鄒生書

2017年高考上海數(shù)學卷第12題是一道能力型試題，題目背景深厚設(shè)問精巧，重點考查數(shù)學語言的閱讀理解能力、化歸轉(zhuǎn)化能力以及分析問題和解決問題的能力.下面是筆者對這道試題的解法、背景和問題拓展探究的思維歷程，希望對讀者有所裨益.

題目如圖1，用35個單位正方形拼成一個矩形，點P1，P2，P3，P4 以及四個標記為“Δ ”的點在正方形頂點處，設(shè)集合Ω={P1，P2，P3，P4}，點P∈Ω，過P作直線lP，使得不在lP上的“Δ ”上的點分布在lP的兩側(cè).用D1（lP），D2（lP）分別表示lP一側(cè)和另一側(cè)的“Δ ”上的點到lP的距離之和.若過P的直線lP中有且只有一條滿足D1（lP）=D2（lP），則Ω中所有滿足這樣的點P為.

圖11坐標法，幾何問題代數(shù)化

分析本題表達較長，數(shù)與形結(jié)合，抽象符號與文字語言相融，對閱讀理解能力、化歸轉(zhuǎn)化能力以及分析問題和解決問題能力的要求較高，是一道能力立意壓軸的試題.

解決問題的突破口在哪里？由點到直線的距離之和及正方形網(wǎng)格等信息，容易想到用坐標法求解.坐標法關(guān)鍵是建立合適的坐標系，由題設(shè)網(wǎng)格知關(guān)鍵是選擇坐標原點的位置.本題宜用一般化思想處理，以四點中某個點P為坐標原點建立直角坐標系，解法如下.

解法1以點P為坐標原點，以經(jīng)過點P的單位正方形的邊所在直線分別為坐標軸建立平面直角坐標系.

當直線lP垂直x軸時，經(jīng)檢驗知當且僅當點P與P2重合時滿足D1（lP）=D2（lP）.

當直線lP不垂直于x軸時斜率存在，設(shè)其方程為y=kx，設(shè)直線lP兩側(cè)分別有m個點（xi，yi）（i=1，2，…，m）和n個點（aj，bj）（j=1，2，…，n），且m+n=4.依題意得

kx1-y11+k2+…+kxm-ym1+k2=ka1-b11+k2+…+kan-bn1+k2.

至此，通過坐標法由點到直線距離公式將抽象的距離等式D1（lP）=D2（lP）變成了代數(shù)等式，去分母得kx1-y1+…+kxm-ym=ka1-b1+…+kan-bn.

接下來的問題就是怎樣去掉絕對值符號？因為點（xi，yi）和點（aj，bj）在直線y=kx兩側(cè)，由線性規(guī)劃的知識我們知道kxi-yi與kaj-bj異號，于是有

（kx1-y1）+…+（kxm-ym）+（ka1-b1）+…+（kan-bn）=0，

整理得k（x1+…+xm+a1+…+an）=y1+…+ym+b1+…+bn①.

這個等式如何使用？能給我們帶來什么？似乎山窮水盡疑無路.這個等式是關(guān)于k的方程，因為過點P的直線lP中有且只有一條滿足D1（lP）=D2（lP），所以這個關(guān)于k的方程有唯一解，當且僅當x1+…+xm+a1+…+an≠0，即四個標記為“Δ ”的點的橫坐標之和不為零.至此，云散霧盡，柳暗花明.經(jīng)檢驗知當且僅當點P與點P2重合時橫坐標之和為零不合題意.

綜上可知Ω中所有滿足這樣的點P有三個它們是P1，P3，P4.

2探索幾何背景，尋求幾何解法

從上述解析法所得到結(jié)論入手探索幾何背景.由解法1知，當點P與點P2重合時x1+…+xm+a1+…+an=0，即橫坐標之和為零，由①得y1+…+ym+b1+…+bn=0，即縱坐標之和也為零，故點P2是這四個“Δ ”的點幾何重心，從這道高考題的結(jié)果可知經(jīng)過重心P2的任意一條直線lP均滿足D1（lP）=D2（lP），于是有如下幾何解法.

解法2（幾何法）如圖2，設(shè)四個標記為“Δ ”的點構(gòu)成四邊形ABCD，設(shè)邊AB，BC，CD，DA的中點分別為E，F(xiàn)，G，H.易證四邊形EFGH為平行四邊形，設(shè)其對角線交點為O.設(shè)l是經(jīng)過點O的任意一條直線，則分布在l兩側(cè)且不在l上的點A，B，C，D與l的位置關(guān)系有如下兩種情形：兩側(cè)各兩點，一側(cè)一個點另一側(cè)三個點.

