【摘要】“倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”是高中數(shù)學(xué)課程標準的基本理念之一，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)觀的強烈要求.基于“正弦定理（第一課時）”教學(xué)片斷，作出反思：數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)目標和教學(xué)活動都要從素養(yǎng)的高度來進行，為素養(yǎng)而教，用學(xué)科育人，為學(xué)生的一生發(fā)展謀求最大利益.教育即生長，自然生長出的東西是最具有生命活力的；教學(xué)要探究，探究發(fā)現(xiàn)的歷程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要渠道.

【關(guān)鍵詞】正弦定理；教學(xué)片斷；核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，指出：“使學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，了解概念、結(jié)論等產(chǎn)生的背景、應(yīng)用，體會其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法，以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用.通過不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程.”

東北師范大學(xué)史寧中教授領(lǐng)銜的普通高中數(shù)學(xué)課程標準修訂組提出“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，指出：“學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出命題；能掌握推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識框架；形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強數(shù)學(xué)交流能力，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗.”

筆者認為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)觀是數(shù)學(xué)課程標準在“立德樹人”時代要求背景下的深入發(fā)展，是課程標準理念的“升級版”.因而，數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)目標和教學(xué)活動都要從素養(yǎng)的高度來進行，為素養(yǎng)而教，用學(xué)科育人，為學(xué)生的一生發(fā)展謀求最大利益.

既然數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是當下教育界最熱門的話題，我們就要積極地去認識、理解與實踐.那么在課堂教學(xué)中，要做哪些改變或創(chuàng)新，才能達到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)要求，實現(xiàn)課程標準倡導(dǎo)的探究發(fā)現(xiàn)、持續(xù)發(fā)展理念.抱著互助教研、反思提高的情懷，筆者近期開設(shè)了一節(jié)市級示范教學(xué)課，課題是人教版數(shù)學(xué)必修⑤111 正弦定理（第一課時）.目的呢，一是想通過思辨的教學(xué)行為實踐自己的教學(xué)設(shè)想與愿景，二是以原生態(tài)的教學(xué)過程為案例，提供一件本真的研究素材，為立足教材，著眼課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)拋磚引玉.

1教學(xué)片斷實錄

1.1創(chuàng)設(shè)情景，布疑激趣

圖1問題如圖1，船從港口B航行到港口C，測得BC的距離為600m，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒有測得距離，如果船上有測角儀，測得∠BAC=75°，∠ACB=45°，我們能否計算出A、B的距離？

效能分析用問題驅(qū)動課堂.從日常生活中的測量問題引入，激活學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲.數(shù)學(xué)是思維的體操，興趣是最好的老師.

1.2交流探究，解決問題

師：用數(shù)學(xué)的眼光看世界，“問題”抽象后即是怎樣的數(shù)學(xué)問題？

生1：（學(xué)生思考，回答）該問題即是：在△ABC中，已知兩角以及一角的對邊，求AB.

師：在三角形中，由已知的邊和角求未知的邊和角，我們學(xué)過哪些知識？

生2：（學(xué)生思考，回答）在初中，我們學(xué)過在等腰三角形、等邊三角形、直角三角形中求邊和角.

師：回答得很好.在等腰三角形和等邊三角形中，我們是通過作底邊上的高，把問題轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決的.解直角三角形，大家還記得嗎？

師生共同回憶解直角三角形：①在直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個角；②在直角三角形中，已知一邊和一個銳角，可以求另兩邊及第三個角.

圖2師：（引導(dǎo)，學(xué)生思考，交流.）“問題”中的△ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形知識計算AB呢？

生3：過點B作BD⊥AC于D，把△ABC分成兩個直角三角形，如圖2.（學(xué)生闡述解題過程，教師板書.）過點B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，BD=BC·sin45°=3002.

在Rt△ABD中，sin∠BAD=BDAB，

故AB=BDsin75°=3002×42+6=600（3-1）.

師：（對學(xué)生的精彩表現(xiàn)進行贊賞）現(xiàn)在我們反思一下：在解決問題的過程中，我們是通過作高，把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來處理的.看來直角三角形不僅是我們最熟悉的，同時也是很重要的.好，下面我們的探究之旅就從直角三角形開始.

效能分析直角三角形是一類特殊的三角形，學(xué)生非常熟悉.在直角三角形中解決了問題，學(xué)生深刻地體會到“轉(zhuǎn)化”的思想，享受到應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題后的喜悅.解直角三角形是學(xué)生知識的“最近發(fā)展區(qū)”，導(dǎo)入的“問題”是本節(jié)課教學(xué)的“先行組織者”.

1.3師生互動，得出猜想

如圖3，在Rt△ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，由直角三角形邊與角的關(guān)系得：

圖3sinA=ac，sinB=bc，

又sinC=1=cc，

則asinA=bsinB=csinC=c，

于是，在Rt△ABC中，

asinA=bsinB=csinC.

