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        淺談數(shù)學(xué)高考中的變形思想

        2018-01-20 20:15:34周炳
        新課程·中學(xué) 2017年11期
        關(guān)鍵詞:三角函數(shù)解題技巧

        周炳

        摘 要:變形思想在數(shù)學(xué)高考解題中是一種很常見的方法,高考數(shù)學(xué)解題中,為了能在有效的時(shí)間里得到正確的答案,需要對已知條件進(jìn)行有效的變形或者替代。在一般情況下,一個(gè)高考題的已知條件有多種變形思想,因題型而異,具有很強(qiáng)的技巧性。主要介紹了數(shù)學(xué)高考中不等式、三角函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用等的變形思想。

        關(guān)鍵詞:變形思想;解題技巧;三角函數(shù);單調(diào)函數(shù)

        在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,解題的過程能讓高中數(shù)學(xué)的枯燥、乏味變得更加生動(dòng)精彩,通過解題過程可以使高中生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)也掌握一些生活所必需的基本技能,近幾年來,在全國卷的數(shù)學(xué)高考考試中,不僅注重考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,而且還越來越重視學(xué)生知識(shí)的靈活運(yùn)用,在解題的過程對題目進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危梢允菇忸}過程充滿樂趣,也可以提高解題效率。

        一、基本不等式中的變形技巧

        在利用基本不等式的過程中,要保證“一正、二定、三相等”的條件,所以在解題過程中常常需要對已知條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问怪畣栴}簡化符合條件。

        例1:求y=x+(x>1)的最小值。

        [分析]:因?yàn)閤·不為定值,所以需要對x變形,當(dāng)把x變成x-1時(shí),(x-1)·即為定值。

        解:由y=x+=x-1++1≥2+1=3(當(dāng)且僅當(dāng)x-1=時(shí)取等號(hào)),所以y=x+(x>1)的最小值

        為3。

        例2:已知a>0,b>0且a+b=2,求+的最小值。

        [分析]:因?yàn)樵?的式子中無法變現(xiàn),所以只能在式子中乘以“1”,其中“1=(a+b)”,所以+就可以變?yōu)?·1=+·(a+b)=+++2=++,從而就可以使用基本不等式了。

        解:∵+=+·1=+·(a+b)=+++2=++≥+2=

        ∴+的最小值為。

        二、三角函數(shù)的變形技巧

        三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中,往往有關(guān)于求值、化簡、證明以及解三角形等問題,都會(huì)涉及三角恒等變換以及“1”的靈活運(yùn)用。能快速掌握三角恒等變換的技巧,不僅能針對三角函數(shù)公式的記憶加以幫助,而且還能提高數(shù)學(xué)的邏輯思維能力,提高數(shù)學(xué)的綜合能力。下面通過例題來加以說明三角函數(shù)的變形技巧。

        例1:已知tanθ=2,求下列等式的值;

        (1)

        (2)

        (3)sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ

        [分析]:因?yàn)橐阎猼anθ的值,故只需要把在(1)(2)中分子分母同時(shí)除以cosθ和cos2θ即可,(3)中是整式?jīng)]有分母,利用三角函數(shù)中“1”的靈活應(yīng)用,即。

        解:(1)====1.

        (2)==

        ==.

        (3)sin2θ+sinθcosθ+2cos2θ=

        ==

        ===.

        三、函數(shù)中的變形技巧

        在學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)中,往往一些條件不滿足,需要我們進(jìn)一步變形才能夠滿足函數(shù)的基本性質(zhì):

        例題1.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足對任意x1,x2都有<0,若對任意的實(shí)數(shù)p,f(p-1)+f(p2+m)<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的范圍。

        [分析]<0,可以變形理解為f(x)為在R上單調(diào)減函數(shù),f(p-1)+f(p2+m)<0可以變形成為抽象函數(shù)不等式的

        形式。

        解:∵f(p-1)+f(p2+m)<0∴f(p-1)<-f(p2+m)。又∵f(x)是奇函數(shù),∴f(p-1)-p2-m恒成立,∴m>-p2-p+1=-p+2+恒成立,∴m>.

        例題2.已知函數(shù)f(x)對任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(x)+f(y)-1=

        f(x+y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.求證:函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)。

        [分析]:因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)不知道解析式,所以不能代入求f(x1)-f(x2),但可以借助題目提供的函數(shù)性質(zhì)來確定f(x1)-f(x2)的大小,這時(shí)就需要根據(jù)解題需要對抽象函數(shù)進(jìn)行賦值。

        證明:方法一 設(shè)x1,x2是實(shí)數(shù)集上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1>x2。令x+y=x1,y=x2則x=x1-x2>0.f(x1)-f(x2)=f(x+y)-f(y)=f(x)+f(y)-1-f(y)=f(x)-1.

        ∵x>0,∴f(x)>1,∴f(x)-1>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)

        函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)。

        方法二 設(shè)x1>x2,則x1-x2>0,從而f(x1-x2)>1,即f(x1-x2)-1>0。f(x1)=f [x2+(x1-x2)]=f(x2)+f(x1-x2)-1>f(x2)∴f(x)在R上是增

        函數(shù)。

        通過以上幾種題型的變形技巧,我們可以看出數(shù)學(xué)變形思想是高中數(shù)學(xué)解題的一種重要的思想方法,如果能巧妙地利用變形技巧,可以使許多難題迎刃而解,化繁為簡,化難為易,變形能力的強(qiáng)與弱,直接影響到考試解題能力的高低,同時(shí)也需要學(xué)生在實(shí)踐中反復(fù)練習(xí),以至于能靈活運(yùn)用。

        參考文獻(xiàn):

        [1]湯炳興.在概念教學(xué)中“學(xué)數(shù)學(xué) 做數(shù)學(xué) 用數(shù)學(xué)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2002(4).

        [2]G·波利亞.數(shù)學(xué)與猜想:數(shù)學(xué)中的歸納與類比[M].北京:科學(xué)出版社,2001.

        [3]徐英俊.教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京:教育科學(xué)出版社,2001.

        ?誗編輯 謝尾合

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