摘 要： 2017年福建省中考第一次全省統(tǒng)考，距離考試結(jié)束已經(jīng)告一段落，但作為一名教育工作者，對(duì)數(shù)學(xué)試題的研究并不能止步，方可不斷改善自身教學(xué)中的缺陷。筆者有幸參與市統(tǒng)一改卷，對(duì)其中一道幾何題學(xué)生的答題情況印象深刻，引發(fā)了一系列教學(xué)的反思，現(xiàn)整理成文，與各位同仁分享。

關(guān)鍵詞： 公式推導(dǎo)；能力培養(yǎng)；性質(zhì)定理

一、 試題呈現(xiàn)

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在CA的延長(zhǎng)線上，∠CAD=45°。

（1）若AB=4，求弧CD的長(zhǎng)；

（2）若弧BC=弧AD，AD=AP，求證：PD是⊙O的切線。

設(shè)計(jì)意圖： 本題主要考查切線的判定定理，弧長(zhǎng)公式，圓周角定理及其推論等基礎(chǔ)的知識(shí)，考查推理能力和運(yùn)算能力，考查劃歸與轉(zhuǎn)化的思想等。本題滿分8分。排在試卷中的倒數(shù)第5題，難度不高但在實(shí)際中學(xué)生的得分情況卻不怎么理想，平均分過低，那么究竟問題出在哪兒呢？

二、 典型失誤分析

（一） 基本公式不清晰

第（1）問正確答案應(yīng)該是π，但是很多考生都寫成了 π 2 。有的考生把弧長(zhǎng)公式l= nπr 180 記成了 nπr 360 ；有的考生把半徑2用成了直徑4；有的考生不知道如何添加輔助線，導(dǎo)致找不到所求的弧長(zhǎng)CD是哪一段；有的考生太粗心，求弧長(zhǎng)CD卻用三角函數(shù)求成了弦長(zhǎng)CD。

分析： 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式模糊不清，對(duì)公式的推理過程即弧長(zhǎng)與圓心角、半徑之間的關(guān)系沒掌握透徹，未能結(jié)合圖形畫出正確的輔助線，思維定勢(shì)誤認(rèn)為在圓中研究特殊三角形的問題都是用三角函數(shù)解決，沒認(rèn)真審題。

（二） 胡亂使用條件

如：因?yàn)锳B是直徑，所以∠BAC+∠CBA=90度，因?yàn)锽C =AD ，所以∠BAC=∠PCD，∠PCD+∠CBA=90度，因?yàn)椤螾=∠DCP，所以∠P+∠CBA=90度，又因?yàn)椤螩BA=∠ODA，所以∠P+∠ODA=90度，因?yàn)锳D=AP，所以∠P=∠ADP，所以∠ADP+∠ODA=90度，所以∠ODP=90度，PD是⊙O的切線。

分析： 第（2）問是推理證明題，考生都知道證明切線必須證出∠ODP等于90度，在證明的過程中大體有兩種思路：第一，分別求出∠ODA和∠ADP的度數(shù)；第二，通過證明角的關(guān)系得到角的轉(zhuǎn)化。部分采用第一種思路的考生因?yàn)榇中摹螼DA=67.5度求成了77.5度，采用第二種思路的考生想當(dāng)然默許條件∠P=∠DCP，或者默許∠P=∠BAC導(dǎo)致錯(cuò)誤，事實(shí)上這兩組角是相等的，但必須通過證明△OCA和△ADP相似或者證明三角形全等才能進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，學(xué)生缺乏邏輯推理能力，利用條件分析問題還有欠缺。

