胡健賓

在新課程改革的背景下，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探究能力，越來越受到人們的關(guān)注，探究是數(shù)學(xué)的生命線，而探究的前提則是需要提供開放的思維空間，為了激發(fā)學(xué)生的探究能力，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，我設(shè)計(jì)了一堂開放式的探索課。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)的背景與思路

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是近幾年高考的熱點(diǎn)，一方面，圓錐曲線的多樣性及解題方法的靈活性，為學(xué)生多層次、多角度、多方位探索問題提供了開闊的思維空間；另一方面，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中，相切是一種特殊并且非常重要的位置關(guān)系，在各種級(jí)別的考題中，常常出現(xiàn)切線的身影，因此，筆者以教材上的一道習(xí)題為例來研究橢圓的切線，和學(xué)生一起從定義、判定、方程、性質(zhì)等四個(gè)方面對(duì)橢圓的切線進(jìn)行一些探究。

二、課堂教學(xué)實(shí)錄節(jié)選

基本素材：高中數(shù)學(xué)教材選修2-1第49頁第7題

教師PPT演示：如圖1，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)。線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

教師：當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？

學(xué)生：通過運(yùn)算，容易得出，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A兩點(diǎn)為焦點(diǎn)，r為長軸長的橢圓。

教師：直線l和橢圓有怎樣的位置關(guān)系呢？這條特殊的直線怎樣求呢？這條直線有什么性質(zhì)呢？

我在幾何畫板里展示圖象（如圖2所示），并把運(yùn)動(dòng)軌跡展示出來，讓同學(xué)們共同來發(fā)現(xiàn)、探索。

學(xué)生討論得熱情高漲，提出了很多觀點(diǎn)，我總結(jié)了幾個(gè)觀點(diǎn)，讓學(xué)生共同探索。

設(shè)計(jì)意圖：實(shí)時(shí)與學(xué)生交流，挖掘深度思維，通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)展示，激發(fā)學(xué)生探究的熱情。

教師板書：探索一：設(shè)F1、F2分別是橢圓（雙曲線）C的左右焦點(diǎn)，作F2關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F3，連F1F3，若F1F3=2a（2a是橢圓的長軸長），則直線l是不是橢圓C的切線？

探索三：自橢圓的兩焦點(diǎn)向橢圓的任一切線所引的兩條垂線段，這兩條垂線段長的積是否為定值？

我在黑板展示了圖和三個(gè)探索，然后把全班分為6個(gè)小組，讓他們思考、作答、交流、討論、互評(píng)。頓時(shí)，各個(gè)小組討論的場面非常熱烈，研究的氛圍特別好。我巡視，參與到學(xué)生的研究中，對(duì)遇到困難的組進(jìn)行點(diǎn)撥和幫助。然后，由小組組長用實(shí)物投影儀展示小組研究成果，進(jìn)行闡述和答辯。

設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)建小組合作學(xué)習(xí)平臺(tái)，激發(fā)學(xué)生質(zhì)疑、討論、合作、交流，共同提高。

第1小組的組長在黑板展示了探索一如下：

所以l是橢圓C的切線。

教師：說說你的思路？

學(xué)生1：解析幾何的思維特征是，用代數(shù)的方法研究幾何問題，這里主要是運(yùn)用了代數(shù)運(yùn)算，聯(lián)立方程，利用Δ=0，方程有唯一根，也就是直線與曲線有唯一交點(diǎn)，就可以證明直線是橢圓的切線。

教師：講得非常好。

同學(xué)們用熱烈的掌聲表示非常的贊同。

教師：這證明是否全面了？

很快，第2小組的組長提出了補(bǔ)充。

學(xué)生2：第1小組的組長只是說了，當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)的情況，但是，當(dāng)l與x軸垂直的情況沒有討論，其方程為x=-a和x=a，顯然與橢圓相切。

教師：講得非常好。大家掌聲表揚(yáng)。

第3小組的組長在黑板展示了探索二如下：

教師：講講你的思路？

學(xué)生5：這里主要是運(yùn)用了橢圓的參數(shù)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，然后把兩個(gè)距離乘起來，通過三角變換，最后得出最值。

教師：講得非常好，大家掌聲表揚(yáng)。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的闡述和答辯，讓他們感到有歸屬感、成就感，培養(yǎng)了學(xué)生的合作精神和集體榮譽(yù)感，通過追問，激發(fā)學(xué)生思維的深度和廣度。

然后我在黑板上展示一個(gè)高考模擬題目，讓學(xué)生在課后思考。

練習(xí)：如圖3，圓C：（x+2）2+y2=36，P是圓C上的任意一動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），線段PA的垂直平分線l與半徑CP交于點(diǎn)Q，

（1）求點(diǎn)Q的軌跡G的方程；

（2）已知B、D是軌跡G上不同的兩個(gè)任意點(diǎn)，M為BD的中點(diǎn)。①若M的坐標(biāo)為M（2，1），求直線BD所在的直線方程；②若BD不經(jīng)過原點(diǎn)，且不垂直于x軸，點(diǎn)O為軌跡G的中心，求證：直線BD和直線OM的斜率之積是常數(shù)（定值）。

設(shè)計(jì)意圖：讓同學(xué)們?cè)谡n后思考，讓所學(xué)的知識(shí)得到升華。

三、教學(xué)反思

1.巧設(shè)疑問，激發(fā)興趣

通過本節(jié)課的教學(xué)實(shí)例來看，在對(duì)橢圓切線的探索中，學(xué)生對(duì)橢圓的切線印象深刻，課堂氣氛活躍，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也大大提高。根據(jù)教材習(xí)題特點(diǎn)和學(xué)情狀況，巧設(shè)疑問，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，課堂交流學(xué)習(xí)成果的方法效果很好，讓學(xué)生通過觀察、思考、分析、總結(jié)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的生成，拓寬并且深化學(xué)生的思維。

2.合作交流，激發(fā)思維

在自主探究時(shí)，學(xué)生分組討論過程中，我參與小組討論，對(duì)有能力的小組，在探究出一種方法后，可鼓勵(lì)其完成更多的方法探究，對(duì)于能力較弱的小組，可給予適當(dāng)?shù)奶崾?，使學(xué)生都能動(dòng)起來，在課堂上都有所收獲，增強(qiáng)學(xué)生自信。通過在教師指導(dǎo)下學(xué)生的合作交流，師生問題交流，促成教與學(xué)的交互生成，從而培養(yǎng)了學(xué)生的思考力、交流合作精神，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生能力的發(fā)展。

3.小組合作，多樣評(píng)價(jià)

高中數(shù)學(xué)課程為學(xué)生提供了選擇和發(fā)展的空間，為學(xué)生提供了多層次、多種類的選擇，以促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展和對(duì)未來人生規(guī)劃的思考。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接收、記憶、模仿和練習(xí)，更要自主探索、小組合作交流學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。在本節(jié)課中，評(píng)價(jià)主體學(xué)生的自評(píng)、互評(píng)，加強(qiáng)了交流，啟發(fā)了對(duì)問題的思考，加深了對(duì)問題的理解，有利于教與學(xué)的生成以及學(xué)生的個(gè)性發(fā)展和能力的培養(yǎng)。這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程。

參考文獻(xiàn)：

朱海燕.注重細(xì)節(jié)，提升學(xué)生的探究能力[J].數(shù)學(xué)大世界（下旬），2016（11）.

編輯 張珍珍endprint