李坤

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)教學(xué)和解題方面具有重要作用.其中，分類討論思想方法是學(xué)生必須掌握的思想方法，能夠?qū)?fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、抽象的問題形象化、分而治之，從而達(dá)到解決問題的目的.但是，對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)資料的分析和研究，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)分類討論思想的相關(guān)文獻(xiàn)主要集中于解題方面的研究，在教學(xué)方面的研究相對(duì)薄弱.因此，對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，分類討論思想在教學(xué)方面的運(yùn)用缺乏一定的理論基礎(chǔ)，教師可以借鑒的經(jīng)驗(yàn)十分有限，導(dǎo)致分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的落實(shí)不夠到位.

【關(guān)鍵詞】分類討論思想；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)策略

弗賴登塔爾認(rèn)為：“對(duì)人類思維訓(xùn)練有重要影響的是數(shù)學(xué)思想方法而非具體的數(shù)學(xué)知識(shí).”這就說明數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于在數(shù)學(xué)方面的研究以及學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要作用.在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)教學(xué)有兩條線，一條是明線，即數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)；一條是暗線，即數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).數(shù)學(xué)思想方法凌駕于數(shù)學(xué)知識(shí)之上，是從具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)規(guī)律的本質(zhì)認(rèn)識(shí).對(duì)于發(fā)散學(xué)生思維，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力具有核心作用.

分類討論思想因其具有實(shí)用的教學(xué)價(jià)值和高效的解題功能，所以受到了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育工作者的共同認(rèn)可.然而在實(shí)際的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)分類討論思想方法落實(shí)的并不是很到位，主要表現(xiàn)為對(duì)分類討論思想方法的認(rèn)知存在障礙、學(xué)生不懂得如何分類等等.在課堂教學(xué)中，一些教師對(duì)于分類討論思想方法不會(huì)去詳細(xì)講解分類思路，導(dǎo)致學(xué)生無法舉一反三.對(duì)于分類討論思想方法在我國(guó)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的很多問題，本文將針對(duì)這些問題展開具體的研究，使得這一思想在高中數(shù)學(xué)中得到充分的運(yùn)用.

一、分類討論思想

（一）分類討論概念

分類討論既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種邏輯方法.它既存在于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，同時(shí)也存在于其他學(xué)科及日常生活中.在我國(guó)，有許多的數(shù)學(xué)教育工作者都曾經(jīng)用分類討論思想解決過數(shù)學(xué)難題.同時(shí)，對(duì)于分類討論思想的含義、本質(zhì)等也提出了不同的觀點(diǎn).筆者認(rèn)為高中數(shù)學(xué)中分類討論指的是：當(dāng)所研究的數(shù)學(xué)對(duì)象具有引起分類的原因，需要根據(jù)對(duì)象的本質(zhì)特征，采用“總—分—總”的研究模式，將問題劃分為若干部分，然后對(duì)每一部分進(jìn)行研究解決，最后將分類所得結(jié)果進(jìn)行整合，從而達(dá)到解決問題的目的.

（二）分類討論的原則

分類意識(shí)是分類討論思想的核心，如何分類決定了問題后來的解決難度和完整性.張小芳發(fā)表的《淺談數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)如何進(jìn)行分類討論》中指出分類討論思想應(yīng)遵循：（1）不重復(fù)原則.所分的各類之間不能有交叉重疊的現(xiàn)象，各類之間應(yīng)該是互斥的；（2）不遺漏原則.分類過程必須確保每一個(gè)對(duì)象都有歸屬，做到完整無遺漏；（3）同標(biāo)準(zhǔn)原則.每一層采用的分類標(biāo)準(zhǔn)必須是統(tǒng)一的.

二、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用分類討論思想的教學(xué)案例

高中數(shù)學(xué)中有許多的定理、公式、法則、習(xí)題等都需要運(yùn)用分類討論思想，可以說，分類討論思想貫穿于高中數(shù)學(xué)教材的各個(gè)章節(jié)，沒有統(tǒng)一論述.學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生分類討論意識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到很多問題只有經(jīng)過分類討論后，所得到的結(jié)論才是正確的、完整的.并且強(qiáng)調(diào)通過分類討論，可以使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題形象化.

本文以高中數(shù)學(xué)“分段函數(shù)”內(nèi)容為例，研究分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何得到合理的運(yùn)用以及如何高效地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.在這之前，已經(jīng)有許多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中進(jìn)行了卓有成效的教學(xué)實(shí)踐，我將借助于一些現(xiàn)有的實(shí)踐資料，結(jié)合個(gè)人的觀點(diǎn)和體會(huì)，進(jìn)行探究和分析.

