王靈勇 姜瀅

摘? 要：低年級(jí)的數(shù)學(xué)教材看似簡單，只是加加減減，但是處處都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思想。作為低年級(jí)的教師，在教學(xué)中要注重滲透數(shù)學(xué)的思想方法，并把思想方法融入解題的技巧中，讓學(xué)生在做中鞏固，想中深化。本文結(jié)合教學(xué)案例、數(shù)學(xué)思想方法闡述了“數(shù)學(xué)式”解題技巧在低段學(xué)生學(xué)習(xí)中的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)式;思想方法;解題技巧

一、不同教學(xué)，不同效果

我們先一起來看一道例題：

2個(gè)物體比輕重較簡單，但是如果要進(jìn)行3個(gè)以上的比較，學(xué)生就覺得比較困難。第一次接觸3個(gè)物體比輕重時(shí)，學(xué)生的錯(cuò)誤率相當(dāng)高，學(xué)生并不能完全理解題意。筆者采用了3種學(xué)法對(duì)學(xué)生進(jìn)行了不同的學(xué)法指導(dǎo)，產(chǎn)生了3種不同的教學(xué)結(jié)果。

【純天然型】

教師不講解題的方法，只為學(xué)生讀題，然后請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成。校對(duì)后正確率為25%。

【純理論型】

教師不僅對(duì)于題意進(jìn)行了一定的講解，同時(shí)教會(huì)學(xué)生如何進(jìn)行解題的方法——純理論。通過第一個(gè)蹺蹺板比較得出兔子比貓重，通過第二個(gè)蹺蹺板比較得出熊比兔子重。因?yàn)橥米颖蓉堉?、熊比兔子重，所以，熊最重，兔子最輕。學(xué)法指導(dǎo)完之后，再讓學(xué)生做類似的題目，校對(duì)后正確率上升為85.3%。

【檢驗(yàn)期】

這種學(xué)法比純天然型的學(xué)法在正確率上有所提升。能夠肯定在一定程度上比純天然型的好，但是還有14.7%的學(xué)生并沒有做對(duì)，在這正確的85.3%的學(xué)生中，能做到舉一反三嗎？筆者把此題改為4樣物體比輕重。再對(duì)正確率進(jìn)行測試，正確率明顯下降為21.9%。

是什么影響了學(xué)生的判斷呢？筆者對(duì)學(xué)生行了一次談話。有學(xué)生說：“老師，比的東西太多了，我們到后來不知道怎么比了?！币灿械膶W(xué)生說：“老師，我比了前面的忘記后面的，后來越比越亂。”筆者正在一籌莫展的時(shí)候，有一位學(xué)生的方法給了我提示。他在用畫的方式給每一個(gè)動(dòng)物做記號(hào)。第3種學(xué)法在我腦中一閃而過。

【畫比結(jié)合型】

一年級(jí)的學(xué)生很喜歡做記號(hào)。于是，筆者用畫比結(jié)合型向?qū)W生推廣這種方法。①比第一個(gè)蹺蹺板，在重的動(dòng)物邊上畫↓，在輕的動(dòng)物邊上畫↑。例題上兔子畫↓，貓畫↑。②比第二個(gè)蹺蹺板，同樣在重的動(dòng)物邊上畫↓，在輕的動(dòng)物邊上畫↑。例題上應(yīng)該狗的邊上畫↓，兔子的邊上畫↑。③如果還有蹺蹺板以此類推。④看每一個(gè)動(dòng)物邊上的尖頭，如果“↑↓”同時(shí)存在，說明它在比較的過程中有輕的時(shí)候也有重的時(shí)候，說明它是中間介質(zhì)，那么淘汰。哪一個(gè)物體上只有“↑”就是最輕的，只有“↓”就是最重的。

用畫比結(jié)合型的學(xué)法第一次的正確率為92.7%，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)后，正確率達(dá)到了100%。

【檢驗(yàn)期】

那么這種方法會(huì)不會(huì)出現(xiàn)第二種方法這樣不能舉一反三呢？我同樣加大了難度，由3個(gè)物體比輕重變?yōu)?個(gè)物體比輕重，這時(shí)的正確率為97.5%。再進(jìn)行練習(xí)正確率基本上都在97%以上。