師：那么在任意三角形中，是否都有asinA=bsinB=csinC呢？

鏈接資源借助幾何畫板，演示隨著三角形任意的變換，asinA、bsinB、csinC值始終保持相等，如圖4.

生4：猜想：在任意△ABC中，asinA=bsinB=csinC.

效能分析引導(dǎo)學(xué)生把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形——“化斜為直”.在解決問題后，對特殊問題一般化，得出一個猜測性的結(jié)論——猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納推理意識，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)抽象能力.沒有猜想，就沒有發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造.圖41.4證明猜想，得到定理

師：以上我們通過探究，又借助幾何畫板的支持，得到猜想.猜想未必都是對的，其正確性必須要證明.如何證明asinA=bsinB=csinC呢？前面的探索過程對我們有沒有啟發(fā)？endprint

生5：（分組討論，思考得出）分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況來證明，采用“化斜為直”的辦法，把銳角三角形、鈍角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形.

（1）在Rt△ABC中，猜想成立.

（2）在銳角三角形中，如圖5，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，作AD⊥BC，垂足為D.

在Rt△ABD中，因為sinB=ADAB，所以AD=AB·sinB=c·sinB；

在Rt△ADC中，因為sinC=ADAC，所以AD=AC·sinC=b·sinC.

因而c·sinB=b·sinC.所以csinC=bsinB.

同理可得：asinA=csinC.故asinA=bsinB=csinC.

圖5圖6（3）在鈍角三角形中，如圖6，設(shè)∠C為鈍角，BC=a，CA=b，AB=c，作AD⊥BC ，交BC的延長線于點D.

同（2）可證，asinA=bsinB=csinC.

綜上所述，在任意△ABC中，都有asinA=bsinB=csinC.

師：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探究過程.在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即：asinA=bsinB=csinC，我們把這條性質(zhì)稱為正弦定理.要求學(xué)生用語言敘述定理，教師板書正弦定理，并強調(diào)關(guān)鍵詞“對角”.

效能分析學(xué)生經(jīng)歷證明猜想、演繹推理的過程.引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識論證猜想，力求讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗.學(xué)生自己進行探究，“用數(shù)學(xué)思維分析世界”、“用數(shù)學(xué)語言表達世界”，體會到數(shù)學(xué)推理的樂趣.探究發(fā)現(xiàn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要渠道.

圖7師：asinA、bsinB、csinC相等，設(shè)比值等于k，這個k是多少？有沒有什么特殊的幾何意義呢？

生6：在Rt△ABC中，asinA=bsinB=csinC=c，c恰為外接圓的直徑，即c=k=2R.類比聯(lián)想，作△ABC的外接圓，O為圓心，連接BO并延長交圓O于B′，連接AB′，如圖7.

則有∠B′AB=90°，∠B′=∠C.

在Rt△B′AB中，ABsinB′=BB′，

所以ABsinB′=ABsinC=BB′=2R，即csinc=2R.

同理可證：asinA=2R，bsinB=2R.

故asinA=bsinB=csinC=2R.

師：正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑！我們從幾何的視角出發(fā)，用“作高法”、“外接圓法”實現(xiàn)了“化斜為直”的目標，證明了正弦定理.那么，正弦定理還有其他的證法嗎？實際上，正弦定理的證法很多，同學(xué)們周末上網(wǎng)搜索一下，下載一些正弦定理證明的資料，加以整理，以“聚焦正弦定理的證明與應(yīng)用”為題，寫一篇數(shù)學(xué)小論文.

效能分析探究出運動變化中三角形邊角關(guān)系的不變性，抓住了正弦定理的本質(zhì)：變化的極致是不變（三角形外接圓直徑）.通過撰寫數(shù)學(xué)小論文，使學(xué)生學(xué)一點數(shù)學(xué)史，認識正弦定理產(chǎn)生的歷史，發(fā)展的現(xiàn)狀，以及在實際測量和幾何計算中的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的文化性，提高學(xué)生的科學(xué)品質(zhì)與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2教學(xué)反思感悟

《正弦定理（第一課時）》這節(jié)課，學(xué)生在教師的點撥和引導(dǎo)下，應(yīng)用“觀察——猜想——驗證——歸納——證明”的數(shù)學(xué)研究方法，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，經(jīng)歷了知識探索與形成的過程，感受到自主探究新知的艱辛與快樂，激發(fā)起濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.其次，以情境引入教學(xué)，用問題驅(qū)動課堂，促使學(xué)生去思考問題，去解決問題，去發(fā)現(xiàn)規(guī)律.讓學(xué)生在“活動”中學(xué)習(xí)，在“合作”中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗；在“探究”中創(chuàng)新，在“體驗”中形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

2.1教學(xué)要從“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，用好“先行組織者”

前蘇聯(lián)心理學(xué)家、社會文化歷史學(xué)派的創(chuàng)始人維果斯基提出“最近發(fā)展區(qū)理論”，指出兒童認知發(fā)展有兩種水平：實際的發(fā)展水平和潛在的發(fā)展水平，認為教學(xué)應(yīng)該走在發(fā)展的前面，引導(dǎo)發(fā)展.“先行組織者”是認知心理學(xué)的代表人物——美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾于1960年提出的一個教育心理學(xué)的重要概念.它是先于學(xué)習(xí)任務(wù)本身呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性材料，通常先用學(xué)生能懂的語言在介紹學(xué)習(xí)材料本身以前呈現(xiàn)出來，以便建立有意義學(xué)習(xí)的心向，構(gòu)建一個使新舊知識發(fā)生聯(lián)系的橋梁.

