☉天津市耀華中學(xué) 明廷軍

復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題方法探究

☉天津市耀華中學(xué) 明廷軍

復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是近些年高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，在全國(guó)各地的高考模擬試題中也頻頻出現(xiàn)，因?yàn)樗婕皟?nèi)外多層函數(shù)，函數(shù)的圖像不像基本函數(shù)那么簡(jiǎn)單，所以學(xué)生很難掌握，甚至有學(xué)生見(jiàn)到這種題就直接放棄，從來(lái)不敢奢求做對(duì).正是基于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題具有綜合性強(qiáng)、關(guān)系復(fù)雜的特點(diǎn)，本文從函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想入手，通過(guò)例題分析，方法歸納，幫助學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行解讀，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

一、換元法

（A）（-∞，3） （B）（0，3］

（C）［0，3］ （D）（0，3）

解：令f（x）=t，則t2-bt+c=0.①

要使原方程有8個(gè)不同實(shí)根，則方程①必有兩個(gè)不等根t1，t2，且t1，t2∈（0，1］，如圖1，函數(shù)y1=f（x）與y2=t圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為原方程的根.

例1已知函數(shù)f

圖1

所以b+c∈（0，3）.

小結(jié)：利用換元的思想將原來(lái)非常復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的一元二次方程以及大家熟知的基本函數(shù)，利用函數(shù)圖像，問(wèn)題迎刃而解.

圖2

（A）當(dāng)k＞0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k＜0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)

（B）當(dāng)k＞0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)k＜0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)

（C）無(wú)論k為何值，均有3個(gè)零點(diǎn)

（D）無(wú)論k為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)

解：令f［f（kx）+1］+1=0，則f［f（kx）+1］=-1.

其中v0∈（0，1），所以kx=v0，所以

綜上可知，當(dāng)k≠0時(shí)，原函數(shù)均有3個(gè)零點(diǎn).

小結(jié)：這道題條件雖然很簡(jiǎn)單，但是讓人感覺(jué)非常的抽象，因?yàn)閷?duì)于這個(gè)函數(shù)的圖像無(wú)從把握，我們依舊遵循了之前先外后內(nèi)逐層分析的思路，采用了換元的方法，問(wèn)題得到順利解決.

二、化歸法

例3函數(shù)f（x）=-x2+3x+a，g（x）=2x-x2，若f［g（x）］≥0對(duì)x∈［0，1］恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）.

（A）［-2，+∞） （B）［-ln2，+∞）

解：因?yàn)間（x）=2x-x2，所以g（′x）=2xln2-2x.

因?yàn)椋踘（′x）］′=（2xln2-2x）′=2（xln2）2-2，ln2＜1，所以（ln2）2＜1.

所以當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，2（xln2）2-2＜0，即［g（′x）］′＜0，所以g（′x）在［0，1］上單調(diào)遞減.

所以g（x）在［0，1］上先增后減，且g（0）=g（1）=1，所以g（x）≥g（1）=g（0）=1.

又因?yàn)閤∈［0，1］時(shí)，2x-x2≤2x≤2，所以g（x）∈［1，2］.

所以原不等式可等價(jià)于［fg（x）］min≥0，

所以a≥-2.

小結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)分析內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合外層函數(shù)的特點(diǎn)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題，從而便于學(xué)生理解和接受.

三、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論法

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

解：令，① 則（ft）=a.②

于是，原方程的實(shí)根可以分兩步來(lái)求，先求出方程②的解（y1=（ft）與y2=a的交點(diǎn)橫坐標(biāo)），然后代入到①中，得到最終的解

y=（fx）亦即y=（ft）的圖像如圖3.

圖3

圖4

當(dāng)a＞2時(shí)，方程（ft）=a有兩個(gè)解，分別為t1和t2，其中同時(shí)作出與y=t的圖像，會(huì)發(fā)4現(xiàn)它們共有4個(gè)交點(diǎn)，即原方程實(shí)根個(gè)數(shù)是4.

當(dāng)a=2時(shí)，方程（ft）=a有三個(gè)解，分別為t1，t2和t3，其中同時(shí)作出與y=t的圖像，會(huì)4發(fā)現(xiàn)它們共有6個(gè)交點(diǎn)，即原方程實(shí)根個(gè)數(shù)是6.

當(dāng)1＜a＜2時(shí)，方程（ft）=a有四個(gè)解，分別為t1，t2，t3和t4，其中.同時(shí)作出y=x+3與y=t的圖像，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們共有8個(gè)交點(diǎn)，即原方程4實(shí)根個(gè)數(shù)是8.