3次教學(xué)，3次不同的教法，學(xué)生的掌握情況卻天差地別。第3種方法，教師利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，轉(zhuǎn)化成為一種簡化的解題技巧，學(xué)生非常樂意接受并愿意把這種方法變成自己的方法。教師把數(shù)學(xué)思想方法滲透于學(xué)生每天要面對(duì)的解題技巧中，學(xué)生長久地運(yùn)用這種“數(shù)學(xué)式”解題技巧，把思想方法內(nèi)化為自己的方法。既提高了思維含量，又讓正確率提升。

二、不同方法，相同目的

如果能把數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化成為“數(shù)學(xué)式”的解題技巧，對(duì)于學(xué)生而言是一件幸福的事。作為教師必須知道小學(xué)數(shù)學(xué)中到底運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法。比如

（一）集合的思想方法

集合思想作為一種數(shù)學(xué)思想方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的運(yùn)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，集合概念是通過畫集合圖的辦法來滲透的。

如用韋恩圖直觀地向?qū)W生滲透集合概念。利用“數(shù)”以及“圖形”間的關(guān)系向?qū)W生滲透集合之間的關(guān)系，如非零自然數(shù)集合里面包含了質(zhì)數(shù)集合、合數(shù)集合和1;三角形集合里面包含了等腰三角形集合和普通三角形集合等。

（二）極限的思想方法

極限的思想方法是反應(yīng)事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)，也是從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種重要數(shù)學(xué)思想方法，了解它有重要意義。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多處注意了極限思想的滲透。比如數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域：教學(xué)“負(fù)數(shù)”“正數(shù)”“整數(shù)”“分?jǐn)?shù)”“小數(shù)”“質(zhì)數(shù)”“合數(shù)”等這些概念時(shí)，教師可通過列舉法讓學(xué)生體會(huì)到負(fù)數(shù)、正數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)是永遠(yuǎn)數(shù)不完的，個(gè)數(shù)有無限多個(gè)，讓學(xué)生初步感悟“無限”思想;在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，1 ÷ 7 = 0.142857142857…是一循環(huán)小數(shù)，它的循環(huán)節(jié)是永遠(yuǎn)寫不完的，是無限的;在學(xué)習(xí)圓的面積時(shí)，通過把圓分割成長方形的過程讓學(xué)生體會(huì)到分得越多拼成的圖形越接近長方形，體會(huì)到極限的思想。

（三）化歸的思想方法

化歸思想是指將有待解決或未解決的問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題中去，以求得解決。在小學(xué)的數(shù)學(xué)教材中有著廣泛的運(yùn)用，比如化新為舊、化難為易、化繁為簡、化曲為直等。

比如：小數(shù)乘法化歸為整數(shù)乘法的方法進(jìn)行計(jì)算;學(xué)習(xí)周長概念把圓面的周長轉(zhuǎn)化成線段的長;在梯形、三角形、圓形等平面圖形面積推導(dǎo)的過程中就用到了轉(zhuǎn)化成長方形面積的計(jì)算公式;學(xué)習(xí)組合圖形面積，學(xué)生明確組合圖形面積計(jì)算的基本思路是轉(zhuǎn)化為基本圖形的面積，然后運(yùn)用加減原理計(jì)算;教學(xué)“有趣的測量”一課時(shí)，運(yùn)用“曹沖稱象”的故事，將轉(zhuǎn)化思想滲透其中。

小學(xué)數(shù)學(xué)除滲透了上述各數(shù)學(xué)思想方法外，還滲透了歸納的思想方法、符號(hào)化的思想方法、統(tǒng)計(jì)的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法、轉(zhuǎn)化的思想方法、假設(shè)的思想方法、比較的思想方法、分類的思想方法、類比的思想方法等。

了解了小學(xué)數(shù)學(xué)中的思想方法，對(duì)解題技巧的指導(dǎo)起著決定性的作用。

三、低段學(xué)生心理特征分析

數(shù)學(xué)式的解題技巧是以數(shù)學(xué)思想方法為基石，依據(jù)學(xué)生的心理特點(diǎn)而設(shè)計(jì)的簡單、生動(dòng)的解題技巧。教師要設(shè)計(jì)出這樣的解題技巧，除了要對(duì)數(shù)學(xué)思想方法全面了解外，對(duì)于學(xué)生的心理特點(diǎn)更是需要全面掌握。

現(xiàn)在我們一起來看一看低年級(jí)學(xué)生心理的具體表現(xiàn)（見表1）：

根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中的具體表現(xiàn)決定了“數(shù)學(xué)式”的解題技巧必須要注意以下幾點(diǎn)：

