周順鈿

(浙江省杭州高級(jí)中學(xué) 310003)

2016年以來(lái)，“核心素養(yǎng)”成為教育界關(guān)注的一個(gè)焦點(diǎn).在“基本運(yùn)算、邏輯思維、空間想象”的“老”三大能力和“數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析”的“新”三大能力的基礎(chǔ)上，提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)要素：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.章建躍先生指出：為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，需要我們?cè)鷮?shí)開展數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐研究，搞出一批“核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)案例”，使抽象的“核心素養(yǎng)”獲得具體事例的支撐[1].

“數(shù)學(xué)建?！卑Ｐ徒⒑湍Ｐ蛻?yīng)用兩大方面，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.單墫先生說(shuō)：“模式教育容易產(chǎn)生定勢(shì)思維，束縛創(chuàng)造性，但完全沒有模式，也使初學(xué)者難以把握，正如圍棋中的定式，需要根據(jù)情況靈活應(yīng)用、不可拘泥.”[2]正方體就是一個(gè)極具價(jià)值的空間模型，掌握正方體的結(jié)構(gòu)特征，以正方體為模型可以“生成”許多優(yōu)美的空間問(wèn)題，許多空間問(wèn)題如果將它置于正方體模型之中，其結(jié)果甚至可以一望而解.

1 正方體模型的價(jià)值分析

1．正方體是空間圖形中最特殊且內(nèi)涵最豐富的幾何圖形，它享有“萬(wàn)能模型”的美稱.正方體作為立體幾何教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵突破口，是因?yàn)樗哂腥缦滤膫€(gè)特征.

(1)正方體是學(xué)生最早接觸和最熟悉的空間圖形，具有很強(qiáng)的空間感.借用它進(jìn)行立體幾何教學(xué)，有利于學(xué)生建立空間概念、克服畏難情緒，有助于學(xué)生觀察點(diǎn)、線、面位置，降低思維難度.

(2)正方體能完美體現(xiàn)立體幾何核心知識(shí).正方體包含了眾多的空間中基本的線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系，基于正方體模型，即可把立體幾何中的基本概念與基本定理梳理清楚.

(3)對(duì)正方體進(jìn)行切截、割補(bǔ)，可以得到多種多樣的柱體、臺(tái)體、錐體等，既可以拓展、豐富立體幾何的研究空間，又體現(xiàn)出圖形與知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.

(4)正方體是探索解題思路的重要突破口.很多立體幾何問(wèn)題由于線面關(guān)系復(fù)雜或圖形不容易畫出，容易導(dǎo)致思路阻塞，借助正方體模型，可以把研究對(duì)象置于更大的背景之中，從而在整體上更好地看清各部分之間的關(guān)系.

2. 正方體包含了眾多的點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，剖析正方體，有助于學(xué)生理解正方體，并高度重視正方體的作用.

(1)棱長(zhǎng)為a的正方體有以下常見特征

(i)正方體有6個(gè)面、8個(gè)頂點(diǎn)、12條棱，滿足面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)=2(歐拉定理)；

(ii)正方體的12條棱可以組成24對(duì)異面直線；

(iii)正方體有13條對(duì)稱軸、9個(gè)對(duì)稱面；

(iv)由正方體的頂點(diǎn)組成的三角形中，銳角三角形8個(gè)，直角三角形48個(gè)；

(v)正方體繞其對(duì)角線旋轉(zhuǎn)120°后，與原正方體位置重合；

(vii)一個(gè)平面截正方體，其截面可以是：三角形、正方形、菱形、矩形、梯形、平行四邊形、五邊形、六邊形.

(2)正方體中具有特殊意義的線、面往往單獨(dú)形成研究系列.例如正方體的棱、面對(duì)角線、體對(duì)角線通常簡(jiǎn)稱為正方體的三類線，正方體的底面、對(duì)角面、與同一頂點(diǎn)相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的截面，通常簡(jiǎn)稱為正方體的三類面，圍繞這些線與面可以編制出一系列有趣的空間問(wèn)題.

(i)求三類線兩兩所成角的大??；

(ii)求三類線與三類面間線面所成角的大?。?/p>

(iii)求三類面間分別組成的二面角的大??；

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)加工，會(huì)得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型――模式，將其有意識(shí)地記憶下來(lái)，并作有目的的簡(jiǎn)單編碼，當(dāng)遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來(lái)加以解決，這就是模式識(shí)別的解題策略[3].在教學(xué)實(shí)踐中，教師可充分發(fā)揮正方體模型的價(jià)值，積極高效地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行立體幾何的學(xué)習(xí).

