王翠芳

【摘要】 本文主要探討了應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)下線性代數(shù)課程的混合式教學(xué)改革思路，以案例教學(xué)為依托，突出實(shí)用性;利用UMU互動(dòng)平臺(tái)，開(kāi)展線上教學(xué);融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，體現(xiàn)應(yīng)用性;借助思維導(dǎo)圖，促進(jìn)知識(shí)系統(tǒng)化.通過(guò)綜合運(yùn)用數(shù)字化教學(xué)平臺(tái)，加大案例教學(xué)與實(shí)驗(yàn)教學(xué)的比重，可以有效提高學(xué)習(xí)效率與教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】 案例;UMU平臺(tái);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);思維導(dǎo)圖

【基金項(xiàng)目】 2016年天津市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究（HE3040）.

線性代數(shù)是高等院校理工科、管理類(lèi)等專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)的一門(mén)重要的公共基礎(chǔ)課程，其理論與方法已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于工程技術(shù)、人工智能和網(wǎng)絡(luò)通信等領(lǐng)域，對(duì)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)生活都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.線性代數(shù)主要以討論空間中線性關(guān)系的理論和方法為主要內(nèi)容，概念抽象，定理復(fù)雜，計(jì)算煩瑣.但目前很多高校仍以理論教學(xué)為主，沿用傳統(tǒng)的“ppt+板書(shū)”的灌輸式學(xué)習(xí)，學(xué)生參與課堂的積極性比較低.教學(xué)內(nèi)容上雖然增加了一些應(yīng)用，但大多數(shù)用在內(nèi)容導(dǎo)入上，缺少真實(shí)性、情境性和操作性，主要教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際應(yīng)用或?qū)I(yè)學(xué)習(xí)銜接不夠緊密.學(xué)生被動(dòng)地接受大量抽象的符號(hào)、公式和程序化的邏輯運(yùn)算，久而久之產(chǎn)生厭煩情緒，逐漸失去興趣，也就很難在后續(xù)專(zhuān)業(yè)課中學(xué)以致用.

在應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下更注重對(duì)學(xué)生應(yīng)用能力、實(shí)踐能力與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，因此，線性代數(shù)課程的教學(xué)不僅肩負(fù)著讓學(xué)生掌握基本理論知識(shí)的職責(zé)，更重要的是有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，幫助他們形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握有效的學(xué)習(xí)方法，促進(jìn)綜合能力的提升.多年教學(xué)實(shí)踐表明，充分利用數(shù)字化教學(xué)平臺(tái)，借助信息化手段，加大案例教學(xué)與實(shí)驗(yàn)教學(xué)的比重，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，增強(qiáng)了課程的實(shí)用性和應(yīng)用性，是全面提升教學(xué)質(zhì)量的重要途徑.

一、以案例為依托，突出實(shí)用性

在教學(xué)中融入有實(shí)際背景的案例，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，能夠更好地體現(xiàn)線性代數(shù)的應(yīng)用性和服務(wù)性，也有助于提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力，從而提高課堂效率和教學(xué)質(zhì)量.教材中也提到了很多比較具有代表性的案例，比如，人口遷移問(wèn)題、投入產(chǎn)出問(wèn)題、城市間的航班路線圖、生物種群增長(zhǎng)問(wèn)題、平板溫度測(cè)量問(wèn)題等[1].針對(duì)不同專(zhuān)業(yè)背景的學(xué)生，可以選擇不同的案例.例如，在介紹行列式的計(jì)算時(shí)可以借助八卦圖的“玄機(jī)”，增強(qiáng)趣味性.

案例 ?隨機(jī)挑選八個(gè)數(shù)字組成八卦圖，比如，?? 1 2 3 4 ??5 6 7 8?? ，把這些數(shù)字按列組成二階行列式，然后逐對(duì)相乘再進(jìn)行加減運(yùn)算，不管怎樣選取數(shù)字，最后結(jié)果都是0.你能破解八卦圖的“玄機(jī)”嗎？

解 ?第一次：前兩列，后兩列組成的二階行列式相乘取加號(hào).第二次：第一三列，二四列組成的二階行列式相乘取減號(hào).第三次：外圈與內(nèi)圈兩個(gè)二階行列式相乘取加號(hào)，即

事實(shí)上，這與四階行列式按照拉普拉斯定理展開(kāi)的結(jié)果完全吻合，

1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8? =2?? 1 2 5 6??? 3 4 7 8? -? 1 3 5 7??? 2 4 6 8? +? 1 4 5 8??? 2 3 6 7?? =0.

