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        解析高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃類型及求解策略

        2018-01-07 01:20:44胡支云
        關(guān)鍵詞:求解線性規(guī)劃高中數(shù)學(xué)

        胡支云

        【摘要】線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)中較為基礎(chǔ)的知識點,難度不大,是高考的??碱}型,常出現(xiàn)在選擇題、填空題中.為提高學(xué)生線性規(guī)劃題目的解題效率,防止失分,教學(xué)實踐中教師應(yīng)注重這一題型的講解.本文結(jié)合教學(xué)實踐,對常見線性規(guī)劃類型進(jìn)行匯總、剖析,探討解答相關(guān)題型的注意事項.

        【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);線性規(guī)劃;求解;策略

        高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃相關(guān)題目雖然難度不大,但題型多變,教學(xué)實踐中,教師應(yīng)注重常見類型的總結(jié),針對不同類型,依托具體例題,傳授相關(guān)的解題策略,幫助學(xué)生切實掌握這一基礎(chǔ)知識.

        一、線性目標(biāo)函數(shù)及求解策略

        求解線性目標(biāo)函數(shù)最值屬于基礎(chǔ)題型,學(xué)生較容易掌握.解答該類題目時一般采用圖解法,即,聯(lián)立給出的方程組,求解各交點坐標(biāo),尋找到目標(biāo)點,帶入目標(biāo)函數(shù)便可求得答案,因此,準(zhǔn)確找到目標(biāo)點是解答該類題型的關(guān)鍵,解題時要求學(xué)生認(rèn)真審題,保證目標(biāo)點求解的正確性.

        例1 變量x,y滿足2x+y≤40,x+2y≤50,x≥0,y≥0, 求z=3x+2y的最大值.

        分析 解答該題時,應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件畫出可行域,而后采用平移目標(biāo)函數(shù)圖像的方法進(jìn)行求解.根據(jù)題設(shè)條件,畫出的可行域如圖1所示:

        顯然z=3x+2y圖像越向可行域的右上角移動,取得的值越大,聯(lián)立方程組可求得A點坐標(biāo)為(10,20),代入得z=3x+2y的最大值為70.

        點評 該類題目沒有難度,為提高解題效率,保證解題正確性,應(yīng)注意:其一,正確畫出可行域范圍,準(zhǔn)確計算直線方程交點坐標(biāo).其二,明確要求的是最大值還是最小值,保證目標(biāo)函數(shù)圖像移動方向的正確性,計算出最終結(jié)果.

        二、非線性目標(biāo)函數(shù)及求解策略

        線性規(guī)劃中有一類題型的目標(biāo)函數(shù)不是線性函數(shù),難度有所增加,采用平移圖像的方法無法直接求解.解題時仍需要正確畫出可行域范圍,而后認(rèn)真觀察非線性目標(biāo)函數(shù),看其是否是特殊圖像的函數(shù),如拋物線、圓等,而后借助其性質(zhì)進(jìn)行求解.

        例2 已知x,y滿足x-y+2≥0,x+y-4≥0,2x-y-5≤0, 求z=x2+y2-10y+25的最小值.

        分析 求解線性規(guī)劃題型,首先根據(jù)已知條件畫出可行域,但該題目的目標(biāo)函數(shù)不是線性,因此,需要對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,即,z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2,如此可看作求可行域中的點與點M(0,5)距離平方的最小值.

        根據(jù)題設(shè)條件畫出可行域,如圖2所示:

        解答時過點M作AC的垂線,MN長度的平方即為所求,利用點到直線的距離公式,可直接求解出MN長度的平方為92.

        點評 解答目標(biāo)函數(shù)為非線性函數(shù)題型時,除正確畫出可行域范圍外,還應(yīng)對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化,借助幾何意義進(jìn)行求解.如目標(biāo)函數(shù)為z=(x-a)2+(y-b)2形式時,可看作是可行域中的點到點(a,b)距離的平方.如目標(biāo)函數(shù)可化成圓的方程,應(yīng)通過圓心坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,而后求解.

        三、目標(biāo)函數(shù)參數(shù)求解策略

        求目標(biāo)函數(shù)參數(shù)屬于線性規(guī)劃逆向思維問題,難度較大,部分學(xué)生遇到題目不知如何下手,事實上只要明確目標(biāo)函數(shù)最值一般在可行域邊界、交點處取得,借助數(shù)形結(jié)合思想不難進(jìn)行解答.

        例3 平面直接坐標(biāo)系中,不等式組x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0 (a為常數(shù)),表示的平面區(qū)域面積為2,那么a的值是(? ).

        A.-5??? B.1??? C.2??? D.3

        分析 解答該類題型時應(yīng)認(rèn)真分析題設(shè)條件,給出的不等式組中有兩個直線方程已知,此時可畫出其在坐標(biāo)系中的圖像.而ax-y+1≥0恒過點(0,1),其可看作圍繞(0,1)點旋轉(zhuǎn)的直線,因此,可做出如圖3所示圖形:

        觀察題設(shè)給出的四個選項,其中當(dāng)a=-5時,可行域不是封閉的圖形,舍去.當(dāng)a=1時不難求得面積為1.當(dāng)a=2時面積為32.當(dāng)a=3時,面積為2,滿足題意,因此,正確答案為D.

        點評 線性規(guī)劃中求解目標(biāo)函數(shù)的參數(shù)難度較大,如不掌握一定的技巧很難求解出來,本題中很多學(xué)生不能挖掘出ax-y+1≥0恒過點(0,1)這一隱含條件,不知如何下手計算,白白失分,因此,解答該類題型時應(yīng)注意:認(rèn)真分析給出的已知條件,可先將已知直線圖像在平面直角坐標(biāo)系中畫出來;分析帶參數(shù)的直線方程,挖掘存在的隱含條件.另外,因該類型題目難度較大,教學(xué)實踐中,教師應(yīng)多講解相關(guān)例題,讓學(xué)生見更多的題目,更好地掌握該題型的解題技巧.

        四、結(jié) 論

        線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,題型多變,因此,教師應(yīng)做好高中階段線性規(guī)劃類型的總結(jié),本文共同探討了線性目標(biāo)函數(shù)、非線性目標(biāo)函數(shù)以及目標(biāo)函數(shù)中求參數(shù)題型,明確不同題型的特點,并針對不同類型列舉相關(guān)例題,為學(xué)生講解具體解答策略,提出線性規(guī)劃教學(xué)中應(yīng)注意的事項,確保學(xué)生真正掌握這一基礎(chǔ)知識,做到迅速、正確解題.

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]吳建濤.高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃類型及求解策略[J].勞動保障世界,2015(29):53-54+57.

        [2]焦國營.例談線性規(guī)劃思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].求知導(dǎo)刊,2016(10):105.

        [3]董悠.高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃問題分析[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報,2017(4):193-194.

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