雪蓮 媛媛

【摘要】數(shù)學(xué)作為高校理工類必修學(xué)科之一，其中線性代數(shù)對工科數(shù)學(xué)及相關(guān)專業(yè)學(xué)習(xí)都起著重要作用.但線性代數(shù)因其概念抽象、計算困難等原因，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)時十分迷茫，無從下手.這主要是因為學(xué)生對于線性代數(shù)的幾個核心概念之間的聯(lián)系認識不足，沒有形成系統(tǒng)化的知識體系.本文通過對線性代數(shù)中幾個核心概念的提出及推導(dǎo)進行分析，探究核心概念之間的聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù);核心概念;內(nèi)部聯(lián)系

線性代數(shù)作為講述線性空間內(nèi)相關(guān)理論及研究方法的學(xué)科，對空間內(nèi)的線性變換的研究應(yīng)當(dāng)成為整個學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心.接下來就從線性空間及線性變換的本質(zhì)入手，對線性代數(shù)基本研究問題的內(nèi)容進行闡釋.

一、線性空間

作為數(shù)學(xué)中的重要概念之一，空間這一概念在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域中應(yīng)用十分廣泛.最基礎(chǔ)的就是拓撲空間，而線性空間則是在拓撲空間的基礎(chǔ)上加入一些線性變換而形成的新的一些對象的集合.在線性空間中，任何一個對象都可以通過預(yù)先設(shè)定好的基和坐標的結(jié)合表示出來，這時這個對象就成為一個向量.在計算中向量通常是由n×1或1×n的矩陣表示出來，這一列或一行數(shù)中的每一個元素都代表了一定的內(nèi)容，其順序不可更改.

下面再來說線性變換，線性變化指的是空間中任意一點向另一點的移動都可以由一個線性變換表示出來.當(dāng)線性空間內(nèi)的基確定下來后，空間內(nèi)的每一個向量既能表示其中一個對象，還能表示某一個向量變換的過程.線性變化的具體計算方法是用變化前表示對象的向量與表達這一變換過程的向量相乘.綜上所述，在指定了空間的基之后，就可以計算出任意一點向另一點表達的過程，只要變化后的向量仍然屬于該線性空間，該線性變換就可以用一個非奇異矩陣表示.

二、矩 陣

矩陣作為線性空間內(nèi)表示一個線性變換的式子，其針對同一個變換過程的表示形式不固定，主要取決于基的選取，當(dāng)在線性空間內(nèi)確定好一組基后，就至多只有一個矩陣能夠表達單一的線性變換.當(dāng)基改變之后，表示這一線性變換的矩陣也相應(yīng)變化.如果幾個矩陣都能表示同一個線性變換，且矩陣互相都不同，那么我們就稱這些矩陣互為相似矩陣.相似矩陣間有如下的性質(zhì)：如果有兩個互為相似矩陣的矩陣A和矩陣B，那么一定存在一個非奇異矩陣P，使A與B間滿足A=P-1BP.這里的矩陣P其實就是矩陣A的基和矩陣B的基之間的線性變換關(guān)系.相似矩陣這一概念在線性代數(shù)中十分重要，是很多后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，如相似標準型、對角化等的知識基礎(chǔ).因為后續(xù)的這些研究過程中必須保證矩陣轉(zhuǎn)換過程中仍然滿足基于同一個線性變換，矩陣轉(zhuǎn)換只是為了將它轉(zhuǎn)換成為一個更方便計算的矩陣.

矩陣不僅可以用來描述點與點之間的線性變換，更深層次地矩陣可以用來描述一組基向另一組基的變換，且計算方法基本相同.

三、行列式

行列式作為線性代數(shù)開篇所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是線性代數(shù)乃至其他數(shù)學(xué)學(xué)科中的一個重要數(shù)學(xué)工具.主要應(yīng)用于求解線性方程組、矩陣相關(guān)計算、矩陣正定性判定及系統(tǒng)穩(wěn)定性等方面.開始學(xué)習(xí)用行列式定義計算行列式時感覺困難，可以采用將行列式元素轉(zhuǎn)化為解析幾何圖形的形式對行列式進行求解，有利于學(xué)生對計算過程的理解.

在這里再談一談行列式與矩陣的聯(lián)系.雖然行列式和矩陣在定義及計算方法上存在很大的差別.但二者在很多方面都有很密切的聯(lián)系.如，某個方陣對應(yīng)的行列式計算結(jié)果如果不為零，則該矩陣存在逆矩陣，即可逆;又如，一個n元線性方程組的系數(shù)行列式若存在且不為零，則該系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩相等，且二者均等于n.這些事實表明，矩陣與行列式關(guān)系緊密絕非偶然，是因為矩陣的很多性質(zhì)就是基于行列式的性質(zhì)建立起來的.矩陣的提出主要是為了改變行列的很多固定的、不便計算的性質(zhì)的，如行數(shù)必須等于列數(shù)等，但其根本性的一些性質(zhì)還是與行列式存在重要聯(lián)系的.

四、秩

對于矩陣的秩，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)時認為其是單獨在矩陣的變換層面展開的一個概念，因此，對秩的意義的理解存在困難.秩這一概念的提出是基于線性相關(guān)性這一概念的.在二維平面中，兩個向量線性相關(guān)指的是兩個向量共線;在三維平面中，向量線性相關(guān)則指的是所有向量共面，如果某一個向量無法用其他向量線性表示，則稱這幾個向量線性無關(guān)，所有無法進行線性表示的向量的集合就稱為該向量組的極大無關(guān)組，該向量組的極大無關(guān)組的個數(shù)就稱為這個向量組的秩，也就是向量組組成的矩陣的秩.通過這一系列的推導(dǎo)可以看出，線性相關(guān)性、極大無關(guān)組與矩陣的秩之間存在著重要聯(lián)系，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該著重注意這一點.

五、結(jié)束語

目前的大學(xué)線性代數(shù)課堂中，很多教師過分追求計算方法和技巧的講解，而忽視了對相關(guān)概念的具體分析，導(dǎo)致很多學(xué)生雖然習(xí)題計算能力較強，但沒有對學(xué)科的內(nèi)容本身有一個系統(tǒng)的認識，這顯然是本末倒置的.線性代數(shù)學(xué)科的教學(xué)應(yīng)該緊緊圍繞線性空間和線性變換這一主線，對相關(guān)概念的解釋也應(yīng)由空間內(nèi)的向量間的關(guān)系發(fā)起，這樣才能使學(xué)生從根本上理解線性代數(shù)的數(shù)學(xué)意義和實際功能，有助于學(xué)生加深對線性代數(shù)的理解及對數(shù)學(xué)的熱愛.

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