承小華

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，優(yōu)秀的習(xí)題能夠有效促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，能夠讓學(xué)生在練習(xí)中習(xí)得數(shù)學(xué)思想. 為此，教師要善于整合教材的習(xí)題資源，增強(qiáng)習(xí)題的開放性，啟發(fā)學(xué)生自主設(shè)計習(xí)題，倡導(dǎo)一題多解，通過以上手段能夠有效提升學(xué)生的練習(xí)效率.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；習(xí)題設(shè)計；效率提升

習(xí)題練習(xí)一直是學(xué)生鞏固所學(xué)、提升能力的重要途徑，為了讓習(xí)題練習(xí)發(fā)揮其應(yīng)有的效果，數(shù)學(xué)教師務(wù)必要注意優(yōu)化習(xí)題設(shè)計，對此筆者有以下幾點(diǎn)思考.

整合教材習(xí)題，增強(qiáng)習(xí)題的實(shí)效性

教材中的習(xí)題都是教材編寫專家再三醞釀，精心選材，幾易其稿，最終確定的習(xí)題，因此教材習(xí)題有著明顯的典型性、示范性以及針對性. 就高中數(shù)學(xué)教師而言，我們要善于從功能特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及語言組織等角度入手深入剖析教材習(xí)題的設(shè)計，發(fā)掘其隱含價值，為我們在教學(xué)中整合習(xí)題資源、優(yōu)化習(xí)題設(shè)計奠定基礎(chǔ).

整合習(xí)題資源的常用手段包括對教材中的典型問題進(jìn)行精心篩選，并對其提問角度和方式進(jìn)行適當(dāng)?shù)卣{(diào)整，由此讓陳題帶上新意，讓舊題換上新貌，進(jìn)而讓我們在教學(xué)過程中能夠借助教材習(xí)題進(jìn)行充分的拓展，讓學(xué)生在問題的分析和解決的過程中，加深對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)化的認(rèn)識，并強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，學(xué)生還將在相關(guān)問題的分析和處理中對數(shù)學(xué)思想進(jìn)行領(lǐng)悟和掌握，這些都將進(jìn)一步提升教材習(xí)題的使用價值.

教師在對習(xí)題進(jìn)行調(diào)整和優(yōu)化時，要善于對習(xí)題進(jìn)行縱向地深入和橫向地拓展，以便讓習(xí)題發(fā)揮更大的作用. 通過對習(xí)題進(jìn)行變式處理，教師可以向?qū)W生揭示方法與知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”引起認(rèn)知沖突，并由此建立起新的認(rèn)知體系.

在“圓錐曲線”這一部分的教學(xué)過程中，為了幫助學(xué)生能夠更好地掌握和理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，教師可以對教材上的習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)赝卣?，設(shè)計以下一組問題.

（1）已知某橢圓的焦點(diǎn)位于x軸上，且a=4，b=6，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知x軸上存在兩個點(diǎn)分別是點(diǎn)F1（-4，0）和點(diǎn)F2（4，0），求滿足條件MF1+MF2=10的動點(diǎn)M的軌跡方程；

（3）求滿足以下條件+=10的動點(diǎn)M（x，y）的軌跡方程；

（4）已知一個橢圓的方程為+=1，現(xiàn)有一橢圓與其有著相同的焦點(diǎn)，且橢圓的一條準(zhǔn)線方程為x=，請寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

增強(qiáng)習(xí)題的開放性，拓展學(xué)生研究的視野

以往我們的習(xí)題練習(xí)側(cè)重于傳統(tǒng)的封閉性習(xí)題，這樣的習(xí)題在一定程度上束縛了學(xué)生能力的發(fā)展. 因此我們倡導(dǎo)增強(qiáng)習(xí)題的開放性，以此來拓展學(xué)生研究的視野，提升學(xué)生思維訓(xùn)練的靈活性. 所謂習(xí)題的“開放性”就是指題目的條件不夠完備、比較混雜，或是結(jié)論不夠明確，或是問題解決的策略不夠單一，概括起來帶有開放性的習(xí)題往往可以分為條件開放型習(xí)題、結(jié)論開放型習(xí)題、策略開發(fā)型習(xí)題等多種形式.

例如在函數(shù)學(xué)習(xí)的過程中，為了強(qiáng)化學(xué)生對定義域的理解，澄清他們的某些誤解，教師可以設(shè)計以下一系列條件開放型問題以幫助學(xué)生進(jìn)行強(qiáng)化，學(xué)生還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步了解一般的二次函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上最值問題進(jìn)行分類討論的處理方法.

問題情境：現(xiàn)有一個函數(shù)f（x）=x2-4x+5，其定義域?yàn)锳，則函數(shù)f（x）一定具有最小值或最大值嗎？

（1）當(dāng)定義域A=（-1，1）時（不存在最小值，也不存在最大值）；

（2）當(dāng)定義域A=（-1，+∞）時（存在最小值1，但是不存在最大值）；

（3）當(dāng)定義域A=（-1，0]時（不存在最大值，但是存在最小值5）；

（4）當(dāng)定義域A=[-1，10]時（存在最小值1，存在最大值65）；

（5）當(dāng)定義域A=[a，b]時（需要分類討論：如果a>2，則存在最小值為f（a），且存在最大值f（b）；如果a≤2≤b，則存在最小值1，且最大值為f（a）和f（b）中較大的一個；如果b<2，則存在最小值f（b），最大值為f（a））.

