程響

幾何直觀是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，不管是低年級(jí)的實(shí)物圖，還是中高年級(jí)的示意圖和線段圖，都能對(duì)學(xué)生弄清數(shù)學(xué)問(wèn)題、明晰數(shù)量關(guān)系、尋找解題策略起到積極的作用，都能有效地培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力。

一、借助幾何直觀，描述數(shù)學(xué)問(wèn)題

幾何直觀是揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系的有力工具，借助幾何直觀來(lái)客觀地描述數(shù)學(xué)問(wèn)題是幫助學(xué)生理解題意的重要途徑。波利亞指出，圖形不僅是幾何問(wèn)題的對(duì)象，其對(duì)于解答各類問(wèn)題都有很大幫助，即使初看起來(lái)問(wèn)題與幾何無(wú)關(guān)?？梢?，圖形不僅是研究幾何問(wèn)題必不可少的對(duì)象，而且是解決問(wèn)題的一種重要的輔助工具。

在一年級(jí)教學(xué)中有這樣的一道題：“從左往右數(shù)，明明站在第6個(gè)，從右往左數(shù)，明明是第8個(gè)。這一排隊(duì)伍一共有多少人？”這樣的題目對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生，較容易直接列式得到“6+8=14（人）”的結(jié)果，即便有教師指出錯(cuò)誤，告訴他們還要多一步“14-1=13（人）”才對(duì)，學(xué)生也是無(wú)法理解的。此時(shí)用直觀簡(jiǎn)單的圖示法就能很快地讓學(xué)生弄懂題意。在教師引導(dǎo)下師生一起畫出圖1。這時(shí)應(yīng)當(dāng)先指導(dǎo)學(xué)生看圖說(shuō)清題意：從左數(shù)明明是第6個(gè)，所以明明的左邊有5人（6-1）；從右數(shù)明明是第8個(gè)，明明右邊有7人（8-1）。然后再問(wèn)一共有多少人，學(xué)生能列出式子“5+1+7”從而得出正確結(jié)果。

如果學(xué)生列出算式“6+8”，教師還可以借助圖2來(lái)指導(dǎo)。此時(shí)可以這樣講清題意：從左邊第一個(gè)人到明明處共有6人（第一行），從右邊第一個(gè)人到明明處共有8人（第二行），這樣一共有14人（6+8），但兩個(gè)明明都指同一個(gè)人（第三行圖），所以是13人（14-1）。

對(duì)比兩種直觀圖示法，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)第一種方法只需要講清將這一排人員分成三部分——明明的左邊、明明、明明的右邊，把三個(gè)部分?jǐn)?shù)合并成一個(gè)數(shù)，這對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生是較容易理解的；而第二種方法，學(xué)生雖然在“重疊”這一點(diǎn)上存在困難，但如果教師能用動(dòng)圖展示第一、二行合并成一行的過(guò)程，對(duì)問(wèn)題的解決是有幫助的。同時(shí)，利用圖形來(lái)描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助幾何直觀把數(shù)學(xué)問(wèn)題形象化，有助于學(xué)生尋找和理解解決問(wèn)題的正確方法，從而促進(jìn)學(xué)生解決問(wèn)題能力的提高。

二、利用幾何直觀，分析數(shù)量關(guān)系

徐利治先生指出，幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系，產(chǎn)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的直接感知。小學(xué)生的思維特點(diǎn)是以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡，而化抽象為形象恰恰是幾何直觀的突出優(yōu)勢(shì)。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，教師常常會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生“畫個(gè)圖試試看”，其實(shí)就是希望他們?cè)诋媹D的過(guò)程中用直觀形象的方式去分析習(xí)題中的數(shù)量關(guān)系，找到已知和未知之間的通道，實(shí)現(xiàn)從“文字信息”到“圖形信息”的轉(zhuǎn)化，順利解決問(wèn)題。