任意選擇8個(gè)數(shù)，組成八卦圖?? a1 a2 a3 a4 ??a5 a6 a7 a8?? 都有同樣結(jié)論.

面對(duì)理工科專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，也可以引入如下問(wèn)題.

案例 ?現(xiàn)有一堤壩發(fā)生管涌，江水不斷地涌出.假定每分鐘流出的水量相同.現(xiàn)有四臺(tái)水泵，預(yù)計(jì)30分鐘可以抽完;如果再增加四臺(tái)水泵，預(yù)計(jì)12分鐘可抽完.為保證安全，需在8分鐘之內(nèi)抽完水，問(wèn)至少需要多少臺(tái)水泵？

解 ?設(shè)開(kāi)始抽水前已存水量為x，管涌時(shí)每分鐘流出的水量為y，每臺(tái)水泵每分鐘可抽水z.如果有m臺(tái)水泵，抽完水需t分鐘，依題意，得

x+30y-120z=0， x+12y-96z=0， x+ty-mtz=0.

這是一個(gè)關(guān)于x，y，z的三元齊次線性方程組，依題意有非零解，所以系數(shù)行列式

D=? 1 30 -120 1 12 -96 1 t -mt? =0，得t= 1 440 18m-24 .

因?yàn)橐?分鐘內(nèi)抽完水，所以t<8，即 1 440 18m-24 <8，解得m>11.33，也就是說(shuō)要在8分鐘內(nèi)抽完水，至少需要12臺(tái)水泵.該計(jì)算過(guò)程可通過(guò) Matlab軟件實(shí)現(xiàn).

二、利用UMU互動(dòng)平臺(tái)，開(kāi)展線上教學(xué)

作為全校非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的公共基礎(chǔ)課，線性代數(shù)往往采取大班授課，近百人的課堂容量，使得課上的交流討論，解惑答疑變得比較困難，而且很多情況下教師不能掌握學(xué)生 的真實(shí)學(xué)習(xí)情況，有些學(xué)生上課聽(tīng)講狀態(tài)，作業(yè)做得都不錯(cuò)，但一到考試就完全不知所云，這也讓教師頭疼不已.另一方面，隨著網(wǎng)絡(luò)與智能手機(jī)的迅速普及，ppt+黑板的傳統(tǒng)教學(xué)模式很難激起學(xué)生興趣，因此，有必要將傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式和數(shù)字化學(xué)習(xí)結(jié)合起來(lái)，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ).對(duì)教師來(lái)說(shuō)，既能充分發(fā)揮引導(dǎo)作用，又有更多機(jī)會(huì)監(jiān)控教學(xué)過(guò)程;對(duì)學(xué)生而言，更能體現(xiàn)積極參與、發(fā)揮創(chuàng)造的主體性地位.目前很多網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，如微信公眾號(hào)，藍(lán)墨云班課，UMU互動(dòng)平臺(tái)等都已成為學(xué)生學(xué)習(xí)的重要載體.

UMU互動(dòng)學(xué)習(xí)平臺(tái)是一款綜合性軟件，既可以通過(guò)手機(jī)端也可以通過(guò)瀏覽器訪問(wèn)，包含簽到、拍照上墻、游戲、提問(wèn)、討論、抽獎(jiǎng)、考試等功能，其中最具特色的是屏幕投射，教師可以利用手機(jī)應(yīng)用端拍攝課堂活動(dòng)的照片，比如，學(xué)生的解題過(guò)程或討論場(chǎng)面都等可以即時(shí)展示在大屏幕上[3].由于線性代數(shù)在行列式計(jì)算，矩陣的變換時(shí)運(yùn)算量都比較大，屏幕投射功能在課堂上能夠充分體現(xiàn)優(yōu)勢(shì)，教師能夠針對(duì)學(xué)生的解題過(guò)程更方便地進(jìn)行評(píng)價(jià)，既提高了效率，也能激發(fā)師生之間產(chǎn)生情感共鳴，有助于更好地教學(xué).