縱觀高中數(shù)學(xué)知識體系，直角三角形邊與角之間的三角函數(shù)關(guān)系是離“正弦定理”最近的上位知識，即是本節(jié)課的“最近發(fā)展區(qū)”.教學(xué)中，用“問題”導(dǎo)入課題，以“化斜為直”為策略，把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形加以解決.設(shè)計的導(dǎo)入“問題”是探究正弦定理的“先行組織者”，它溝通起正弦定理與解直角三角形之間的聯(lián)系，促進了知識的正向遷移，既提高了課堂教學(xué)的效益，又增加了學(xué)習(xí)過程的研究氣氛.

2.2合情推理孕育發(fā)明創(chuàng)造，演繹推理成就數(shù)學(xué)理性

法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace，1749—1827）曾經(jīng)說過：“即使在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比”.科學(xué)發(fā)展史告訴我們，在認識世界的過程中，人們需要通過觀察、實驗等獲取經(jīng)驗；也需要辨別它們的真?zhèn)?，或?qū)⒎e累的知識加工、整理，使之條理化、系統(tǒng)化.合情推理和演繹推理分別在這兩個環(huán)節(jié)中扮演著重要角色.就數(shù)學(xué)而言，演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過程，但數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路等的發(fā)現(xiàn)，主要靠合情推理.因此，我們不僅要學(xué)會證明，也要學(xué)會猜想.

反思我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，重演繹推理輕視合情推理的做法業(yè)已根深蒂固，導(dǎo)致學(xué)生只能按照較固定的套路（或模式）解決問題，而不能深入到事物的內(nèi)在，通過觀察歸納、類比聯(lián)想去發(fā)現(xiàn)新的問題，更不能提出具有挑戰(zhàn)性的問題.“錢學(xué)森之問”振聾發(fā)聵，令人深思！

需要提出的是，演繹推理也即邏輯推理，它與合情推理共同構(gòu)成數(shù)學(xué)推理的內(nèi)涵，所以，筆者認為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“六核”之一的“邏輯推理”，應(yīng)調(diào)整為“數(shù)學(xué)推理”為好.

促進學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，學(xué)會數(shù)學(xué)推理，是提高學(xué)生能力、發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的重要前提，是高中數(shù)學(xué)課程改革的主要任務(wù)，我們要為此而努力.

2.3探究發(fā)現(xiàn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要渠道

“倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式”是高中數(shù)學(xué)課程標準的基本理念之一，也是使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)中落地生根的有效方法和強力支撐，沒有學(xué)生主動參與的學(xué)習(xí)，想形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)就只能是一廂情愿.

環(huán)顧當前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，筆者認為有很多不足之處：為探究而探究，為表演而探究；低效探究，假探究，偽探究等現(xiàn)象屢見不鮮.探究什么、何時探究、怎樣探究，特別是如何引導(dǎo)學(xué)生自然地實施與調(diào)整探究過程并沒有很好地解決，導(dǎo)致數(shù)學(xué)課堂探究環(huán)節(jié)往往場面很“熱鬧”，學(xué)生活動很“積極”，探究結(jié)果時?！疤貏e令人滿意”.這樣的探究活動，學(xué)生得到的只能是問題解決的直接結(jié)果，獲得的僅僅是被動的操作技能，而失去的是寶貴的活動經(jīng)驗、靈動的推理方式、數(shù)學(xué)的理性精神以及科學(xué)研究的方法，失去了適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展所需要的必備品格與關(guān)鍵能力.

正弦定理教學(xué)過程中，學(xué)生始終處在探索研究的狀態(tài)，用數(shù)學(xué)眼光分析問題，以數(shù)學(xué)家的思想去解決問題.數(shù)學(xué)的理性精神得到錘煉，數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運算能力得到進一步培養(yǎng)，積累了科學(xué)研究的經(jīng)驗和方法，這會使學(xué)生終身受益.

教育即生長，自然生長出的東西是最具有生命活力的；教學(xué)要探究，探究發(fā)現(xiàn)的歷程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要渠道.

作者簡介胡浩（1968—），男，安徽蕪湖人.中國數(shù)學(xué)會會員，教育部中西部地區(qū)骨干教師培訓(xùn)班學(xué)員，中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，地市級學(xué)科帶頭人.主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和解題教學(xué)研究，數(shù)十篇論文在省級及以上學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表.endprint