王軍鷹

摘要

數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)類學(xué)科，在社會(huì)各領(lǐng)域中都有著十分突出的表現(xiàn)，在民眾日常生活中有著不可取代的地位與價(jià)值。信息時(shí)代的不斷發(fā)展，使得數(shù)學(xué)與信息技術(shù)之間的關(guān)聯(lián)更加密切，各種數(shù)學(xué)軟件開始出現(xiàn)。本文將通過對數(shù)學(xué)軟件的介紹，對數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中的具體應(yīng)用展開全面論述，旨在提高數(shù)學(xué)軟件應(yīng)用水平，實(shí)現(xiàn)理想化數(shù)學(xué)建模模式。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)競賽 數(shù)學(xué)軟件 數(shù)學(xué)問題

所謂數(shù)學(xué)建模是指，為一特定目的，按照現(xiàn)實(shí)世界特定對象的內(nèi)在規(guī)律，對其實(shí)施必要簡化假設(shè)，以通過合適的數(shù)學(xué)工具得到相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。數(shù)學(xué)建模不僅在教學(xué)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用，在工程建設(shè)以及其他各個(gè)領(lǐng)域中也有著不可取代的價(jià)值。為進(jìn)一步提升國內(nèi)數(shù)學(xué)建模整體水平，確保建模優(yōu)勢能夠得到有效發(fā)揮，業(yè)界學(xué)者開始將各種數(shù)學(xué)軟件運(yùn)用到了數(shù)學(xué)建模之中。

1 數(shù)學(xué)軟件

所謂數(shù)學(xué)軟件是指，制作數(shù)學(xué)動(dòng)畫與圖形、實(shí)施數(shù)學(xué)運(yùn)算以及運(yùn)籌規(guī)劃等行為的軟件，是數(shù)學(xué)應(yīng)用工具與數(shù)學(xué)方法的直觀呈現(xiàn)，可通過數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)應(yīng)用對其進(jìn)行拓展。通過研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)值計(jì)算軟件會(huì)通過數(shù)值方式完成相應(yīng)問題解答，總體軟件共分為數(shù)學(xué)軟件系統(tǒng)、程序庫以及軟件包三個(gè)級別。其中程序庫由各種功能模塊以及算法程序所組成;為某種應(yīng)用設(shè)計(jì)程序所組成的便是軟件包;而軟件系統(tǒng)擁有用戶界面語言以及管理系統(tǒng)兩部分內(nèi)容，會(huì)通過對具體問題特性以及類型進(jìn)行分析的方式，選擇出最佳的算法，以對問題展開精準(zhǔn)處理。

與數(shù)值計(jì)算軟件有所不同，符號(hào)運(yùn)算軟件會(huì)利用方程式以及符號(hào)表達(dá)式，對問題展開演算與推導(dǎo)，會(huì)利用函數(shù)展開以及代數(shù)演算等功能，精準(zhǔn)展開問題處理。

2 數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中的具體應(yīng)用

為對數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用展開詳細(xì)研究，本文將以數(shù)學(xué)競賽某一問題為例，對數(shù)學(xué)軟件具體運(yùn)用方式進(jìn)行全面分析。

2.1 應(yīng)用過程

（1）競賽題為“血管的三維重組”，在此由于時(shí)間限制，對原題目進(jìn)行省略。題中假設(shè)將一些血管視為特殊管道，球心沿曲線球滾動(dòng)包絡(luò)而管道表面。為對建模過程進(jìn)行簡化，假設(shè)管道內(nèi)所有管道平行切片與軸線都只有一個(gè)交點(diǎn)，且球半徑長度固定不變，切片圖像像素尺寸與間距尺寸都為1，求管道半徑與中軸線具體計(jì)算方式，并繪制中軸線平面投影圖。

