段克玉

摘 要：正確的理解概念，是掌握一門學(xué)科的基礎(chǔ)，立體幾何也不例外。下面從五個(gè)方面談?wù)劻Ⅲw幾何概念的教學(xué)問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：幾何；教學(xué)；概念

一、 明確概念的重要性

很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最主要的任務(wù)是學(xué)算法，只要會(huì)算就行，所以他們雖然會(huì)算某些題目，但有關(guān)概念卻模糊不清，常常是憑經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，僅知道大約是怎么回事，但卻說(shuō)不清其真實(shí)含義。因此我們首先要使學(xué)生明確概念學(xué)習(xí)的重要性。教學(xué)時(shí)，可以提出一些運(yùn)用概念容易解決的題目，運(yùn)用不同的解法加以比較，對(duì)于提高學(xué)生學(xué)習(xí)概念的積極性是非常有幫助的。

二、 概念的引入

如何引用概念是很重要的，引用得當(dāng)，學(xué)生興趣倍增；引用不當(dāng)，學(xué)生感到困惑，容易喪失學(xué)習(xí)信心。

1. 實(shí)例引入

由于學(xué)生在自身的經(jīng)歷中積累了一些立幾概念的感性知識(shí)，為此，教師在概念教學(xué)中應(yīng)啟發(fā)學(xué)生把這些模糊無(wú)條理的感性素材整理提煉，升華成理性知識(shí)。例如立體幾何中，“平行”、“垂直”、“距離”、“角”等概念學(xué)生都曾接觸過(guò)，因此很多概念都可以從實(shí)例引入。

2. 模型開(kāi)路

模型是具體與抽象二者間的中介，對(duì)實(shí)物來(lái)說(shuō)，模型已初步抽象化了，所以，使用模型就為學(xué)生從感性素材抽象出理性的概念架起了一座橋梁。在立幾教學(xué)初期，充分利用模型是極重要的手段，一個(gè)立方體骨架的模型就幾乎可以把第一章的大部分概念包羅進(jìn)去了。當(dāng)然模型使用了一段時(shí)間后就應(yīng)逐步減少，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)逐步積累了相當(dāng)?shù)牧字R(shí)，再大量使用模型反而不利于空間想象能力的培養(yǎng)。

3. 抽象概念

學(xué)生在初中階段已初步掌握了解幾何體的一些思維方法，在實(shí)踐中也積累了概念的感性素材，又通過(guò)觀察模型對(duì)概念進(jìn)行了初步的抽象，加上與形似概念進(jìn)行類比，這時(shí)，他們往往試圖自己來(lái)給某個(gè)概念下定義。所以在教學(xué)中應(yīng)充分利用這些有利條件，充分啟動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，讓學(xué)生自己學(xué)會(huì)給抽象概念下定義。當(dāng)然，學(xué)生未必能一下就能給出完整準(zhǔn)確的定義，我們的任務(wù)就是啟發(fā)學(xué)生找出他們敘述中的欠缺，并帶領(lǐng)學(xué)生加以修正，使之嚴(yán)密完整，從而牢牢地掌握它。以“只限于平面垂直”的定義為例：學(xué)生會(huì)說(shuō)：“如果直線與平面成直角”，或者“直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直”，或者“直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直”，或者“直線與平面內(nèi)的所有的直線垂直”等等，就叫直線與平面垂直，對(duì)這些意見(jiàn)，我們并不要急于否定或肯定，而是要引導(dǎo)學(xué)生找出問(wèn)題，或進(jìn)行比較，最后得出課本上的定義來(lái)。

【例】 如圖所示，已知AB為圓O的直徑，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD=13DB，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且BC=3AC，PD⊥平面ABC，PD=DB。

求證：PA⊥CD.

證明：∵AB為圓O的直徑，∴AC⊥CB，

在Rt△ABC中，由3AC=BC得，

∠ABC=30°，設(shè)AD=1，

由3AD=DB得，DB=3，BC=23，

由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos30°=3，

∴CD2+DB2=BC2，即CD⊥AO.

∵PD⊥平面ABC，CD平面ABC，

∴PD⊥CD，由PD∩AO=D得，CD⊥平面PAB，

又PA平面PAB，∴PA⊥CD。

思維升華：（1）證明直線和平面垂直的常用方法：①直線與平面垂直的概念及判定定理；②垂直于平面的傳遞性（a∥b，a⊥αb⊥α）；③面面平行的性質(zhì)（a⊥α，α∥βa⊥β）；④面面垂直的性質(zhì)。（2）證明直線與平面垂直的核心是證直線與直線垂直，而證明直線與直線垂直則需借助直線平面垂直的性質(zhì)。因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明直線平面垂直的基本思想。（3）直線平面垂直的性質(zhì)，常用來(lái)證明直線與直線垂直。

三、 揭示概念內(nèi)涵與外延

定義的語(yǔ)言都是極為簡(jiǎn)練的，所以充分發(fā)掘概念的內(nèi)涵與外延是加深學(xué)生對(duì)概念理解的必不可少的方法。

1. 逐字推敲

例如異面直線的定義為“不同于任何一個(gè)平面的兩條直線”。我們可讓學(xué)生討論，把“任何”兩字去掉，說(shuō)成“不同在一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”或“不在同一平面內(nèi)的兩條直線”行不行？把“同”字去掉，說(shuō)成“不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線”行不行？這樣一推敲，學(xué)生對(duì)概念的理解就深了。

