屈娜 劉華 陳春梅

【摘要】本文針對(duì)一道高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題，分別用洛必達(dá)法則、無(wú)窮小代換、拉格朗日中值定理、導(dǎo)數(shù)定義等知識(shí)給出了五種解法.對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和探索思維，提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題能力，具有積極的促進(jìn)作用.

【關(guān)鍵詞】洛必達(dá)法則;無(wú)窮小代換;導(dǎo)數(shù)定義;拉格朗日中值定理

【基金項(xiàng)目】高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教改項(xiàng)目（CMC20160405）.

一、引 言

一題多解，即對(duì)一個(gè)問(wèn)題從多角度進(jìn)行分析解答，它有助于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固、深化和靈活應(yīng)用.鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行多角度思考分析，將有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和應(yīng)用，幫助學(xué)生進(jìn)一步加深數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想的理解和鞏固，同時(shí)也能把學(xué)到的知識(shí)、方法和思想遷移到新問(wèn)題的解決中，可提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，利于拓展思路，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和探索思維，提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題能力，具有積極的促進(jìn)作用.下面對(duì)一道高數(shù)競(jìng)賽極限試題，通過(guò)不同解題思路，得到五種解法，供學(xué)生參考.

二、例題分析

例 （2017年陜西省第十一次大學(xué)生高數(shù)競(jìng)賽）

求 limx→∞xsinln1+3x-sinln1+2x.

分析1 首先由于函數(shù)自然定義域的限制，該題目中的極限過(guò)程應(yīng)為x→+∞.極限類(lèi)型為∞·0型，可考慮使用洛必達(dá)法則，而洛必達(dá)法則處理的是商的極限問(wèn)題.基于此，可做倒代換，有解法1.

解法1 令t=1x，則t→0+，

原式=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）t

=limt→0+cosln（1+3t）31+3t-cosln（1+2t）21+2t

=3-2=1.

分析2 在上述解法倒代換后，得到了較簡(jiǎn)單的極限形式.此時(shí)，可用三角函數(shù)和差化積公式或者拉格朗日中值定理來(lái)處理，如解法2和解法3.

解法2 令t=1x，則t→0+，

原式=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）t

=limt→0+2cosln（1+3t）+ln（1+2t）2sinln（1+3t）-ln（1+2t）2t

=limt→0+2·1·ln（1+3t）-ln（1+2t）2t

=limt→0+ln1+t1+2tt=limt→0+t1+2tt=1.

解法3 令t=1x，則t→0+，

原式=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）t

=limt→0+sinln（1+3t）-sinln（1+2t）ln（1+3t）-ln（1+2t）·ln（1+3t）-ln（1+2t）t

=limξ→0+cosξ·limt→0+ln（1+3t）-ln（1+2t）t

=1·limt→0+ln1+t1+2tt=1.

分析3 可用點(diǎn)導(dǎo)數(shù)定義式來(lái)解決，如解法4.

解法4 原式=

limx→+∞3sinln1+3x-sinln13x-limx→+∞2sinln1+2x-sinln12x

=3（sinlnt）′|t=1-2（sinlnt）′|t=1

=1t（coslnt）|t=1=1.

分析4 對(duì)于該極限問(wèn)題，學(xué)生首先想到的可能是無(wú)窮小代換，但注意教材上結(jié)論只適用于乘積（商）的極限中，對(duì)于和差中的因子卻不能直接替換，注意到此問(wèn)題后，有解法5.

解法5 當(dāng)x→0時(shí)，sinln（1+x）～ln（1+x）～x，

原式=limx→+∞sinln1+3x1x-limx→+∞sinln1+2x1x

=limx→+∞3x1x-limx→+∞2x1x=3-2=1.

三、小 結(jié)

極限概念幾乎貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，極限形式的豐富多彩決定了求極限方法的多種多樣.學(xué)生可在求解極限的過(guò)程中，將思維指向不同的方向，運(yùn)用過(guò)去學(xué)過(guò)的各種概念、定理、公式等數(shù)學(xué)知識(shí)多種途徑、多角度地去探索，這樣可加深對(duì)所學(xué)過(guò)的知識(shí)的記憶、理解與運(yùn)用，提高學(xué)生的發(fā)散思維能力，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：第6版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]樊映川，等.高等數(shù)學(xué)講義[M].北京：高等教育出版社，1964.