六年級(jí)“比的應(yīng)用”中有這樣的一道題，“一條公路，已修和未修的比是2∶3，如果再修6千米就正好到達(dá)中點(diǎn)。這條公路全長(zhǎng)多少千米？”一般有以下兩種方法，其一，學(xué)生們會(huì)用比的知識(shí)來(lái)解答，從題意可知已修2份，未修3份，全長(zhǎng)（2+3=5）份，再修6千米到達(dá)中點(diǎn)，也就是2.5份（5÷2）”，可以列出算式來(lái)求全長(zhǎng)是6÷（2.5-2）×5=60（千米）。其二，可以從分?jǐn)?shù)問(wèn)題的角度來(lái)思考，從已知“已修和未修的比是2∶3”看出已修全長(zhǎng)的 ，從“再修6千米就正好到達(dá)中點(diǎn)”可知還差6千米就完成 ，所以得到全長(zhǎng)的（ - ）是6千米，要求全長(zhǎng)可以是6÷（ - ）=60（千米）。

對(duì)這樣一道六年級(jí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是可以通過(guò)幾何直觀來(lái)畫圖幫助分析數(shù)量關(guān)系的（圖3）。

從直觀上分析這個(gè)線段圖里的數(shù)量關(guān)系，便可以得到這條公路的全長(zhǎng)是6×10=60（千米）。因?yàn)橹悬c(diǎn)把第三份平均分成了兩個(gè)小段，每小段長(zhǎng)6千米，全長(zhǎng)有5份，也就是10個(gè)小段，求全長(zhǎng)實(shí)際上就是求10個(gè)6千米。這樣簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系在線段圖上一目了然，學(xué)生完全可以基于經(jīng)驗(yàn)，憑借觀察、想象等途徑直觀地感知問(wèn)題的結(jié)果，這就是幾何直觀最大的優(yōu)勢(shì)。

一般地，數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)要求學(xué)生有目的、有計(jì)劃地去感知確定的對(duì)象，感知目的越明確，感官的指向就越集中，感知目標(biāo)越鮮明，建立的表象就越清晰。線段圖的直觀性，為學(xué)生提供了有利的感性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生通過(guò)觀察尋找數(shù)學(xué)信息，分析把握數(shù)量關(guān)系，揭示反映問(wèn)題的本質(zhì)。

三、依托幾何直觀，探索解題策略

小學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中，借助幾何直觀，通過(guò)觀察與操作活動(dòng)獲得并儲(chǔ)備了各種表象，但在解決問(wèn)題時(shí)，會(huì)因?yàn)橄嚓P(guān)信息不能及時(shí)調(diào)用而不知所措。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)表述問(wèn)題的文字或語(yǔ)言，喚起學(xué)生頭腦中相應(yīng)的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，探索解決問(wèn)題的策略。

人教版三下“數(shù)學(xué)廣角——搭配”中有這樣一道題：“5個(gè)人每2個(gè)人通一次電話，一共要通多少次電話？”學(xué)生可能會(huì)選擇用枚舉的方法來(lái)一一羅列五個(gè)人互通電話的情況，然后得出答案。而此時(shí)教師如果能夠啟發(fā)學(xué)生用5個(gè)點(diǎn)表示5個(gè)人，任意兩點(diǎn)間的線段來(lái)表示通話，就可以畫出圖4。從圖中可以看出，每一個(gè)人都可以主動(dòng)向其他4個(gè)人撥出電話，那么5個(gè)人一共會(huì)撥出20次電話，但是由于“每2個(gè)人通一次電話”，所以每2次電話（如A打給B、B打給A）中有1次是重復(fù)的，正確的結(jié)果應(yīng)該是10次。

同樣還是圖4，教師還可以向?qū)W生講解第二種方法：第一個(gè)人A可以打給4個(gè)人（即B、C、D、E）；第二個(gè)人B已和A通過(guò)話，只要打給其他3個(gè)人（即C、D、E）；同理，C只要打給2個(gè)人（即D、E），D只要打給1個(gè)人（即E）。這樣，一共要通10次電話。

對(duì)于上述的例子，我們實(shí)際上是依托幾何直觀并運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了“五個(gè)點(diǎn)（每三點(diǎn)不共線）一共可以連接多少條線段”的問(wèn)題來(lái)幫助學(xué)生更好地探索問(wèn)題解決的策略。

（作者單位：福建省福州延安中學(xué)小學(xué)部）endprint