2 正方體模型的開發(fā)和利用

“生”和“成”是構(gòu)成“生成”的兩個(gè)方面.“生”是指事物從無(wú)到有的過(guò)程，含有產(chǎn)生、出現(xiàn)、創(chuàng)造之意；“成”為形成之“成”或成果之“成”，強(qiáng)調(diào)事物變化的過(guò)程和結(jié)果.“生成”指事物的出現(xiàn)、產(chǎn)生與形成過(guò)程，具有過(guò)程性、發(fā)展性和創(chuàng)造性的意義，它是一種既有起點(diǎn)又有終點(diǎn)的過(guò)程.教師要鼓勵(lì)學(xué)生成為生成性資源的發(fā)掘者，正方體模型具有很好的開發(fā)和利用的價(jià)值.

2．1 提取

“有效提取數(shù)學(xué)信息”是指學(xué)生能夠在有限的時(shí)間內(nèi)從文字、圖表等信息呈現(xiàn)方式中提取準(zhǔn)確、必需的數(shù)學(xué)信息．正確提取數(shù)學(xué)信息的能力是學(xué)生分析與解決問(wèn)題的基本途徑，也是新課改理念下高中數(shù)學(xué)教學(xué)所必需關(guān)注的基本目標(biāo)．正方體具有豐富的點(diǎn)、線、面的關(guān)系，是一個(gè)很好的信息源，從中“提取”一部分加以研究，就可以“生成”許多優(yōu)質(zhì)的空間問(wèn)題.

2．1．1 生成概念辨析問(wèn)題

立體幾何中許多概念性問(wèn)題，都可以從正方體中找到相應(yīng)的模型.

例1(1)三棱錐的四個(gè)面最多可以有多少個(gè)直角三角形？

(2)三個(gè)內(nèi)角為直角的四邊形一定是矩形？

(3)一個(gè)二面角的兩個(gè)面分別與另一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，這兩個(gè)二面角的大小相等或互補(bǔ)？

圖1 圖2 圖3

分析：以正方體ABCD-A′B′C′D′為模型進(jìn)行有效提取.(1)如圖1，三棱錐D′-ABD的四個(gè)面均為直角三角形，故三棱錐的四個(gè)面最多可以有4個(gè)直角三角形；(2)如圖2，空間四邊形ABB′D′有三個(gè)內(nèi)角為直角，但它不是矩形；(3)如圖3，二面角A′-AD-C的兩個(gè)面分別與二面角D′-CC′-M的兩個(gè)面垂直，這兩個(gè)二面角的大小沒有必然聯(lián)系.

2．1．2 生成三視圖的問(wèn)題

三視圖問(wèn)題常常是由幾何體提取部分后逆向編制而成的.

例2(1)(2014全國(guó)1理12題)如圖4，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為( )

圖4

圖5

分析：如圖5，從邊長(zhǎng)為4的正方體中提取三棱錐D-ABC，再畫出三視圖就“生成”了這個(gè)高考題，其最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為DA=6，選B.

(2)某幾何體的三視圖如圖6所示，則該幾何體的體積為.

圖6

圖7

目前，全國(guó)各地設(shè)計(jì)的三視圖問(wèn)題的難度都有上升趨勢(shì)，實(shí)際上要設(shè)計(jì)一個(gè)這樣的問(wèn)題是容易的，但要學(xué)生逆向畫出直觀圖，的確有些強(qiáng)人所難.

2．1．3 生成角與距離的計(jì)算問(wèn)題

角與距離的計(jì)算是立體幾何的核心問(wèn)題，由正方體“生成”問(wèn)題是一條討巧的捷徑.

例3(2016年天津理17題)如圖8，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2.

(1)求證：EG∥平面ADF；

(2)求二面角O-EF-C的正弦值；

圖8

圖9

分析：如圖9，在棱長(zhǎng)為2的正方體中提取多面體EF-ABCD，就“生成”了2016年天津理17題，在這個(gè)正方體模型中，可輕松地解決相關(guān)問(wèn)題.

(1)求證：ADBC；

(2)求二面角B-AC-D的大小的余弦值；

圖10

(3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30角？若存在，確定E的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

圖11

分析：如圖11，在單位正方體中提取三棱錐A-BCD，就“生成”了2006年江西理20題.

2．1．4 生成球的切接問(wèn)題

正方體的內(nèi)切球和外接球都是很好的研究對(duì)象.