圖2（1）當A，B，C，D在直線l兩側(cè)各有兩點時，不妨設(shè)兩側(cè)的兩個點分別為A，B和C，D.如圖3，由梯形中位線定理易證同側(cè)A，B兩點到直線l的距離之和等于AB中點E到線l的距離的兩倍，記為hA+hB=2hE，同理hC+hD=2hG，又O為EG中點，則hE=hG，所以hA+hB=hC+hD.

圖3（2）當A，B，C，D在直線l一側(cè)一個點另一側(cè)三個點時，不妨設(shè)一側(cè)的三個點分別為A，B，D.如圖4，不妨設(shè)CD的中點G與點C在直線l同側(cè)，過點D作l′∥l，由三角形中位線定理得C點到直線l′的距離等于CD中點G到直線l′的距離的兩倍，即h′C=2h′G，又由圖知h′C=hC+hD，h′G=hG+hD，于是有hC+hD=2（hG+hD），即hC-hD=2hG.又O為EG中點，所以hE=hG，則hA+hB=hC-hD，即hA+hB+hD=hC.

綜上可知，A，B，C，D分布在l兩側(cè)上的點到l的距離之和相等.

圖4由圖2易證點P2就是點O，故過點P2滿足D1（lP）=D2（lP）的直線有無數(shù)條，而經(jīng)過點O和P1，P3，P4中任一點的直線滿足D1（lP）=D2（lP）且唯一，故Ω中所有滿足這樣的點P為P1，P3，P4.

3數(shù)理結(jié)合，推廣拓展

重心是物理學中的概念，圖形的重心是幾何概念，兩者之間既有區(qū)別也有聯(lián)系，質(zhì)量均勻物體的物理重心就是它的幾何重心.可見物理重心是幾何重心的實際背景.下面用物理重心的有關(guān)概念和杠桿原理證明三角形重心定理和平面四邊形重心定理.

3.1三角形重心定理

三角形三條中線相交于一點，這一點叫做三角形的重心，重心到各頂點的距離是它到對邊中點距離的兩倍.

證明設(shè)A，B，C是質(zhì)量均為1的三個質(zhì)點，由物理重心知識知B，C兩質(zhì)點的重心就是線段BC的中點D，也就是說B，C兩個質(zhì)點在力的效果上相當于質(zhì)量為2的質(zhì)點D.于是A，B，C三個質(zhì)點的重心G就是質(zhì)點A，D的重心，所以點G在線段AD上，由杠桿原理得AG=2DG.同理重心G也在中線BE和CF上，且有BG=2GE，CG=2GF.故原命題正確.endprint

3.2四邊形重心定理

平面內(nèi)任意四邊形各邊中點構(gòu)成一個平行四邊形，并且平行四邊形的中心就是這個四邊形的重心.

證明設(shè)四邊形的頂點A，B，C，D是質(zhì)量均為1的質(zhì)點，由物理重心知識知A，B兩質(zhì)點的重心就是線段AB的中點E，也就是說A，B兩個質(zhì)點在力的作用效果上相當于質(zhì)量為2的質(zhì)點E.C，D兩質(zhì)點的重心就是線段CD的中點G，也就是說C，D兩個質(zhì)點在力的作用效果上相當于質(zhì)量為2的質(zhì)點G.于是質(zhì)點A，B，C，D的重心O就是質(zhì)量均為2的質(zhì)點E，G的重心，也就是線段EG的中點.同理，設(shè)線段BC，DA的中點分別為F，H，則質(zhì)點A，B，C，D的重心O也是FH的中點，由此知線段EG，F(xiàn)H互相平分，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故命題結(jié)論正確.

另一方面，我們知道，在坐標平面內(nèi)，三角形重心的橫坐標和縱坐標分別是三個頂點橫坐標和縱坐標的算術(shù)平均數(shù).線段的中點實際上就是這條線段的重心，而線段的中點的橫坐標和縱坐標分別是兩端點橫坐標和縱坐標的算術(shù)平均數(shù).由此我們猜想：坐標平面內(nèi)有限個點集的重心的橫坐標和縱坐標分別是這些點的橫坐標和縱坐標的算術(shù)平均數(shù).

下面證明平面內(nèi)質(zhì)量均勻的有限個質(zhì)點的重心坐標公式.