課前通過(guò)UMU互動(dòng)平臺(tái)發(fā)布教學(xué)內(nèi)容，方便學(xué)生預(yù)習(xí)，教師可以實(shí)時(shí)監(jiān)控學(xué)生的預(yù)習(xí)進(jìn)度，并通過(guò)提問(wèn)的方式檢驗(yàn)學(xué)生的預(yù)習(xí)效果.課上，教師精講精練，重點(diǎn)突出，也可以通過(guò)UMU平臺(tái)組織討論，多種教學(xué)方式交替進(jìn)行，有助于凝聚學(xué)生注意力，提高課堂效率.課下，學(xué)生可以通過(guò)平臺(tái)提交圖文作業(yè)，教師隨時(shí)隨地進(jìn)行批改，提供個(gè)性化指導(dǎo).借助在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，可以輕松實(shí)現(xiàn)課程的課前、課中、課后的有效銜接，掌控學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)度和深度，還有助于更深刻地了解學(xué)生，有些學(xué)生課堂上沉默寡言，但是線上卻互動(dòng)活躍.線上學(xué)習(xí)情況也將作為學(xué)生平時(shí)成績(jī)的構(gòu)成.對(duì)學(xué)生而言，能夠充分利用碎片化時(shí)間，擴(kuò)展了學(xué)習(xí)時(shí)間與空間，也可以自己把控學(xué)習(xí)節(jié)奏，自主、獨(dú)立地根據(jù)自己所需進(jìn)行個(gè)性化的學(xué)習(xí).

三、融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，體現(xiàn)課程應(yīng)用性

目前，線性代數(shù)在圖像處理、工程計(jì)算、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮重要的理論基礎(chǔ)作用，面對(duì)多變量的復(fù)雜問(wèn)題，通過(guò)筆算或計(jì)算器，不僅浪費(fèi)了大量寶貴的時(shí)間，而且還大大挫傷學(xué)生的積極性，所以加強(qiáng)學(xué)生的線性代數(shù)應(yīng)用能力與計(jì)算能力是時(shí)代發(fā)展的需要.將課堂教學(xué)和計(jì)算機(jī)操作有機(jī)結(jié)合起來(lái)，把復(fù)雜的線性代數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化、具體化，既培養(yǎng)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，也提高了學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐的能力，保證了教學(xué)質(zhì)量.

MATLAB以其簡(jiǎn)單、實(shí)用、易于操作等特點(diǎn)深受教師們推崇，也是在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽必會(huì)的一種軟件.線性代數(shù)中絕大部分計(jì)算如線性方程組的求解、行列式、矩陣等都有現(xiàn)成的程序，因此，很多高校將MATLAB引入到線性代數(shù)的教學(xué)中.比如，要求矩陣的特征值，特征向量，將矩陣對(duì)角化，教材中需要用兩至三頁(yè)的篇幅，但用MATLAB只需一個(gè)命令即可，優(yōu)勢(shì)非常明顯.比如，對(duì)于常見(jiàn)的斐波那契數(shù)列的求解問(wèn)題，通過(guò)MATLAB軟件幾分鐘就可以輕松解決，但筆算的話卻需要很長(zhǎng)時(shí)間且容易出錯(cuò).

案例 ?意大利數(shù)學(xué)家裴波那契提出著名的兔子繁殖問(wèn)題[4]：一對(duì)小兔子（一雄一雌）出生一個(gè)月后，每個(gè)月可以生出一對(duì)小兔子，小兔子經(jīng)過(guò)一個(gè)月后也可以繁殖.現(xiàn)有一對(duì)小兔子，假定兔子會(huì)一直繁殖下去，沒(méi)有死亡，問(wèn)第n個(gè)月月初會(huì)有多少對(duì)兔子？

解 ?每個(gè)月兔子的對(duì)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列就是著名的Fibonacci數(shù)列{Fn}：

滿(mǎn)足條件F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)2=1，F(xiàn)n+2=Fn+1+Fn（n=1，2，3…）

由關(guān)系式 Fn+2=Fn+1+Fn， F1=F2 ?（n=1，2，3…）.