（一）審題技能

由于學(xué)生的感知目的性較弱，審題技能成為學(xué)生解題技巧運(yùn)用的前提和基礎(chǔ)。一年級(jí)的學(xué)生想當(dāng)然地認(rèn)為怎么做就怎么做，結(jié)果整題全錯(cuò)。有些較簡單的題目，只是稍做改動(dòng)，對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生就變成難題。這主要是學(xué)生年齡特點(diǎn)決定他在感知事物時(shí)常常不對(duì)事物做精細(xì)的分析，容易忽略某些細(xì)節(jié)。因此，教師首先要培養(yǎng)學(xué)生的審題能力。教會(huì)學(xué)生最簡單的審題技能。我們可以用一讀二找三想四讀五解六查的方法，讓學(xué)生嘗試審題。

一讀。通讀。大致了解題意。

二找。找關(guān)鍵字或注意點(diǎn)。

三想。想一想，題目要我干什么？在平時(shí)我有見過這樣的題目嗎？一樣嗎？我是怎么做的？

四讀。精讀。進(jìn)一步明確題意。

五解。解題。

六查。完成后檢查。

這個(gè)方法看似比較麻煩，一年級(jí)的學(xué)生不易掌握。但是只要每次做題時(shí)都進(jìn)行反復(fù)強(qiáng)調(diào)，學(xué)生慢慢地就會(huì)習(xí)慣用這樣的方法進(jìn)行審題。一旦學(xué)生進(jìn)行了審題，就能正確地運(yùn)用解題技巧。

（二）簡潔化

由于學(xué)生的注意力以無意注意為主，有意注意還不完善。長時(shí)間的做題會(huì)造成注意力分散，降低學(xué)習(xí)興趣。所以這就決定了解題的技巧必須要簡潔化。比如在教學(xué)《比輕重》時(shí)教師所采用的畫比結(jié)合型的“數(shù)學(xué)式”解題的方法，不僅簡單，而且也很有趣。再如在教學(xué)《100以內(nèi)進(jìn)位加法》時(shí)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生特別容易忘記進(jìn)位。于是我給他們的解題法寶是：

36+8=44

1

1. 從個(gè)位加起

2. 6+8=14，個(gè)位寫4把進(jìn)上去的1寫到3的下面。

再把1+3=4，答案就是44。

這樣的解題技巧不僅不會(huì)讓學(xué)生忘記進(jìn)位，而且把整個(gè)計(jì)算的思考過程全部呈現(xiàn)，不僅有利于學(xué)生檢查自己的作業(yè)，同時(shí)也有利于教師檢查學(xué)生的掌握情況。學(xué)生很喜歡這種特別的方法，計(jì)算的正確率自己也就上升了。

（三）淺顯化

學(xué)生的記憶特點(diǎn)決定了解題的技巧必須要具有淺顯化的特點(diǎn)。學(xué)生一看，教師一指導(dǎo)，他就能理解為什么這樣做。對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生而言，如果要學(xué)生靠抄、背才能掌握的或根本不理解的技巧再好也沒用。比如《比輕重》中的純理論型的解題方法指導(dǎo)，雖然學(xué)生也能理解，但是這種理解之后學(xué)生不能馬上轉(zhuǎn)化成自己的東西，而且不夠淺顯，不能讓學(xué)生一看就明白，理解。所以，這樣的解題技巧不會(huì)被學(xué)生接受與理解。

（四）目的化

由于低年級(jí)學(xué)生的目的性差，情境性強(qiáng)。所以，教師在進(jìn)行解題的技巧指導(dǎo)時(shí)，解題的方法要直指題目的本質(zhì)，對(duì)于本質(zhì)外的東西盡量避免。比如：大小不同圓的圓周與其半徑的推算。舍棄了圓的大小及半徑的長度，抽象概括出一切圓的周長與半徑之比都是一個(gè)常數(shù)。再比如在教學(xué)一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多多少時(shí)，需要讓學(xué)生第一時(shí)間掌握是哪兩樣事物進(jìn)行比較，而其他的東西變得并不那么重要。

（五）形象化

學(xué)生的思維需要具體形象事物的幫助，所以對(duì)較抽象的數(shù)學(xué)概念或題型較難理解和掌握。因此，教師在設(shè)計(jì)題型技巧的時(shí)候一定要形象，借助形象的方法來幫助學(xué)生理解抽象的題型。比如：小紅有2件上衣、3條褲子，如果一件上衣與一條褲子為一套，小紅一共可以搭配成幾套？只是說說思路不夠明顯，但是如果能畫一畫，那么學(xué)生馬上就可以算出有幾套。