啟發(fā)學(xué)生自主設(shè)計習(xí)題，培養(yǎng)他們的獨(dú)創(chuàng)意識

新課程理念要求讓學(xué)生以數(shù)學(xué)研究的視角從生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并主動運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來對生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行分析，進(jìn)而自主解決實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)問題. 為了培養(yǎng)學(xué)生的這種意識和能力，教師要在日常的教學(xué)中，為學(xué)生提供機(jī)會，讓學(xué)生能夠自主編制一些問題，這樣操作能加深學(xué)生對解題思想以及方法的認(rèn)識，能讓他們更加深入地研究典型問題的解題策略. 這樣的處理還有助于增添課堂的生機(jī)與活力，從而更加有效地培養(yǎng)學(xué)生的探索精神以及創(chuàng)新意識，有助于學(xué)生獨(dú)立人格和自主意識的完善，進(jìn)而形成更加深刻的數(shù)學(xué)觀.

例如在三角函數(shù)的復(fù)習(xí)課上，教師先為學(xué)生呈現(xiàn)以下問題：

如圖1所示為一塊半圓形的空地，其圓心為O點(diǎn)，現(xiàn)在要在這塊空地上劃出一個區(qū)域作為花圃，該區(qū)域即為圖中的內(nèi)接矩形ABCD，AD邊正好落在圓的直徑上，另外兩個點(diǎn)B和C分別落在半圓形的圓周上. 已知該半圓的半徑長度為R，如何選擇圍繞圓心O對稱的兩點(diǎn)A和D的位置，使得矩形ABCD能夠獲得最大的面積？

這是一個非常生活化的實(shí)際問題，學(xué)生一般會按照習(xí)慣設(shè)定矩形的一條邊長或∠DOC為自變量，然后建立一個有關(guān)于面積的函數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)問題的解決. 為了讓學(xué)生對此類問題的認(rèn)識和理解更加透徹，并指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：如果原始空地的形狀為扇形，那么該如何設(shè)計問題？教師放手讓學(xué)生展開自主探索和合作討論，最終他們能形成以下幾個類似的問題：

（1）已知一個半徑為R，且圓心角等于60°的扇形OMN如圖2所示，該扇形有一個內(nèi)接矩形ABCD，該矩形的一條邊正好落在半徑OM上，求矩形的最大面積.

（2）現(xiàn)在有一個半徑為R，且圓心角等于120°的扇形鐵片，工人要在這個鐵片上裁出一塊矩形，現(xiàn)在提供兩種剪裁方法. 其一如圖3所示，讓矩形的一邊正好落在OM上，另一條邊如圖4所示，矩形的一邊與弦MN平行. 請問哪一種裁剪方式可以裁出面積更大一些的矩形？請求出這個矩形的面積.

（3）現(xiàn)有一個半徑為R，圓心角等于θ的扇形，其中0°<θ≤180°，求對應(yīng)扇形形成內(nèi)接矩形的面積的最大值為多少.

教學(xué)實(shí)踐表明，如果能夠讓學(xué)生一直以自主探究的方式展開學(xué)習(xí)和研究，可以促成他們從多個角度以及方向?qū)栴}展開剖析，進(jìn)而對事物形成更加完善的認(rèn)識.

一題多解，深度優(yōu)化學(xué)生的思維和探索

中學(xué)生本就有著豐富的想象力，而在習(xí)題教學(xué)中，教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生拓寬問題的解決思路，對學(xué)生探索能力的培養(yǎng)大有裨益. 我們都知道知識是學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)所在，但卻不是教育的根本目的，教育的目的在于發(fā)展. 因此圍繞問題多一些思考和探索，既有助于學(xué)生探索能力的培養(yǎng)，又能提升學(xué)生的創(chuàng)新意識，發(fā)展他們的求異思維.

例如有問題：已知兩個實(shí)數(shù)a，b，且a+b=1，求證：（a+2）2+（b+2）2≥.

為了引導(dǎo)學(xué)生更加細(xì)致地理解條件，并更加深入地研究不等式的基本結(jié)構(gòu)，我們發(fā)現(xiàn)條件與不等式之間的聯(lián)系還比較多，因此可以從不同角度來對不等式進(jìn)行證明.

（1）運(yùn)用不等式的相關(guān)性質(zhì)，采用做差法進(jìn)行證明；

（2）從待證明的結(jié)論出發(fā)，采用分析法和反證法進(jìn)行處理；

（3）研究不等式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式來進(jìn)行處理；

（4）構(gòu)建函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題進(jìn)行處理，即設(shè)定y=（a+2）2+（b+2）2，然后再用a來表示b，則上述函數(shù)即演變?yōu)橐粋€有關(guān)于a的二次函數(shù)，然后結(jié)合二次函數(shù)的值域進(jìn)行分析.

由上述例子可以發(fā)現(xiàn)，教師在引導(dǎo)學(xué)生處理問題時，不僅要引導(dǎo)學(xué)生熟悉常規(guī)的問題處理方法，還要引導(dǎo)學(xué)生嘗試一題多解. 如此才能提升習(xí)題的利用率，避免題海戰(zhàn)術(shù)給學(xué)生帶來的負(fù)擔(dān).

綜上所述，教師在設(shè)計習(xí)題時要注意繁簡適當(dāng)、梯度有序，同時將趣味性、應(yīng)用性以及創(chuàng)造性融入一題，從而有效喚醒學(xué)生的潛能，促成學(xué)生更加高效的發(fā)展.endprint