2. 完整理解

有的定義分成幾個(gè)部分，學(xué)生往往重視一般情況而忽略了特殊情況，這樣對(duì)概念的理解就不完整。例如“直線與平面所成角”的概念，學(xué)生往往只重視“斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的銳角”，而丟掉了直線與平面垂直或平行這兩種特殊情況。這樣，在遇到具體問(wèn)題時(shí)就會(huì)解答不全，例如，學(xué)生在證明：“一直線與兩平行平面所成的角相等”時(shí)，往往只就直線與平面斜交的情況證明，這樣的證明就不完整，因此對(duì)這種類型的概念，我們就必須指導(dǎo)學(xué)生完整地理解。

3. 揭示本質(zhì)

例如“距離”這一概念有好多個(gè)，表面上每次研究的對(duì)象

都不同，但它們都有其本質(zhì)的共性，即“最短”性，因此應(yīng)讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)這一本質(zhì)屬性；例如在定義“點(diǎn)與平面的距離”時(shí)，我們先帶著學(xué)生研究這點(diǎn)與平面上所有各點(diǎn)的連接線段，在其中找出最短線段的一條來(lái)，再給出定義。在給出“兩條異面直線的距離”這一定義時(shí)，雖暫時(shí)不能說(shuō)明“最短”的理由，但一學(xué)到“分別在異面直線上取兩點(diǎn)的距離”公式后，就應(yīng)回顧這個(gè)“最短”的本質(zhì)屬性，暫時(shí)無(wú)法證明，但我們也應(yīng)向?qū)W生指明。

四、 注意概念間的聯(lián)系與區(qū)別

任何知識(shí)都必然與其他知識(shí)聯(lián)系著，但又有別于其他知識(shí)，我們應(yīng)抓住這些區(qū)別與聯(lián)系，利用對(duì)比和類比來(lái)進(jìn)行概念的教學(xué)。

1. 抓住平面幾何與立體幾何概念的區(qū)別與聯(lián)系

平面幾何與立體幾何是前后銜接的兩門相近的學(xué)科，立體幾何中許多概念?？伤菰从谄矫鎺缀胃拍?，因此復(fù)習(xí)平面幾何中相應(yīng)概念，使學(xué)生通過(guò)復(fù)習(xí)受到啟迪，進(jìn)而通過(guò)類比而得出新的概念是非?？尚械?。例如通過(guò)復(fù)習(xí)平面幾何中“垂直”“平行”等概念，對(duì)照三角形研究四面體的相應(yīng)概念等等。endprint

我們要特別注意平面幾何與立體幾何相似概念的區(qū)別，抓住區(qū)別進(jìn)行對(duì)比，以防止學(xué)生濫用平面幾何定義。例如“兩直線垂直”，學(xué)生常習(xí)慣于“必有垂點(diǎn)”這一點(diǎn)，我們應(yīng)在教學(xué)中充分重視，讓學(xué)生從平面幾何的窠臼中盡早解脫出來(lái)。例如：空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法：

（1）根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來(lái)解決問(wèn)題；

（2）必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來(lái)進(jìn)行判斷。

2. 注意立體幾何中相近概念的聯(lián)系與區(qū)別

例如“垂直”、“平行”概念，立體幾何中多次出現(xiàn)，相似而又各不相同，因此我們應(yīng)進(jìn)行橫向比較。比如我們可讓學(xué)生歸納出：過(guò)直線外一點(diǎn)引直線的

垂線有無(wú)數(shù)條（都在垂面內(nèi)）

垂面有一個(gè)

平行線有一條

平行平面有無(wú)數(shù)個(gè)（都過(guò)平行線）

過(guò)平面外一點(diǎn)作該平面的

垂線有一條

垂面有無(wú)數(shù)個(gè)（都過(guò)垂線）

平行線有無(wú)數(shù)條（都在平行平面內(nèi)）

平行平面有一個(gè)

等等這樣正確的命題。

3. 利用集合進(jìn)行比較

例如：棱柱部分有很多概念：棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面體、直平行六面體、直四棱柱、正四棱柱、長(zhǎng)方體、正方體等，我們可以利用集合的概念，讓學(xué)生指出這些概念間的邏輯關(guān)系，并用文氏圖直觀畫(huà)出，這對(duì)學(xué)生搞清有關(guān)概念也是很有幫助的。

五、 介紹對(duì)概念下定義的規(guī)則

學(xué)生在初中已經(jīng)接觸了不少定義，到了高中，他們更希望自己來(lái)給一些概念下定義，因此我們應(yīng)讓學(xué)生了解些下定義的規(guī)則。在向?qū)W生講解有關(guān)規(guī)則時(shí)，可針對(duì)學(xué)生實(shí)際，“就事論事”地講解有關(guān)規(guī)則，不必求全。例如，在講平面概念時(shí)，我們可以講一講什么是原始概念，也可讓學(xué)生分析這樣的兩句話：“點(diǎn)按一定方向及其相反方向運(yùn)動(dòng)所得的圖形就叫直線?！薄爸本€按一定方向及其相反方向運(yùn)動(dòng)所得的圖形叫做平面?！笨催@是否能作為直線和平面的定義。又如，針對(duì)學(xué)生說(shuō)的：“如果直線與平面成90°就叫直線與平面垂直?！蔽覀兛梢灾v解“不能用除原始概念外的尚未定義的概念來(lái)給待下定義的概念下定義”這條規(guī)則。在定義了直線與平面所成角之后，我們則可介紹“定義不能惡性循環(huán)”這條規(guī)則。

當(dāng)然，我們也可在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候講講下定義的方法，什么是屬加種差定義，什么是發(fā)生性定義以及用揭示外延來(lái)定義等等，使學(xué)生對(duì)此也有一個(gè)初步的了解。endprint