些是事物的非本質(zhì)屬性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)概念、方法的深刻把握。其中，事物的本質(zhì)屬性就是事物的模式。

4.比喻

在為學(xué)生建立數(shù)感時(shí)，往往借助比喻的方式，用已經(jīng)被人們熟知的事物的模式來類比該事物的模式，這個(gè)方法就是比喻。太陽和地球的體積關(guān)系是什么，有時(shí)我們很難記住其半徑的數(shù)據(jù)，這時(shí)就可以比喻：如果把太陽比作西瓜，那地球就像一粒米。

5.類比

老師引導(dǎo)學(xué)生類比分?jǐn)?shù)的性質(zhì)和運(yùn)算的研究來研究分式的性質(zhì)和運(yùn)算；類比有理數(shù)的運(yùn)算來研究實(shí)數(shù)的運(yùn)算；類比三角形的性質(zhì)和判定的研究來研究四邊形的性質(zhì)和判定。

6.化歸

當(dāng)我們把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，這種解決問題的方法叫做化歸。比如二元一次方程組通過化歸轉(zhuǎn)化為一元一次方程；方式方程通過化歸轉(zhuǎn)化為整式方程；四邊形的問題通過添加輔助線轉(zhuǎn)化為三角形問題解決等等，這些都是模式識(shí)別。

（二）學(xué)科教學(xué)中的模式識(shí)別

漢字本身就是模型，所以認(rèn)識(shí)漢字的過程就是模式識(shí)別的過程?！拔臒o體不立”已經(jīng)是語文的基本常識(shí)了，“體”便是模式。英語中的句型也是模式。物理中的公式，化學(xué)中的方程式、分子結(jié)構(gòu)，地理中的經(jīng)緯，都是模式。無論是學(xué)科結(jié)構(gòu)還是教學(xué)方法本質(zhì)上都是模式。

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象就是模型，而數(shù)學(xué)中研究問題的“套路”就是模式。比如函數(shù)、方程、不等式、公式、運(yùn)算法則、基本圖形等等都是模型。而初中階段的代數(shù)教學(xué)：“問題情境—建立模型—模型的求解—模型的應(yīng)用”就是研究代數(shù)問題的模式?！皢栴}情境—實(shí)驗(yàn)操作—?dú)w納猜想—推理驗(yàn)證—應(yīng)用”是研究幾何問題的模式。掌握這些知識(shí)和“套路”，形成數(shù)學(xué)解決問題策略的過程就是模式識(shí)別。

數(shù)學(xué)中，最重要的基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)本質(zhì)上就是在長期經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程中形成的一種思考問題的方式——數(shù)學(xué)思維模式。積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程也是模式識(shí)別的過程。

中國古代模式識(shí)別的一個(gè)重要方法是“近取諸身，遠(yuǎn)取諸物”，這在八卦、五行、陰陽等方面都有應(yīng)用。比如，肢體與八卦對(duì)應(yīng)，五臟與五行對(duì)應(yīng)，臟腑功能與陰陽對(duì)應(yīng)。這一方法可以運(yùn)用到數(shù)學(xué)中。比如“負(fù)負(fù)得正”的教學(xué)，我們可以規(guī)定，自己的身體每向后轉(zhuǎn)180°就相當(dāng)于乘以一次-1，連續(xù)轉(zhuǎn)兩次180°就相當(dāng)于乘以兩次-1，結(jié)果正好轉(zhuǎn)到原來的位置。這個(gè)過程可以歸納為“后轉(zhuǎn)兩次轉(zhuǎn)向前，負(fù)負(fù)得正很顯然”。同樣道理，如果規(guī)定自己的身體向右轉(zhuǎn)90°為i，那么連續(xù)轉(zhuǎn)兩次就是i的平方，結(jié)果正好是向后轉(zhuǎn)了180°，應(yīng)該是-1，所以得到i=-1，這便是復(fù)數(shù)i的現(xiàn)實(shí)意義。

在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)該幫助學(xué)生理解該學(xué)科的認(rèn)知模式，一旦學(xué)習(xí)者了解并適應(yīng)該學(xué)科的認(rèn)知模式，那么進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)也將變得更加輕松有趣，自主學(xué)習(xí)就得以實(shí)現(xiàn)。這便是模式識(shí)別的教學(xué)價(jià)值。

參考文獻(xiàn)：

何思謙.數(shù)學(xué)辭海[M].山西教育出版社，2002：109.

注：山西省教育科學(xué)“十三五”課題《基于學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)提升初中教學(xué)質(zhì)量的實(shí)踐研究》成果。

作者簡介：蘇保中，中小學(xué)正高級(jí)教師、特級(jí)教師，山西省原平市實(shí)驗(yàn)中學(xué)。

編輯 高 瓊