（2）在對問題進(jìn)行詳細(xì)分析之后，可以發(fā)現(xiàn)此題為典型的圖像處理題，題目中圖像信息量相對較為龐雜，單純依靠人工很難完成建模任務(wù)，需要借助計(jì)算機(jī)技術(shù)對其進(jìn)行分析，此時(shí)數(shù)學(xué)軟件優(yōu)勢便充分體現(xiàn)了出來。在此將運(yùn)用Mathematica軟件，對圖像信息展開全面分析。在對該軟件進(jìn)行具體應(yīng)用過程中，會(huì)通過下達(dá)Import命令，將BMP圖形“0.Bmp”轉(zhuǎn)化為相應(yīng)矩陣，整體矩陣形式為512×512的大型矩陣，其中白色點(diǎn)對應(yīng)1，黑色點(diǎn)對應(yīng)0，在下達(dá)ReadBMP轉(zhuǎn)換命令時(shí)，白色點(diǎn)隊(duì)形255，黑色點(diǎn)對應(yīng)0。因?yàn)檎w信息數(shù)據(jù)量相對較大，所有數(shù)據(jù)所具有的價(jià)值并不相同，其中以邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)價(jià)值最為突出，可通過對邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行過濾的方式，降低整體數(shù)據(jù)分析任務(wù)量，以通過編程的方式完成邊界點(diǎn)過濾任務(wù)，進(jìn)而按照邊界點(diǎn)數(shù)據(jù)完成三維圖形繪制任務(wù)。此時(shí)管道形象會(huì)直觀呈現(xiàn)出來，可通過對軟件動(dòng)畫模擬功能的進(jìn)一步運(yùn)用，對管道動(dòng)態(tài)三維圖像進(jìn)行繪制，并得到相應(yīng)解題提示。

（3）在獲得相應(yīng)提示之后，相關(guān)人員需要對問題展開分析。先制作一串球，并運(yùn)用一個(gè)平面實(shí)施切割，以獲得一串圓的切面圖形，而這些圓的包絡(luò)線便是圖形邊界。在所有圓之中，有一個(gè)圓半徑長度最長，因?yàn)榍忻媾c中軸線只有一個(gè)交點(diǎn)，因此以該焦點(diǎn)為中心的平面和球的交線，便是大圓，球的半徑便是其半徑。因?yàn)榍蚪痪€包絡(luò)線便是切面圖形，園內(nèi)各點(diǎn)到邊界的距離，以圓心長度最長，所有圓心邊界距離以大圓圓心為最大，所以在切面和中軸線只有一個(gè)交點(diǎn)，且球半徑一定時(shí)，切面圖形到邊界最大距離點(diǎn)便是切面和中軸線交點(diǎn)。通過該點(diǎn)，相關(guān)人員可以很快計(jì)算出，該點(diǎn)到邊界之間的距離，便是球半徑長度。

（4）在完成相應(yīng)分析之后，便可以展開半徑與中軸線計(jì)算。相關(guān)人員可按照前面的分析，按照尋找每層邊界點(diǎn)的方式，計(jì)算出到邊界線距離中的最大內(nèi)點(diǎn)與其到邊界之間距離，進(jìn)而完成球半徑、切片交點(diǎn)位置以及中軸線計(jì)算任務(wù)。

（5）在得到中軸線之后，計(jì)算人員要利用ListPlot命令，完成中軸線在XY、XZ以及YZ平面中的投影繪制，且要用Fit命令，完成投影線方程擬合。在此過程中，計(jì)算人員可按照數(shù)據(jù)點(diǎn)圖形，合理對圖形形狀擬合曲線種類進(jìn)行選擇，以對擬合曲線和數(shù)據(jù)吻合程度進(jìn)行保證。其中在進(jìn)行YZ面投影圖制作時(shí)，要對反正切函數(shù)圖形相似的圖形分布予以高度關(guān)注，要運(yùn)用Fit命令，通過對函數(shù)ArcTan的運(yùn)用，展開投影方程擬合，以獲得相應(yīng)圖形;在實(shí)施XZ平面投影圖制作過程中，可運(yùn)用ListPlot命令完成中軸線交點(diǎn)投影圖繪制，并要通過對多項(xiàng)式的運(yùn)用，完成方程擬合;利用ListPlot命令，測繪出中軸線交點(diǎn)在XY平面投影圖，且要運(yùn)用圓方程展開方程擬合。因?yàn)樗@得的所有的擬合曲線圖形，與計(jì)算結(jié)果相一致，所以計(jì)算人員可按照具體要求，完成中軸線參數(shù)方程組合。

（6）在對管道三維圖進(jìn)行重組過程中，計(jì)算人員可通過對三維作圖命令ScatterPlot3D的運(yùn)用，按照交點(diǎn)坐標(biāo)完成中軸線交點(diǎn)空間圖形制作。同時(shí)還可以通過對球心沿中軸線進(jìn)行滾動(dòng)的一串球，展開管道空間重組。

