謝素英

【摘要】 數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，而反常積分是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文針對(duì)一些含參量的反常積分給出了計(jì)算方法和技巧，總結(jié)了易混易錯(cuò)的關(guān)鍵點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)分析;反常積分;參變量;計(jì)算技巧

數(shù)學(xué)分析是大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，其中反常積分是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn) [1，2，3] .由于積分的反常和含參變量，使得易混易錯(cuò)的地方非常多，而無窮積分和瑕積分的混合積分的情況更加復(fù)雜，對(duì)教師的教學(xué)和學(xué)生的掌握帶來了不小的困難.本文針對(duì)一些含參量反常積分的計(jì)算給出了分類，指出了計(jì)算方法和技巧，總結(jié)了易混易錯(cuò)的關(guān)鍵點(diǎn).

數(shù)學(xué)分析（上冊）給出了單變量的反常積分，即無窮積分和瑕積分，并給出了利用定義計(jì)算兩類積分的基本方法，但很多反常積分用定義計(jì)算是相當(dāng)困難的，甚至是不可能的.因此，針對(duì)無窮積分和瑕積分分別給出了判定其收斂和發(fā)散的各種判別法 [1，2，3] .而無窮積分和瑕積分的混合積分既要考慮無窮情況也要考慮瑕點(diǎn)，是反常積分中比較復(fù)雜的一類，如果混合積分中含有參數(shù)p則情況會(huì)更加復(fù)雜.針對(duì)含有參數(shù)p的一些混合積分，利用柯西判別法可以判定其收斂范圍.例如，

（ⅰ）∫ +∞ 0 sinx xp dx，當(dāng)0<p≤1時(shí)條件收斂，當(dāng)1<p<2時(shí)絕對(duì)收斂，其他情形的p值發(fā)散.

（ⅱ）∫ +∞ 0 arctanx xp dx，∫ +∞ 0 ln（1+x） xp dx，當(dāng)1<p<2時(shí)收斂，其他情形的p值發(fā)散.

對(duì)于一般的p值，即使反常積分收斂也很難計(jì)算其值，而對(duì)于一些發(fā)散的積分∫ +∞ 0 arctanx x dx和∫ +∞ 0 cosx x dx（用柯西判別法易知其發(fā)散），以及一些收斂的積分，我們也可以計(jì)算如下類型的積分

∫ +∞ 0 cosax-cosbx x dx; （1）

∫ +∞ 0 sinax-sinbx x dx; （2）

∫ +∞ 0 e -ax -e -bx ?x dx; （3）

∫ +∞ 0 arctanax-arctanbx x dx. （4）

其中常數(shù)b>a>0.

利用數(shù)學(xué)分析（上冊） [1，2，3] （或 [4] ）傅茹蘭公式，即

∫ +∞ 0 f（ax）-f（bx） x dx=f（0）ln b a （b>0，a>0），

其中f（x）為連續(xù)函數(shù)，積分∫ +∞ A f（x） x dx，對(duì)任何A>0都收斂.我們可以計(jì)算（1）-（4）.令f（x）=cosx，它在[0，+∞）連續(xù)，f（0）=1，對(duì)A>0，∫ +∞ A cosx x dx<+∞，應(yīng)用傅茹蘭公式可得∫ +∞ 0 cosax-cosbx x dx=ln b a ，同理應(yīng)用傅茹蘭公式可得∫ +∞ 0 sinax-sinbx x dx=0，∫ +∞ 0 e -ax -e -bx ?x dx=ln b a ，

但對(duì)于反常積分∫ +∞ 0 arctanax-arctanbx x dx，如果令f（x）=arctanx，盡管它在[0，+∞）連續(xù)，但對(duì)A>0， ∫ +∞ A arctanx x dx 是發(fā)散的，不滿足傅茹蘭公式的條件.我們可令f（x）= π 2 -arctanx，它在[0，+∞）連續(xù)，f（0）= π 2 ，利用柯西判別法易知，對(duì)A>0，∫ +∞ A? π 2 -atctanx x dx<+∞，因此，使用傅茹蘭公式得到

∫ +∞ 0 arctanax-arctanbx x dx=- π 2 ln b a .

當(dāng)然，傅茹蘭公式僅適合計(jì)算滿足傅茹蘭條件的一些反常積分，或者對(duì)被積函數(shù)利用三角函數(shù)公式進(jìn)行變形后滿足傅茹蘭條件的反常積分.例如，

∫ +∞ 0 sinaxsinbx x dx= 1 2 ∫ +∞ 0 cos（a-b）x-cos（a+b）x x = 1 2 ln? a+b a-b? ，

∫ +∞ 0 sinaxcosbx x dx= 1 2 ∫ +∞ 0 sin（a+b）x-sin（b-a）x x =0.

但對(duì)于反常積分∫ +∞ 0 ln（1+ax）-ln（1+bx） x dx，由于A>0，∫ +∞ A ln（1+x） x dx是發(fā)散的，且ln（1+x）在[0， +∞ ）上無界，傅茹蘭公式不可用.

總結(jié)：綜合上述，可以看出利用傅茹蘭公式，被積函數(shù)的分子f（x）需要在[0，+∞）有界，且要滿足傅茹蘭公式的使用條件.

【參考文獻(xiàn)】

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：第4版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]陳傳璋，等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[3]陳紀(jì)修，等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1999.

[4]Β.Π.吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解（五）[M].費(fèi)定暉，周學(xué)圣，編譯.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，1983.