【摘要】微積分是全國高等院校尤其是財經(jīng)類院校本科生教學中的一門重要的通識課程。本文主要探討了在微積分教學中微分與導數(shù)的關(guān)系以及微分在積分理論中的作用。

【關(guān)鍵詞】 微積分 ?微分 ?導數(shù) ?積分

【中圖分類號】O172 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）40-0120-01

微積分的學習對于高等院校學生來說是至關(guān)重要的。這門課主要包括極限、微分學、積分學及其應用。該門課程也是后續(xù)其它高校數(shù)學課程的基礎(chǔ)，例如微積分與概率論與數(shù)理統(tǒng)計聯(lián)系密切，連續(xù)型變量以及隨機向量屬于某一區(qū)間的概率的計算等都需要用到微積分中積分的內(nèi)容。因此很多學生由于微積分的部分內(nèi)容掌握得不夠扎實導致在學習大學的一些其他數(shù)學類的課程中比較吃力。

微積分主要包括微分學和積分學兩個部分。微積分基本定理即牛頓-萊布尼茲公式揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或者不定積分之間的聯(lián)系。在一般的微積分的教材中，原函數(shù)的定義最初是出現(xiàn)在微分這一節(jié)中。原函數(shù)是指對于定義在某區(qū)間的已知函數(shù)f（x），如果存在可導函數(shù)F（x），使得在該區(qū)間內(nèi)任一點都存在dF（x）=f（x）dx，則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F（x）為函數(shù)f（x）的原函數(shù)。在這一定義中dF（x）是F（x）的微分。

我們首先簡單的介紹微分的定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在某區(qū)間I上有定義，x0是該區(qū)間內(nèi)一點，當x0變動到附近的x0+Δx（也在此區(qū)間內(nèi)）時，如果函數(shù)對應的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）可表示為Δy=AΔx+ο（Δx）（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)），那么f（x）稱為在x0是可微的，AΔx稱作函數(shù)f（x）成為在x0處的微分，記作dy。從微分的定義可以看出dy是Δy的線性主部。因此，微分可視為對函數(shù)的局部變化率的一種線性描述。它可用于近似的計算當函數(shù)自變量取值作足夠小的改變時，函數(shù)值的改變。

從上述定義可看出，當函數(shù)給定時，很難通過微分的定義計算微分。當把微分的定義與導數(shù)的定義結(jié)合起來進行對比時，人們發(fā)現(xiàn)可微和可導是等價的。導數(shù)的定義：函數(shù)f（x）在x0處的瞬時變化率是■■=■■，我們稱它為函數(shù)f（x）在x0處的導數(shù)。記作f '（x0）或y'|■。若f（x）在x0處可微，將可微定義中的定義式帶入至導數(shù)定義式中時可求得 ? f（x）在x0處的導數(shù)為f '（x0）=A。從而dy=df=f '（x0）dx。通過這一等式，我們可以非常容易的計算出微分，從而也比較容易的給出函數(shù)的近似計算。類似的在可導的前提下，利用計算導數(shù)的極限式，我們可以推導出微分的定義式，并且得出A=f '（x0）。因此，若函數(shù)f（x）在x0處可微，可推導出f（x）在x0處可導;若 ?f（x）在x0處可導，可得出f（x）在x0處可微。從這一意義上來說可微和可導是等價的。

也正是由于微分和導數(shù)密切的關(guān)系尤其是利用導數(shù)計算微分這種較為簡單的計算方式導致學生對微分的認知非常模糊。在教學過程中，我們發(fā)現(xiàn)學生比較容易犯的錯誤：一是在計算函數(shù)的微分時漏寫dx;二是在寫出微分的定義時給出了Δy=y'Δx+ο（Δx）這樣錯誤的寫法。通過這兩種錯誤可以看出在學完微分一段時間之后，部分同學容易將微分的概念和倒數(shù)的概念混淆在一起。

在微積分的課程教學當中，經(jīng)常有同學提出疑問，微分和導數(shù)有何區(qū)別？

首先，雖然導數(shù)和微分都是在自變量微小變化時，研究函數(shù)值的變化，但是導數(shù)考察函數(shù)值的變化率而微分考察的是函數(shù)值變化的近似計算。例如，導數(shù)可用于求解瞬時速度，微分可用作近似計算比如1.0025的估計。

其次，當我們考慮一段區(qū)間上的微分時，作為函數(shù)值變化的線性主部，微分函數(shù)df是關(guān)于x和Δx這兩個相互獨立的變量的函數(shù)。一般地，我們認為微分函數(shù)是關(guān)于x的函數(shù)。需要注意的是dx并不僅僅只是在算完導數(shù)后加上的一個符號而已。設(shè)f（x）=x，容易算出df=dx=1·Δx。通過這一簡單例子的計算，同學們就可以理解在微分這一節(jié)內(nèi)容中Δx到dx的轉(zhuǎn)變。同時，在教學中，我們也可以指出dy，dx不僅僅是符號。本質(zhì)上他們是函數(shù)可以參與運算。比較經(jīng)典的是通過dy=f 'dx可得出 ?f '=dy/dx。這也解釋了導數(shù)的符號除了f '以外還有一個符號dy/dx。這一符號是兩個微分函數(shù)的商，從而這一符號又稱為微商。

此外，微分可以幫助學生更好的理解不定積分和定積分的計算過程。微分有一個非常重要的性質(zhì)：一階微分的形式不變性。一階微分的形式不變性是指不論u是自變量還是中間變量，均有dy=f '（u）du。不定積分和定積分的計算比較常見有三種方法：湊微分、分部積分、換元法。有時我們也稱湊微分法為第一換元法。湊微分也可以看做是一階微分形式不變性的逆運算。以不定積分為例，湊微分的過程：假設(shè)被積函數(shù)可以寫成 ? ?f（φ（x））φ'（x）的形式，此時不定積分的形式可表達為■f（φ（x））φ'（x）dx。不定積分表示的是f（φ（x））φ'（x）dx這一微分式的所有的原函數(shù)，從而根據(jù)微分是函數(shù)以及一階微分的形式不變性，可得

■f（φ（x））φ'（x）dx=■f（φ（x））dφ（x）=■f（u）du=F（u）+C=F（φ（x））+C

這里u=φ（x），F(xiàn)是f的原函數(shù)。

通過上述的內(nèi)容我們主要分析了微分和導數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，微分在積分計算中的作用，并闡述了作者在教學過程中總結(jié)的少許經(jīng)驗。作為研究函數(shù)的重要工具，微分應當讓學生在學習的過程中深刻的理解其定義、性質(zhì)，這樣才能在今后的微積分學習中做到學以致用。

參考文獻：

[1]朱來義.微積分[M]. 北京：高等教育出版社， 2002.

[2]趙洪.研究性教學與大學教學方法改革[J].高等教育研究，2013（30）.

作者簡介：

單遠（1988.12-），男，漢族，江蘇鹽城人，博士，講師，研究方向：動力系統(tǒng)。