三、 教學(xué)建議

（一） 重視公式的推導(dǎo)過程

數(shù)學(xué)公式的形成過程其實(shí)也是幾何推理的過程。但現(xiàn)在很多教師為了在課堂上講更多的例題給學(xué)生模仿，還要學(xué)生提高模仿解題的速度，在上新課中遇到數(shù)學(xué)公式的問題例如：弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式、多邊形內(nèi)角和公式、三角函數(shù)公式等，對(duì)公式的推導(dǎo)過程不夠重視，只要求學(xué)生背誦公式，實(shí)際上這是應(yīng)試教育舍本逐末的錯(cuò)誤做法。這樣做產(chǎn)生兩個(gè)嚴(yán)重的問題，其一誤導(dǎo)學(xué)生認(rèn)為公式的推導(dǎo)過程不重要，甚至覺得只要會(huì)背就行，導(dǎo)致對(duì)相近的數(shù)學(xué)公式模糊不清；其二邏輯思維不嚴(yán)密，對(duì)公式?jīng)]有透徹的理解，只是看成孤立的個(gè)體，使用公式的時(shí)候機(jī)械化，缺乏知識(shí)前后聯(lián)系的探究。例如這道求弧長(zhǎng)的題目，只要學(xué)生理解弧長(zhǎng)是圓的一部分，知道圓心角度數(shù)與弧長(zhǎng)的關(guān)系，這樣輔助線的添加就不會(huì)成為解題的障礙。因此在數(shù)學(xué)公式教學(xué)的過程中，要讓學(xué)生深刻體會(huì)三個(gè)問題：第一，為什么要學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)公式，用新的公式在計(jì)算上有什么便捷之處；第二，引導(dǎo)學(xué)生思考新公式與舊公式的聯(lián)系，是新定義的公式還是派生推導(dǎo)出的公式，公式可以怎樣推導(dǎo)；第三，借助圖形，通過數(shù)形結(jié)合的方法便于識(shí)記公式。這樣學(xué)生在得到一個(gè)新公式時(shí)，還知道如何推導(dǎo)，培養(yǎng)推理能力，也更加熟練使用數(shù)學(xué)符號(hào)，培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)和創(chuàng)新能力。這樣教才有助于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的能力，從被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃?dòng)學(xué)習(xí)。

（二） 注重推理能力的培養(yǎng)

在教學(xué)中，講授數(shù)學(xué)核心知識(shí)的過程中還要重視學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)。學(xué)生推理能力的發(fā)展不是一蹴而成，是應(yīng)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，從合情推理循序漸進(jìn)發(fā)展成演繹推理。培養(yǎng)學(xué)生經(jīng)歷猜想、證明的探究過程，大膽地說，把思路用語言表達(dá)出來才能逐步形成嚴(yán)格的推理過程。

因此，試題講解中問題串的引導(dǎo)要體現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，例如本題推理能力的培養(yǎng)可以這樣做：第一，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每一個(gè)已知條件能推出的幾何結(jié)論進(jìn)行羅列，哪些與本題證明思路相關(guān)，哪些次相關(guān)；第二，在探究解題思路中滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，通過數(shù)形結(jié)合明確哪些角能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，哪些不能；第三，板演要精練，避免學(xué)生繞彎路；第四，啟發(fā)學(xué)生思考此類問題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和考查的知識(shí)點(diǎn)，加深學(xué)生的理解。

（三） 重視課本性質(zhì)定理的推導(dǎo)

數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)交流的特殊工具，很多學(xué)生不會(huì)用數(shù)學(xué)語言演繹推理，覺得跨度太大，原因在于教師在教學(xué)中因題說題，學(xué)生缺乏數(shù)學(xué)探究的過程，尤其是書本定理的證明推導(dǎo)不可忽視，在課堂中真正讓學(xué)生探究得到數(shù)學(xué)定理，擺脫學(xué)生“假探究”，經(jīng)歷必要的數(shù)學(xué)推理，學(xué)生才能清楚定理推論的前后聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)生過程，才會(huì)在幾何題中進(jìn)行運(yùn)用。

四、 總結(jié)

綜上所述，我們?cè)趲缀谓虒W(xué)過程中重視推理能力的培養(yǎng)，更要注重挖掘教材中的公式和定理推論的證明，引導(dǎo)學(xué)生思考知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，形成知識(shí)體系，把零散、無規(guī)律的公式、定理用知識(shí)串緊密聯(lián)系起來。

參考文獻(xiàn)：

[1]張建華.淮安市第23題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2016，（11）：50-51.

[2]康葉紅.南京市第21題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2016，（11）：46-47.

作者簡(jiǎn)介：

吳越，福建省漳州市第五中學(xué)。endprint