令 A =? 1 1 1 0? ， α n=? Fn+1 Fn? ， α 0=? F1 F0? =? 1 0? ，

則上述關(guān)系可寫(xiě)成矩陣形式 α n+1= Aα n，遞推可得 α n= A n α 0.

于是求Fn的問(wèn)題歸結(jié)為求 α n，即求 A n的問(wèn)題.

在MATLAB中輸入命令：

A=sym（′[1 1;1 0]′）

[P，D]= eig（A）

得 A 的特征值矩陣 D =?? 1+ 5? 2? 0 0? 1- 5? 2?? ，特征向量矩陣 P =?? 1+ 5? 2? 1 1? 1- 5? 2?? ，

再由 P -1 AP = D 得， A = PDP -1， A n= PD n P -1，

在MATLAB中直接輸入公式 A n= PD n P -1，計(jì)算出 A n，再輸入

Fn+1 Fn ?= α n= A n? 1 0? ，很容易計(jì)算出Fn= 1? 5???? 1+ 5? 2? n-? 1- 5? 2? n ，

代入任一整數(shù)，都可計(jì)算出Fn的值，比如，F(xiàn)20=6 765，F(xiàn)30=832 040，即20個(gè)月后約有6 765對(duì)兔子，30個(gè)月后有832 040對(duì)兔子.通過(guò)MATLAB軟件幾分鐘就可以輕松解決，但筆算的話需要的時(shí)間就很長(zhǎng)了.

四、借助思維導(dǎo)圖，促進(jìn)知識(shí)系統(tǒng)化

思維導(dǎo)圖（mindmap）是由英國(guó)托尼·巴贊提出，是一種有效的思維模式.思維導(dǎo)圖是用圖解的形式和網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)，加上關(guān)鍵詞和圖像，表達(dá)知識(shí)點(diǎn)的邏輯順序關(guān)系，從而挖掘人的記憶、創(chuàng)造性、機(jī)體等各方面的潛能[5].線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)紛繁復(fù)雜，通過(guò)思維導(dǎo)圖對(duì)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)和整理，有助于學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，抓住主要問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)化和連貫性.比如，在對(duì)行列式相關(guān)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)時(shí)，可以繪制如下導(dǎo)圖：

初等行變換在線性代數(shù)中應(yīng)用廣泛，具有十分重要的地位，且各個(gè)部分相互關(guān)聯(lián)，可以通過(guò)以下思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生理解記憶.

線性代數(shù)教學(xué)改革是一項(xiàng)長(zhǎng)期的工程，要充分運(yùn)用信息化教學(xué)手段，開(kāi)展形式多樣的混合式教學(xué)，最大化彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)模式在空間、時(shí)間的限制，努力提升教學(xué)的針對(duì)性和有效性.在課程建設(shè)改革過(guò)程中，教師也要不斷提升信息化能力，要從授之以魚(yú)，轉(zhuǎn)變?yōu)槭谥詽O，成為學(xué)生獲取知識(shí)的推動(dòng)者，力求做到教育教學(xué)理論與信息技術(shù)的深度融合，教學(xué)相長(zhǎng)，為培養(yǎng)具備綜合能力的高素質(zhì)人才奠定基礎(chǔ).

【參考文獻(xiàn)】

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[2]楊文霞，何朗，彭斯俊.基于SPOC和翻轉(zhuǎn)課堂的線性代數(shù)混合式教學(xué)改革與實(shí)踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2017（4）：44-50.

[3]許麒麟，黃威榮.四種常見(jiàn)的課堂在線互動(dòng)平臺(tái)比較研究[J].教育現(xiàn)代化，2017（10）：174-177.

[4]黃秋和，莫京蘭，寧桂英.線性代數(shù)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2016.

[5]東尼博贊.博贊學(xué)習(xí)技巧[M].卜煜婷，譯.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2015.