2.2 改進(jìn)建議

在本次計(jì)算過程中，計(jì)算人員只是對像素中心間距離進(jìn)行了考慮，若截面與中軸線交點(diǎn)位置不在中心位置，則此計(jì)算方式將不再適用。所以計(jì)算人員還要對其他位置的交點(diǎn)計(jì)算方式展開分析，不僅要對交點(diǎn)附近點(diǎn)展開詳細(xì)分析，通過重復(fù)上述計(jì)算過程的方式，獲得準(zhǔn)確的交點(diǎn)位置，同時(shí)還要對邊界點(diǎn)像素展開深度分析，要利用上述計(jì)算對外邊界以及內(nèi)邊界進(jìn)行獲取，并要運(yùn)用外邊界完成球半徑計(jì)算。為對整體計(jì)算過程進(jìn)行簡化，計(jì)算人員可只針對交點(diǎn)附近像素點(diǎn)展開分析，并要運(yùn)用邊界點(diǎn)完成中心計(jì)算任務(wù)，以通過計(jì)算值與邊界點(diǎn)中心到外邊界距離進(jìn)行相加的方式，計(jì)算出實(shí)際的半徑數(shù)值。但因?yàn)閳D形數(shù)據(jù)精度為11所以在結(jié)果中對像素點(diǎn)展開詳細(xì)分析，對小數(shù)點(diǎn)后若干位數(shù)值進(jìn)行求取，價(jià)值并不高，沒有必要。

2.3 討論

此次算法是在實(shí)際例子中所產(chǎn)生的，在進(jìn)行數(shù)學(xué)模型建設(shè)時(shí)，建設(shè)人員需要對模型結(jié)果實(shí)用性與適用性進(jìn)行保證，要確保其能夠與實(shí)際相符，以便從具體例子中獲取到更加具有普適性的模型。本次問題的計(jì)算關(guān)鍵，是命題I，但在進(jìn)行命題1證明過程中，計(jì)算人員卻遇到了一定的問題，其不得不思考，在相應(yīng)假設(shè)之下，命題1是否成立，以確定競賽題本身的數(shù)學(xué)表述是否存在問題。

本次例子計(jì)算過程，對數(shù)學(xué)軟件數(shù)值計(jì)算進(jìn)行了全面展示，其在圖形處理以及數(shù)據(jù)處理方面的優(yōu)勢，也得到了有效發(fā)揮。目前國內(nèi)所使用的Mathematica以及其他軟件，都在數(shù)學(xué)建模競賽題解答中得到了有效運(yùn)用，其中Mathematica軟件，具有軟件大小合適以及尋找參考資料較為簡單等方面的優(yōu)勢，會(huì)在數(shù)據(jù)建模過程中起到十分積極的作用。總而言之，數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模中有著不可忽視的價(jià)值與作用，只要使用者可以運(yùn)用得當(dāng)，便可以收獲到較為理想的建模效果。

3 結(jié)束語

通過本文對數(shù)學(xué)軟件相關(guān)內(nèi)容的論述，使我們對數(shù)學(xué)軟件及其在數(shù)學(xué)建模中的具體運(yùn)用方式有了更加清晰的認(rèn)知。除本文所介紹的數(shù)學(xué)競賽運(yùn)用案例之外，數(shù)學(xué)軟件還可以應(yīng)用到工程建設(shè)以及其他領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型建設(shè)之中，可通過對信息技術(shù)的科學(xué)運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化數(shù)學(xué)問題解決模式，能夠?qū)ψ罱K問題解決質(zhì)量進(jìn)行保證，以達(dá)到理想化模型運(yùn)用效果。所以為確保數(shù)學(xué)軟件所具有的優(yōu)勢能夠完全發(fā)揮出來，有關(guān)部門要做好人員建模培訓(xùn)工作，以對人員軟件水平進(jìn)行不斷提升，確保各種數(shù)學(xué)軟件可以真正為人類生活以及社會(huì)發(fā)展做出更大貢獻(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]趙曉花.數(shù)學(xué)建模過程中計(jì)算機(jī)的應(yīng)用探究[J].山東工業(yè)技術(shù)，2018（12）：133.

[2]劉麗華.數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模課程中的應(yīng)用研究[J].高教學(xué)刊，2016（02）：81-82.

[3]杜輝，楊云峰，曾昭英，趙提財(cái).數(shù)學(xué)軟件在研究生數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用[J].科技視界，2015（11）：123+196.

[4]許洪睿.數(shù)學(xué)分析及數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)建模當(dāng)中的應(yīng)用探究[J].電子測試，2015（03）：156-158.

[5]王增波，周勇，彭仁忠.數(shù)據(jù)處理方法在數(shù)學(xué)建模競賽中的應(yīng)用[J].軟件導(dǎo)刊，2015，14（01）：200-201.