分段函數(shù)教學(xué)案例

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

引例：某市出租車計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：5 km以內(nèi)8元（包含5 km），超過5 km且不超過15 km的部分1.5元/km，超過15 km的部分2元/km，問：

（1）某人乘車行駛了9 km，他需要支付多少車費(fèi)？

（2）建立車費(fèi)與行車?yán)锍讨g的函數(shù)關(guān)系式.

（3）如果某人付費(fèi)35元，他乘車乘了多少km？

[設(shè)計(jì)意圖]從學(xué)生感興趣的日常生活實(shí)際問題出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生求知欲，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入分段函數(shù)的研究.在這一過程中，建立解析式是教學(xué)難點(diǎn)，需要教師仔細(xì)為學(xué)生分析知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過程.

2.實(shí)踐研究，形成概念

（1）作出函數(shù)y=3x+2，x∈R的圖像；

（2）作出函數(shù)y=3x+2，x∈（2，+∞）的圖像.

歸納：

① 定義：在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)叫作分段函數(shù).

② 對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)分段函數(shù)來說，在不同自變量的取值范圍內(nèi)其對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，但分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù).

③ 定義域：分段函數(shù)定義域?yàn)楦鞫味x域的并集.

④ 值域：分段函數(shù)值域?yàn)楦鞫魏瘮?shù)值的并集.

[設(shè)計(jì)意圖]根據(jù)圖像建立分段函數(shù)的概念，使學(xué)生明確分段函數(shù)存在的實(shí)際意義.通過對(duì)分段函數(shù)概念的分析，讓學(xué)生體會(huì)到分類討論思想在解決分段函數(shù)問題中發(fā)揮著重要作用.

3.實(shí)際應(yīng)用，深化概念

例已知函數(shù)f（x）=x2，x>0，0，x=0，x，x<0.

（1）畫出函數(shù)的圖像；

（2）根據(jù)已知條件分別求f（1），f（-2），f[f（-2）]，f{f[f（-2）]}的值.

變式已知函數(shù)f（x）=x，x≤0，x2-4x，04.

（1）畫出函數(shù)的圖像；

（2）求f{f[f（6）]}的值.

[設(shè)計(jì)意圖]分段函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是借助于幾個(gè)不同的表達(dá)式來表示的，處理分段函數(shù)的問題時(shí)，運(yùn)用分類討論思想，首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個(gè)區(qū)間，從而確定相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)于分段函數(shù)，各個(gè)分段的“端點(diǎn)”是學(xué)生容易犯錯(cuò)的地方.

4.課堂小結(jié)，總結(jié)回顧

（1）充分理解分段函數(shù)的概念以及解析表示形式；

（2）仔細(xì)思考在處理分段函數(shù)問題中所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法.

（3）加強(qiáng)對(duì)分段函數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)：

① 理解：對(duì)于定義，要理解其內(nèi)涵和外延，抓住概念的本質(zhì)特征，學(xué)會(huì)運(yùn)用概念解決問題；

② 明確：對(duì)于一個(gè)分段函數(shù)而言，對(duì)應(yīng)法則由幾個(gè)解析式來表示；函數(shù)的圖像既可以是平滑的曲線，也可以是一些點(diǎn)或線段；

③ 注意：分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

[設(shè)計(jì)意圖]總結(jié)回顧可以教會(huì)學(xué)生養(yǎng)成勤于思考，善于合作的學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時(shí)可以發(fā)散學(xué)生思維，構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識(shí)框架.

5.課后作業(yè)，反饋成效

必做題：教材習(xí)題P24第7題，P25第1題.

[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生能夠熟練運(yùn)用分類討論思想解決分段函數(shù)問題，對(duì)新知識(shí)、方法有一個(gè)了解和運(yùn)用的過程.

三、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題及解決策略

（一）分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題

1.教師方面的原因

（1）對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知不夠透徹，無法把握其本質(zhì).

目前存在很多數(shù)學(xué)教師專業(yè)性不強(qiáng)，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知存在缺陷等問題.以至于無法運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行教學(xué).而對(duì)于分類討論這一思想，有些教師只是更多的關(guān)注在解題方面的作用，而對(duì)于在教學(xué)方面的運(yùn)用認(rèn)識(shí)不夠全面，這也是新教師和老教師的區(qū)別.新教師過分偏重解題方法和技巧，老教師則善于將數(shù)學(xué)思想方法融入課堂教學(xué)內(nèi).

