摘 要：主題教學設計是以主題為中軸，圍繞教學主題而展開的，其以教學主題為樞紐，在系統(tǒng)內(nèi)諸要素之間彼此聯(lián)系、相互作用與協(xié)調(diào)運行中，驅(qū)動師生“雙適應雙發(fā)展”。文章以《多變量最值問題》為例，分享了高三數(shù)學專題復習主線教學設計的相關教學案例，探討高三數(shù)學專題復習主線教學設計的相關策略。

關鍵詞：數(shù)學概念；數(shù)學思想；教學感悟

作者簡介：李剛，江蘇省木瀆高級中學教師。（江蘇 蘇州 215100）

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2018）31-0097-02

高三數(shù)學專題復習不應該只是對已掌握知識的再回顧，更應該關注學生對知識系統(tǒng)的再建構、再補充完善。而主題教學設計就是倡導將教學內(nèi)容置于整體中去把控，關注教學內(nèi)容的本質(zhì)以及蘊含其中的數(shù)學思想方法。

一、高三數(shù)學專題復習主線教學設計的策略研究

專題復習主線教學設計是根據(jù)教學內(nèi)容以及教師對于內(nèi)容之間的聯(lián)系進行的創(chuàng)造性思考和整合，在復習過程中，尤其是在經(jīng)過一輪復習后的專題復習中，針對多個知識點或者跨章節(jié)中相關聯(lián)的一些問題，可以組織專題復習主線教學，即通過設計把相關的知識系統(tǒng)化、結構化，通過知識、技能、思想等層面對教學內(nèi)容進行一次系統(tǒng)、全面的回顧與梳理，進而讓學生完善認知結構，促進解題思想方法的形成，提升學生的數(shù)學綜合素養(yǎng)。

1. 以重要的數(shù)學概念或核心數(shù)學知識為主線設計教學。江蘇高考數(shù)學科目考試說明共有118個考點，這些知識點在教材中有些是在章節(jié)中呈現(xiàn)，有些是跨章節(jié)呈現(xiàn)，如函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)、數(shù)列、不等式、導數(shù)及其應用作為獨立的板塊單獨成章，但又緊密聯(lián)系，呈現(xiàn)出一種遞進，螺旋上升的關系。因此，在高三數(shù)學專題復習中，可以以重要的數(shù)學概念或核心數(shù)學知識為主線設計教學，形成專題。例如，以高中數(shù)學內(nèi)容中的單調(diào)性為例，可以設計多元問題的最值問題、數(shù)列中的最值（范圍）問題，函數(shù)的零點問題等。

2. 以數(shù)學思想方法為主線設計教學。教材中有很多體現(xiàn)數(shù)形結合思想的內(nèi)容章節(jié)，如果可以以數(shù)形結合思想方法來組織設計主題教學，則可以將高中數(shù)學內(nèi)容中的集合、基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程、導數(shù)、解析幾何等內(nèi)容整合在一起構成數(shù)形結合思想方法的主題，這樣不僅可以在高三復習中完善自己的認知體系，也可以體驗由形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉化過程，把握數(shù)形結合的雙向性，增強思維的轉化能力和數(shù)學問題的表征能力。

3. 以數(shù)學解題方法為主線設計教學。在教學中，教師能站在一個高度，以數(shù)學解題方法為主線引導學生對所學方法進行歸類整理，學生應該會對解題方法有更深刻的領悟，將解題方法熟練應用到原有的認知結構中，進而提升解題意識和能力。例如，換元法在高中數(shù)學知識中有著非常廣泛的運用，尤其在處理復雜式子時優(yōu)點非常明顯，但是這一方法僅僅通過一道題或者一個知識點很難讓學生完全掌握。因此，教師可以結合換元法在不同情境中的運用進行整合，以此為主線設計教學，進行螺旋式的訓練。

二、高三數(shù)學專題復習主線教學設計的教學案例

在高三數(shù)學測試題中，經(jīng)常會涉及多變量最值問題，此類問題涉及數(shù)學知識豐富，橫跨很多章節(jié)，解題方法多樣，因此，筆者以多變量最值問題為主線設計專題教學。

