張順欽　姚愷

摘 要 本文運(yùn)用Fubini定理解決了勒貝格積分在非負(fù)可測的情況下積分域上取極限的問題，并且通過推廣與舉例得到對Fubini定理以及積分域上取極限更深刻的認(rèn)識。

關(guān)鍵詞 Fubini定理 極限 積分域

中圖分類號：O141.41 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2018.10.020

Discussion on the Application of Fubini Theorem

ZHANG Shunqin， YAO Kai

（School of Science， China University of Mining & Technology，Beijing 100083）

Abstract In this paper， the Fobini theorem is used to solve the problem that the Lebesgue integral takes the limit in the integral domain under non-negative measurable conditions， and a more profound understanding of the Fubini theorem and the limit of the integral domain is obtained by generalization and examples.

Keywords Fubini theorem； limit； integral domain

實(shí)變函數(shù)是19世紀(jì)下半葉形成的數(shù)學(xué)分支，它是微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。它在數(shù)學(xué)的其他分支，尤其是泛函分析和拓?fù)鋵W(xué)中應(yīng)用也很廣泛。Fubini定理是實(shí)變函數(shù)中重要的計算積分的工具。Fubini定理在簡化積分計算，化高階積分為低階積分中起著重要作用。下面我們通過具體實(shí)例，探討Fubini定理在理論推導(dǎo)和計算積分時的應(yīng)用。

Fubini定理：（1）設(shè)在（，分別為與中之可測集）上非負(fù)可測，則對a.e.的作為的函數(shù)在上可測，且

（2）設(shè)在上可積，則對a.e.的作為的函數(shù)在上可積，又作為的函數(shù)在上可積且（*）式成立。

首先我們引入積分區(qū)域取極限的情況下積分的變化。

定理1：如果滿足以下條件：

1）；

2）為可測集；

3）在上非負(fù)可測，

則。

證明：設(shè) ，則由于在上非負(fù)可測，為可測集，所以為上的一列非負(fù)可測函數(shù)。

當(dāng)時，對于任意自然數(shù)有，且，由列維定理我們得：

，故

。

當(dāng)定理1證明完成之后，我們自然會聯(lián)想在二維情況下的積分是什么樣的？我們發(fā)現(xiàn)，如果滿足與一維相似的條件，同樣可以得到這個結(jié)論。

定理2：如果滿足以下條件：

1），；

2）均為可測集；

3）在上非負(fù)可測，其中。

則有 。

證明：由Fubini定理，

。

由于在任意的上非負(fù)可測，則由Fubini定理，對a.e的作為的函數(shù)在Am上非負(fù)可測。

由定理1

，

再由條件1）和條件2），取，可得。又為可測集，且在任意的上非負(fù)可測，故由定理1知。

綜上，定理2成立。

下面我們舉例說明上述定理的應(yīng)用。

例1.求。

解： 由于，且在任意的上非負(fù)可測

所以 。

例2.求證：。

證明：

于是計算

，

所以的極限不存在。而我們計算。結(jié)論即證。

注：從例2中可以看出，如果在定理2中僅僅滿足條件1）和條件2），而不滿足條件3）中非負(fù)的條件，結(jié)論是不一定成立的。

基金項目：中國礦業(yè)大學(xué)（北京）大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項目（C201707544）“Lebesgue空間理論及其應(yīng)用”（指導(dǎo)教師：林燕）

參考文獻(xiàn)

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[2] 黃重器.Fubini定理的推廣[J].龍巖師專學(xué)報，1983.1（2）：15-21.