（2）對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視程度不夠，片面注重知識(shí)傳授.

“傳道”“授業(yè)”“解惑”作為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想在長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐中已經(jīng)根深蒂固，以至于一些教師尤其是新教師在教學(xué)過程中只注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生在能完全記憶書本的定義、性質(zhì)、公理、定理、公式以后，仍然對(duì)綜合性較強(qiáng)的題目無從下手，找不到突破口.學(xué)生不會(huì)分析題干信息，對(duì)解答出來的題目也不會(huì)去反思是如何做出來的，是用什么數(shù)學(xué)思想方法處理的.所以，很多學(xué)生搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，但是仍然對(duì)許多做過的題目再見到時(shí)感到陌生，這就是教師在教學(xué)過程中忽略數(shù)學(xué)思想方法的后果.所以說，對(duì)教學(xué)而言，打造高效課堂的關(guān)鍵往往是新在其思路，精在其思想，而不能只注重知識(shí)的傳授.

2.學(xué)生方面的原因.

（1）遇到具體問題不知該如何分類.

分類討論的關(guān)鍵在于分類，分類是否合理決定了問題解決的正確性和完整性.而如何分類需要學(xué)生根據(jù)具體問題做出相應(yīng)的判斷.許多學(xué)生在遇到分類討論題目時(shí)，思維就出現(xiàn)混亂，導(dǎo)致分類不合理.

（2）忽略分類討論的原則.

我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生在做分類討論題目時(shí)，所得出的結(jié)果與正確結(jié)果非常相近，產(chǎn)生這些問題，究其原因是因?yàn)樵谟懻撨^程中，忽略分類討論的原則，沒有深入挖掘其中的關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn).

（二）針對(duì)分類討論思想在教學(xué)中出現(xiàn)的問題提出解決策略

1.教師應(yīng)全面了解數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法包括分類討論思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等等，每一種思想都有其各自的特點(diǎn)和作用，教師需要對(duì)各種數(shù)學(xué)思想方法有一個(gè)全面的了解，抓住其本質(zhì)，挖掘其內(nèi)涵，掌握其用法，從而提升自己運(yùn)用思想方法教學(xué)的能力.

2.教師要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要性

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體的邏輯方法.在教學(xué)過程中，教師只講概念、定理、公式、性質(zhì)而不注重運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，將不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，其水平也只是停留在一個(gè)初級(jí)階段，并且學(xué)生在這一學(xué)習(xí)過程中只接收到表層知識(shí)，而沒有對(duì)數(shù)學(xué)思想方法這一深層知識(shí)有所感悟，無法使思維產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，導(dǎo)致學(xué)生的成績(jī)一直無法拔尖.

3.教師要善于在學(xué)習(xí)過程中滲透數(shù)學(xué)思想

許多教師在教學(xué)中都體會(huì)到，實(shí)踐解題能使學(xué)生得到有效提升.因此，滲透數(shù)學(xué)思想方法最主要的途徑是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中.這就要求教師在用分類討論思想方法教學(xué)時(shí)，要選擇合適的教學(xué)時(shí)機(jī)，巧妙地設(shè)計(jì)一些數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生探究，多為學(xué)生提供一些解答問題的機(jī)會(huì)，教會(huì)他們總結(jié)和反思解決問題的方法和策略，從而不斷提高自身運(yùn)用分類討論思想解決問題的能力，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵.

4.教師要引導(dǎo)學(xué)生如何運(yùn)用好分類討論思想

對(duì)于許多數(shù)學(xué)問題，學(xué)生盡管知道需要用分類討論思想解決，但是并不清楚分類的原因以及分類過程中容易出錯(cuò)的地方，這就要求我們的教師細(xì)心地引導(dǎo)學(xué)生弄清楚分類的原因，如何合理的分類，分類是否全面以及在討論過程中應(yīng)注意的問題等.

四、結(jié)束語

分類討論思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想，全面掌握和運(yùn)用分類討論思想可以使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化、抽象的問題具體化.有助于學(xué)生獲取知識(shí)，養(yǎng)成良好的歸納整理的習(xí)慣，處理問題具有條理性.同時(shí)對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)也有很大幫助.希望本文的解決策略能夠引起教師們的關(guān)注，繼而達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果.

【參考文獻(xiàn)】

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