引例：已知x+y=1，求x2+y2的最小值。

對于高三學生來說，這是一道基本題，處理方法常涉及以下五種：

法1：將x+y=1變形為y=1-x，代入x2+y2可得2x2-2x+1，從而將問題轉化為求二次函數(shù)的最小值。

法2：利用不等式（ ）2≤ 可直接求得最小值。

法3：注意到在平面直角坐標系中x+y=1表示直線，x2+y2的幾何意義是直線上的點到原點距離的平方，從而轉化為求原點到直線的距離。

法4：借助于法2的思想，設x2+y2= t（t>0），從而轉化為直線與圓有公共點，利用幾何法或代數(shù)法均可求得最小值。

法5：設x2+y2= t（t>0），則x= cos？茲，y= sin？茲，代入x+y=1，利用三角函數(shù)有界性可求得最小值。

上述引例從題目到解法都是相當基礎的，但是在基礎之中又蘊含了豐富的內(nèi)容，這個問題可以看成是一個純粹的代數(shù)問題，選擇代入消元或者不等式即可；或者選擇三角換元，利用三角函數(shù)知識解題。同時，這個問題也可以是解析幾何問題，轉化為直線與圓的位置關系問題，考查到了代數(shù)式的幾何意義，應該說建立了代數(shù)和幾何的有機聯(lián)系。因此，可以以此為拓展點，進行后面的變式主題教學。

變式1 已知x2+y2=1，求x+y的最小值。

法1：設x=cos？茲，y=sin？茲，則x+y=cos？茲+sin？茲= sin（？茲+ ），利用三角函數(shù)有界性即可求得結果。

法2：令x+y= t，轉化為直線與圓有公共點，從而可以利用方程思想或者幾何法求得結果。

法3：利用不等式（ ）2≤ 可直接求得最小值。

變式2 已知x2+y2=1，求2x+y的最小值。

變式1的法1和法2可用，法3不可直接用，但可以通過構造后用。

法3：（2x+y）2=4x2+y2+4xy=4x2+y2+2x（2y）≤4x2+y2+x2+4y2=5（x2+y2）=5，由此，可求得最小值。

變式3 已知4x2+y2+xy=1，求2x+y的最小值。

在條件中增加了xy后，法1、法2和法3都可以運用，另外還可以增加法4。

法4：設2x+y= S，則S2=（2x+y）2=4x2+4xy+y2+？姿（4x2+4xy+y2-1）=（4+4？姿）x2+（4+？姿）xy+（1-？姿）y2-？姿. 由△=（4+？姿）2-4（4+4？姿）（1+？姿）= 0，解得？姿=- 或？姿=0（舍去）。

當？姿=- 時，S2=- x2+ xy- y2+ =- （2x-y）2+ ≤ ，從而Smin= .

綜上所述，在處理多元最值問題時，我們通常會由消元法轉化為一元函數(shù)問題，利用方程的思想轉化為方程有解問題，配湊基本不等式，通過常值代換構造齊次式以及高等數(shù)學中的拉格朗日乘數(shù)法求最值。通過對引例及其變式的分析與解法探究，學生對于多元最值問題的題型應該會有更高的認知，在解題的方法上應該也會有深刻的感悟，相信今后能夠正確、優(yōu)選相關方法解決相關問題。

三、高三數(shù)學專題復習主線教學設計的教學感悟

高三復習不僅要關注知識網(wǎng)絡的建構，更要關注基本方法的建構和數(shù)學思想的滲透。高三數(shù)學專題主線教學設計不是相關知識題目的隨意組合，而是貫穿了數(shù)學知識、解題技巧及思想方法，是一個完整的系統(tǒng)。通過主題教學，讓學生把握知識的本質(zhì)、掌握解題的方法、感悟數(shù)學思想。在上述案例中，通過引例及變式，圍繞知識、方法、思想等主線展開，題目選擇一方面凸顯其整體性和統(tǒng)領性，突出其對重點知識和能力的要求，另一方面通過變式呈現(xiàn)出一定的層次性，由易到難、由基礎到綜合，通過挖掘知識與方法間的內(nèi)在聯(lián)系，歸納、整理、升華，形成知識網(wǎng)絡，真正實現(xiàn)“解一題、通一類、會一片”。對于多元最值問題的解題，可以運用函數(shù)與方程基本思想、化歸思想、數(shù)形結合思想，采用消元法（減法）、換元法（三角換元、整體換元）等基本方法，也可以采用配湊法（配湊基本不等式）、待定系數(shù)法、常值代換。

總之，在高三數(shù)學復習過程中，教師要認真研讀教材、研究考綱，從知識、技能、思想等方面設計教學，讓學生在復習過程中深刻理解數(shù)學知識的本質(zhì)，掌握核心解題技能和數(shù)學思想方法，真正實現(xiàn)減負增效，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的目的。

參考文獻：

[1] 教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2] 李寬珍.微專題教學方法的教學嘗試[J].數(shù)學通訊（教師），2017，（1）：21-25.

[3] 王耀.由兩道武漢市調(diào)研試題談幾種變換思想在解題中的應用[J].數(shù)學通訊（教師），2016，（4）：30-32.

責任編輯 黃 晶