當(dāng)a=1時(shí)，方程（ft）=a有四個(gè)解，分別為t1，t2，t3和t4，其中同時(shí)作出與y=t的圖4像，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們共有7個(gè)交點(diǎn)，即原方程實(shí)根個(gè)數(shù)是7.

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程（ft）=a有三個(gè)解，分別為t1，t2和t3，其中.同時(shí)作出與y4=t的圖像，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們共有4個(gè)交點(diǎn)，即原方程實(shí)根個(gè)數(shù)是4.

當(dāng)a=0時(shí)，方程（ft）=a有兩個(gè)解，分別為t1和t2，其中t1=.同時(shí)作出與y4=t的圖像，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們共有3個(gè)交點(diǎn)，即原方程實(shí)根個(gè)數(shù)是3.

當(dāng)a＜0時(shí)，方程（ft）=a有一個(gè)解，為t1，其中同時(shí)作出與y=t的圖像，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們共有2個(gè)4交點(diǎn)，即原方程實(shí)根個(gè)數(shù)是2.

綜上可知，答案為A.

小結(jié)：經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)和思維訓(xùn)練，部分學(xué)生對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題會(huì)有一些思路和想法，但是準(zhǔn)確度卻是一個(gè)大問(wèn)題.有的學(xué)生花了很長(zhǎng)時(shí)間，但最后還是功虧一簣.因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題的分類(lèi)討論并不擅長(zhǎng)，但是如果掌握了問(wèn)題的規(guī)律與本質(zhì)，那么分類(lèi)討論就會(huì)成為一件非常簡(jiǎn)單的事情.

例5已知函數(shù)則下列關(guān)于函數(shù)y=f［f（x）］+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷正確的是（）.

（A）當(dāng)k＞0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)k＜0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)

（B）當(dāng)k＞0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)k＜0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)

（C）無(wú)論k為何值，均有2個(gè)零點(diǎn)

（D）無(wú)論k為何值，均有4個(gè)零點(diǎn)

解：令t=f（x），①則f（t）=-1，②

所以原方程的實(shí)根可以分兩步來(lái)求，先求出方程②的解（y1=f（t）與y2=-1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)），然后代入到①中，得到最終的解（y3=f（x）與y4=t的交點(diǎn)橫坐標(biāo)）.

圖5

圖6

當(dāng)k＞0時(shí)，方程（ft）=-1有兩個(gè)解，分別為t1和t2，其中；再同時(shí)作出y=（fx）與y=t的圖像（如圖6），會(huì)34發(fā)現(xiàn)它們共有4個(gè)交點(diǎn)，即原函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn).

圖7

圖8

當(dāng)k=0時(shí)，方程（ft）=-1有一個(gè)解，為t1，其中；再同時(shí)作出y3=（fx）與y4=t的圖像（如圖8），會(huì)發(fā)現(xiàn)它們共有1個(gè)交點(diǎn)，即原函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)k＜0時(shí)，如圖9，

圖9

圖10

方程（ft）=-1有一個(gè)解，為t1，其中；再同時(shí)作出y3=（fx）與y4=t的圖像（如圖10），會(huì)發(fā)現(xiàn)它們共有1個(gè)交點(diǎn)，即原函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，答案為B.

小結(jié)：這道題的分析思路與方法與上一道題有類(lèi)似的地方，當(dāng)你了解了這道題的解法后，你會(huì)不得不佩服命題人，他命題時(shí)想盡一切辦法在那里遮遮掩掩，把一些本來(lái)特別簡(jiǎn)單的問(wèn)題變得面目全非，故意為難你，目的就是不讓學(xué)生一下子看出來(lái).所以對(duì)于數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)必須配以深度的理解，學(xué)生成績(jī)的提高靠的是學(xué)生自己的探究與體悟，絕不是靠課上老師多講幾道題或課下多做幾道題就可以實(shí)現(xiàn)的.

總之，雖然復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題往往會(huì)出現(xiàn)在選擇題或是填空題的最后一道題上，是小題中的壓軸題，難度非常大，但是從以上例子的分析我們可以得知：如果我們能夠利用函數(shù)圖像從外到內(nèi)依次進(jìn)行分析，把握每一個(gè)具體函數(shù)的特點(diǎn)，那么我們就會(huì)大大節(jié)省分析問(wèn)題的時(shí)間，提高正確率，將這類(lèi)問(wèn)題輕松解決.