四、巧妙指導(dǎo) 輕松解題

不是所有的思想方法都能把它轉(zhuǎn)化成為低年級(jí)學(xué)生的解題技巧。我們還需要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況來進(jìn)行分析與評(píng)價(jià)。只有學(xué)生愿意采用樂意接受，才能成為一種好的數(shù)學(xué)式的解題方法。筆者把低段學(xué)生較常見、學(xué)生也比較喜歡用的一些數(shù)學(xué)式的解題方法與大家一起分享。

（一）圖形結(jié)合法

華羅庚說過“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直覺，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”數(shù)形結(jié)合思想方法常體現(xiàn)在：以形助數(shù)、以數(shù)助形、數(shù)形互助等幾個(gè)方面。

數(shù)形結(jié)合的方法是數(shù)學(xué)中最常用的一種方法，特別到了高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，它是最有用的方法之一。到了小學(xué)這種方法的運(yùn)用自然沒有高等數(shù)學(xué)那么深?yuàn)W，但是這種方法依然是低年級(jí)運(yùn)用的最多的方法之一。

（1）形到數(shù)。比如：一年級(jí)在教學(xué)10的認(rèn)識(shí)時(shí)，教材從10個(gè)小動(dòng)物，抽象出10個(gè)小圓點(diǎn)，再抽象到10根小棒，最后認(rèn)識(shí)10。借助于學(xué)生的形（當(dāng)然這里的形是指比較具體的事物）來數(shù)量化10的概念。再比如我還聽過朱樂平老師上的《求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少》，他的教學(xué)設(shè)計(jì)是從一個(gè)正方形導(dǎo)入的。讓學(xué)生先找這個(gè)正方形的1/2、1/4是怎么表示的。再導(dǎo)入如果這個(gè)正方形表示60，那么這個(gè)正方形的1/2是多少。從形到數(shù)的教學(xué)讓學(xué)生輕松地學(xué)會(huì)了思考方法。（2）數(shù)至形。比如王瓊花老師曾上過一堂《連除的應(yīng)用題》，他就是用正方形的分割來幫助學(xué)生理解連除的含義。在教學(xué)9+7的時(shí)候可采用畫圓點(diǎn)，用圓點(diǎn)的移動(dòng)理解湊十法的好處。

在讓學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合這種方法的時(shí)候，往往是光從形或光從數(shù)的角度很難解決問題，或是從形或從數(shù)的角度能更好理解時(shí)，我們就會(huì)考慮用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題。

（二）有序思考法（做記號(hào)）

在教學(xué)低年級(jí)特別是一年級(jí)的內(nèi)容時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn)特別考驗(yàn)學(xué)生數(shù)的本領(lǐng)，比如統(tǒng)計(jì)，數(shù)一數(shù)有幾個(gè)小動(dòng)物等等。如何來解決這樣的問題呢？有序思考就變得很重要。按照一定的順序，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。低年級(jí)的有思考一般分為2種。

（1）數(shù)的有序思考。比如：10可以分成（ ? ?）和（ ? ?），這時(shí)就需要學(xué)生運(yùn)用從大到小或從小到大的順序來排數(shù)字，最后組合而成。1和9;2和8;3和7;4和6;5和5。（2）形的有序思考。這種情況一般出現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)類的題目中。這種有序方法是要學(xué)生掌握從左往右或是從右往左數(shù)，如何一個(gè)都不少地?cái)?shù)出來呢？我采用過2種方法，一種是同一種類型的圖形都寫相同的數(shù)字，比如說，圓全部都寫1，正方形全部都寫2。但是這種方法實(shí)驗(yàn)表明學(xué)生還是會(huì)出錯(cuò)，因?yàn)橛行┖⒆訑?shù)到后來寫還在寫1，嘴里已忘記是幾了。所以后來我就采用了寫數(shù)字，數(shù)1 個(gè)寫1個(gè)。比如圓一共5個(gè)，那么他給圓寫上的數(shù)就是從1-5。這樣學(xué)生就不會(huì)錯(cuò)了。還有比如4個(gè)圓點(diǎn)放在數(shù)位順序表上，它能組成幾個(gè)數(shù)？這類題型也是按一定的順序先全部十位，再依次放一個(gè)到個(gè)位上，就形成了數(shù)字。