3.3定理

若Pi（xi，yi）（i=1，2，…，n，n≥2）是坐標平面內(nèi)質(zhì)量為1個質(zhì)量單位的n個質(zhì)點，則這n個質(zhì)點的重心是（1n∑ni=1xi，1n∑ni=1yi）.

證明（用數(shù)學歸納法）（1）當n=2時，質(zhì)量均為1個質(zhì)量單位的質(zhì)點P1，P2的重心就是線段P1P2的中點（x1+x22，y1+y22），結(jié)論正確.

（2）假設(shè)當n=k（k≥2）時結(jié)論正確.則平面內(nèi)質(zhì)量均為1個質(zhì)量單位的k個質(zhì)點P1，P2，…，Pk的重心為G′（1k∑ki=1xi，1k∑ki=1yi）.當n=k+1時，這k+1個質(zhì)量均為1個質(zhì)量單位的質(zhì)點的重心，可以當作是質(zhì)量為k個單位質(zhì)量的質(zhì)點G′與質(zhì)量為1個質(zhì)量單位的質(zhì)點Pk+1的重心G.由重心概念和杠桿原理知，點G在線段G′Pk+1上且滿足Pk+1G=k·GG′，則Pk+1G=k·GG′，所以O(shè)G-OPk+1=k（OG′-OG），可得

OG=OPk+1+kOG′1+k

=（xk+1，yk+1）+k（1k∑ki=1xi，1k∑ki=1yi）1+k

=（1k+1∑k+1i=1xi，1k+1∑k+1i=1yi），

即點G的坐標為（1k+1∑k+1i=1xi，1k+1∑k+1i=1yi），故當n=k+1時，結(jié)論正確.

綜上可知，命題成立.

上述質(zhì)量均勻的質(zhì)點的重心坐標公式實際上就是平面內(nèi)有限點集重心坐標定義的物理背景.將上海這道考題進行拓展推廣可得平面內(nèi)有限點集的重心有如下性質(zhì).

3.4平面有限點集重心的性質(zhì)

若Pi（xi，yi）（i=1，2，…，n）是坐標平面內(nèi)的n個點，則點G（1n∑ni=1xi，1n∑ni=1yi）叫做這n個點的幾何重心簡稱重心.若點G是點集{P1，P2，…，Pn}的重心，則（1）GP1+GP2+…+GPn=0；（2）設(shè)l是經(jīng)過點G的任意一條直線，則在直線l兩側(cè)上的點到l的距離之和相等.

證明（1）GP1+GP2+…+GPn=（OP1-OG）+（OP2-OG）+…+（OPn-OG）=（OP1+OP2+…+OPn）-nOG=（x1，y1）+（x2，y2）+…+（xn，yn）-n（1n∑ni=1xi，1n∑ni=1yi）=（x1+x2+…+xn，y1+y2+…+yn）-（∑ni=1xi，∑ni=1yi）=（0，0）=0.

（2）以重心G為坐標原點建立平面直角坐標系G-xy，設(shè)過點G的直線l的一般式方程為ax+by=0，其中a，b為常數(shù)且不同時為零.顯然，若點（x，y）在直線l上則ax+by=0.由線性規(guī)劃的知識知，若點（x1，y1）與點（x2，y2）分別在直線l兩側(cè)，則ax1+by1與ax2+by2異號.設(shè)在這n個點中使得ax+by≥0的點有m個點（xi，yi）（i=1，2，…，m），那么這m個點在直線l的同一側(cè)上或在這條直線上，使得ax+by<0的點有p個點（aj，bj）（j=1，2，…，p），那么這p個點在直線l的另一側(cè)上，且滿足m+p=n.

依題意只要證ax1+by1a2+b2+…+axm+byma2+b2=aa1+bb1a2+b2+…+aap+bbpa2+b2，只要證ax1+by1+…+axm+bym=aa1+bb1+…+aap+bbp，又axi+byi≥0，aaj-bbj<0，

所以只要證（ax1+by1）+…+（axm+bym）+（aa1+bb1）+…+（aap+bbp）=0，只要證a（x1+…+xm+a1…+ap）+b（y1+…+ym+b1…+bp）=0.因為原點G是這m+p=n個點的重心，所以1n（x1+…+xm+a1…+ap）=0，1n（y1+…+ym+b1…+bp）=0，于是a（x1+…+xm+a1…+ap）+b（y1+…+ym+b1…+bp）=0成立，從而原命題正確.endprint