戴麗梅

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想的核心就是，數(shù)學(xué)的兩大研究對(duì)象“形”與“數(shù)”之間的相互轉(zhuǎn)化、相互表達(dá)和相互解決。而這種“相互轉(zhuǎn)化、相互表達(dá)和相互解決”則是數(shù)學(xué)教學(xué)培育學(xué)生建立數(shù)學(xué)直觀想象能力的重要方式。文章結(jié)合滬教版高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)例進(jìn)行了具體的闡述。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合解題思想；整合運(yùn)用實(shí)踐策略

一、前言

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括，是學(xué)生解決問題的手段。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合解題思想能將抽象、枯燥的數(shù)學(xué)語言與形象、直觀的幾何圖形相結(jié)合，在代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)相互轉(zhuǎn)化的過程中，把深?yuàn)W、抽象且枯燥的數(shù)學(xué)問題變得形象、直觀、具體，從而簡(jiǎn)化解題思路，促使學(xué)生更快、更好地理解掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生在1964年1月撰寫的 《談?wù)勁c蜂巢的結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》中用一首詩完美地闡述了數(shù)形結(jié)合的價(jià)值和本質(zhì)，即“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離”。

數(shù)形結(jié)合解題思想在集合、函數(shù)以及解析幾何等方面具有十分廣泛的應(yīng)用。接下來，本文就結(jié)合滬教版的教學(xué)實(shí)例探究數(shù)形結(jié)合解題思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的整合運(yùn)用。

二、數(shù)形結(jié)合解題思想在集合學(xué)習(xí)中的整合運(yùn)用

集合知識(shí)是初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要銜接點(diǎn)，它承上啟下，既是對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的總結(jié)，又是進(jìn)一步深化，同時(shí)也是學(xué)生進(jìn)行后續(xù)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。因此，集合知識(shí)對(duì)于高中學(xué)生而言十分重要，在關(guān)于集合之間的關(guān)系和運(yùn)算的教學(xué)中，采用數(shù)形結(jié)合的思想，使用Venn圖是重要的，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)、掌握、運(yùn)用集合語言和其他數(shù)學(xué)語言。

例1：設(shè)集合，，則集合中元素的個(gè)數(shù)為幾個(gè)？

常規(guī)的解題思路是將兩個(gè)方程式合并為方程組進(jìn)行解答，從而得出和的數(shù)值，并進(jìn)一步得出數(shù)量關(guān)系，但這樣的解題方式用于填空、選擇題較為復(fù)雜。若采用數(shù)形結(jié)合的解題思想，在解題過程中，將方程式轉(zhuǎn)化為圓，而將方程式轉(zhuǎn)化為拋物線，則題目轉(zhuǎn)化為圓與拋物線之間共有幾個(gè)交點(diǎn)的問題，然后借助圖形，直觀地得到答案2個(gè)。采用數(shù)形結(jié)合的解題思想，能有效提高學(xué)生解決該類問題的質(zhì)量和效率。

此外，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解題思想解決集合類型的問題時(shí)，還有另外一種方式，就是將題目中抽象的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)變成為具體的圖形，從而加強(qiáng)高一學(xué)生對(duì)于集合類型知識(shí)直觀的理解，比如利用Venn圖（圖1）或數(shù)軸（圖2）。和Venn圖相比，采用數(shù)軸這種數(shù)形結(jié)合的方式主要處理一些相對(duì)模糊的集合類型題，特別是當(dāng)集合以不等式形式存在的時(shí)候，我們就可以借助數(shù)軸解決交集、并集以及補(bǔ)集的問題。

本題巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，可以化抽象為具體，形象直觀，事半功倍。由此可見，利用數(shù)形結(jié)合的解題思路能極大地簡(jiǎn)化解題的步驟和思路，幫助學(xué)生更快、更準(zhǔn)確地解決問題。所以，在實(shí)際的教學(xué)中，教師應(yīng)適時(shí)向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的解題思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的解題思想解決數(shù)學(xué)問題，提高他們的解題效率，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

七、結(jié)束語

綜上所述，本文結(jié)合滬教版高中數(shù)學(xué)中幾個(gè)常見的利用數(shù)形結(jié)合解題思想解決的題型，闡述了如何利用數(shù)形結(jié)合的解題思想在集合知識(shí)、不等式知識(shí)、數(shù)列知識(shí)、線性規(guī)劃知識(shí)、函數(shù)知識(shí)以及解析幾何知識(shí)學(xué)習(xí)中的整合運(yùn)用，通過具體的例題進(jìn)行了分析，極大地降低了學(xué)生學(xué)習(xí)這幾類知識(shí)的難度，促進(jìn)他們對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，并能有效提升學(xué)生解決該類數(shù)學(xué)問題的效率。

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，還必須關(guān)注以下幾個(gè)方面：第一，由數(shù)想形時(shí)，要注意“形”的準(zhǔn)確性，這是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)；第二，數(shù)形結(jié)合，貴在結(jié)合，要充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢(shì)?！靶巍庇兄庇^、形象的特點(diǎn)，但代替不了具體的運(yùn)算和證明，在解題中往往提供一種數(shù)學(xué)解題的平臺(tái)或模式，而“數(shù)”才是真正的主角，若忽視這一點(diǎn)，很容易造成對(duì)數(shù)形結(jié)合的謬用。

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