（三）類比聯(lián)想法

類比聯(lián)想思想方法，是由一種事物想到另一種事物，即由此及彼的思想方法。類比聯(lián)想的特點(diǎn)，通過形象的彼此聯(lián)結(jié)而達(dá)到對(duì)事物的認(rèn)識(shí)，它并不破壞原來的形象，而是把幾種表象形象聯(lián)結(jié)起來形成象鏈的形象思維方法，新穎性和創(chuàng)造性是它的根本特征。比如大家都知道一年級(jí)的人民幣單元對(duì)于孩子來說存在較大的困難，原因在于孩子們沒有生活的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)又要遇到進(jìn)率的轉(zhuǎn)化與計(jì)算，可謂是難點(diǎn)重重。不過我在教學(xué)轉(zhuǎn)化的時(shí)候卻讓我遇到了很特別的解題方法。4元5角=（? ? ）角。他是這樣解的。元相當(dāng)于十位，角相當(dāng)于個(gè)位?，F(xiàn)在都要把它化成角就是45角。這題的解法與寫數(shù)的方法相同。這是個(gè)很有特色也很有個(gè)性的創(chuàng)造，雖然這種方法有待考量，但是這個(gè)解題方法做題正確率是出奇的高，幾乎沒有人會(huì)錯(cuò)。

當(dāng)遇到兩樣事物他們的本質(zhì)相同又非常相似的時(shí)候，我們可以考慮用類比聯(lián)想法把這兩樣事物聯(lián)系起來進(jìn)行思考，在比較中找到突破口完成解題過程。

（四）一一對(duì)應(yīng)

這種思維方法在低年級(jí)主要有兩種。（1）圖形的對(duì)應(yīng)。常常有這樣的題：有5個(gè)圓，請(qǐng)你再畫圓比他多2個(gè)。這邊教學(xué)一般有兩種方法，一種是讓學(xué)生數(shù)好上面有幾個(gè)再算一算，然后畫上去。另一種是一一對(duì)應(yīng)的畫，每一個(gè)圓對(duì)一個(gè)，多2個(gè)再在外面畫2個(gè)。事實(shí)表明用一一對(duì)應(yīng)的方法使學(xué)生解題的出錯(cuò)率比較低，而且也符合題目的本意。（2）數(shù)的對(duì)應(yīng)。12-3=14-5=16-7=___，這類題目不僅與對(duì)應(yīng)有關(guān)還滲透了函數(shù)的思想，往往與后序的學(xué)習(xí)有關(guān)。一般在遇到兩樣事物進(jìn)行對(duì)應(yīng)比較的時(shí)候，我們會(huì)想到采用一一對(duì)應(yīng)的方法來思考一些問題。

（五）逆向思維

人們?cè)谔幚怼⒔鉀Q問題時(shí)，常常按照習(xí)慣的思維來進(jìn)行思考，運(yùn)用習(xí)慣的化歸方式去轉(zhuǎn)化解決問題。當(dāng)從正面思考難以解決時(shí)，人們就轉(zhuǎn)向反面思考。值得注意的是，逆向思維的方法是建立在正向思維的基礎(chǔ)上，它離不開常規(guī)思維的悖逆。

正面問題 ?正難則反

我們?cè)诮虒W(xué)中逆向思維的練習(xí)是比較多的。比如（ ? ?）+6=12可以這樣思考12-6=？或是一個(gè)數(shù)先加上4，再減去2，再乘上3，最后得數(shù)是21，原來這個(gè)數(shù)是多少？這些題目都可以用逆向思維來解決問題。

當(dāng)某一些題目用順向思維去解決時(shí)發(fā)現(xiàn)很難進(jìn)行下去時(shí)，可以考慮用逆向思維法來思考一下。

（六）割補(bǔ)法

割補(bǔ)法在平面幾何圖形的學(xué)習(xí)中是比較常見的一種推導(dǎo)方法，也是一種思考方法。比如，在面積和體積教學(xué)中，都有著廣泛的應(yīng)用。平行四邊形通過割補(bǔ)可轉(zhuǎn)化為長方形（或正方形），梯形通過割補(bǔ)可轉(zhuǎn)化為平行四邊形，圓通過割補(bǔ)可轉(zhuǎn)化為近似長方形等。在低年級(jí)最多的是數(shù)格子，把多出來的割下來補(bǔ)到空的地方去。

以上這幾種方法的嘗試，我發(fā)現(xiàn)低年級(jí)的學(xué)生比較容易接受與喜歡。當(dāng)然還會(huì)有更多的數(shù)學(xué)思想方法我們可以把它變成適合低年級(jí)學(xué)生的解題方法。希望通過我們的努力能讓我們的學(xué)生學(xué)得更輕松，快樂！教師教得更輕松，自在！