例5如圖12，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，M、N分別為AB、CC1的中點(diǎn)，且MN與球交于E、F兩點(diǎn)，線段EF長(zhǎng)為( )

圖12

例6(2007年復(fù)旦自主招生題)棱長(zhǎng)為a的正方體內(nèi)有兩球互相外切，且兩球各與正方體的三個(gè)面相切，則兩球的半徑之和為( )

圖13

2．2 嵌入

“嵌入”的字面解釋是“牢固地或深深地固定或樹立”，如果一個(gè)空間問(wèn)題的研究對(duì)象可以置于一個(gè)正方體中，那么可以從整體上更好地看清各部分之間的內(nèi)在關(guān)系.“嵌入”和“提取”是矛盾對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面，是相輔相成的.

圖14

評(píng)注：本題考查球與正三棱錐的切接問(wèn)題，若直接利用三棱錐來(lái)考慮難度較大,注意到條件中的垂直關(guān)系,把三棱錐轉(zhuǎn)化為正方體來(lái)考慮就容易多了.

例8(2009年江西理9題)如圖15，正四面體ABCD的頂點(diǎn)A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為( )

A．O-ABC是正三棱錐

B．直線OB∥平面ACD

C．直線AD與OB所成的角是45°

D．二面角D-OB-A為45°

圖16

分析：如圖16，將正四面體ABCD“嵌入”正方體中，則正四面體的棱為其所在正方體的面對(duì)角線，從正方體中觀察此圖，易知直線OB∥平面ACD是不可能的.選B.

評(píng)注：利用正方體與正四面體之間的“蘊(yùn)含”關(guān)系，借助正方體模型可輕松解決正四面體中點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系.

例9(2006年江蘇9題)兩相同的正四棱錐組成如圖17所示的幾何體，可放在棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有( )

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)窮多個(gè)

圖17

圖18

分析：如圖18，由于兩個(gè)正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心為正四棱錐底面正方形ABCD中心，由對(duì)稱性知正四棱錐的高為正方體棱長(zhǎng)的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為考察邊長(zhǎng)為1的正方形可以有多少個(gè)內(nèi)接正方形，顯然有無(wú)窮多個(gè).選D.

評(píng)注：正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會(huì)將空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化.

2．3 運(yùn)動(dòng)

“動(dòng)態(tài)”立體幾何問(wèn)題由于注入了某些變化的點(diǎn)、線、面、體等元素，常常集“知識(shí)的交匯性與綜合性、方法的靈活性與多向性、思維的變通性與深刻性”于一體，使立體幾何問(wèn)題更富思辨性、開放性和挑戰(zhàn)性，這與“以能力立意”的高考命題指導(dǎo)思想和“將知識(shí)、能力與素質(zhì)的考查融為一體，全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的高考數(shù)學(xué)命題原則相吻合.將正方體中的某些要素“動(dòng)”起來(lái)，甚至將整個(gè)正方體“動(dòng)”起來(lái)，是一個(gè)很“時(shí)髦”的“生成”手段.

例10(2017年4月金華十校模考題)如圖19，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)M、N分別是直線CD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是△A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界)，記直線D1P與MN所成角為θ，若θ的最小值為則點(diǎn)P的軌跡是( ).

圖19

A.圓的一部分 B.橢圓的一部分

C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分

例11如圖20，直線l⊥平面α，垂足為O，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)A是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B1在平面α內(nèi)，則點(diǎn)O到CD1中點(diǎn)P的距離的最大值為( )

圖20

圖21

圖22

圖23

如圖23，為了便于觀察，我們將OE下移至O′E′.當(dāng)正方體ABCD-A1B1C1D1繞著OA旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，平面C1D1DC的法線OE(也即O′E′)繞著OA旋轉(zhuǎn)一周時(shí)形成一個(gè)圓錐的側(cè)面.記平面C1D1DC的法線O′E′與平面α的法線OH所成角的最小值為β，平面C1D1DC與平面α所成

教學(xué)是在資源的不斷“生成”與“利用”的反復(fù)交替過(guò)程中進(jìn)行的，是在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，推動(dòng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和知識(shí)建構(gòu).教師作為教學(xué)信息的重組者，在開發(fā)和利用動(dòng)態(tài)生成性資源時(shí)，應(yīng)努力激發(fā)學(xué)生的動(dòng)機(jī)、尊重學(xué)生的興趣、把握信息的價(jià)值、推動(dòng)信息的增值，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的動(dòng)態(tài)生成.

從雙基教學(xué)的產(chǎn)生，到素質(zhì)教育、情感態(tài)度價(jià)值觀、學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)等一系列理念的提出、研究和實(shí)施，不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)變化發(fā)展的過(guò)程中，教育教學(xué)目標(biāo)的實(shí)施一步步具體、明確、可操作，充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)教育研究的不斷深入，體現(xiàn)了教育研究水平的不斷提高.布魯納曾經(jīng)指出：“我們教師的目的在于：我們應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生牢固地掌握學(xué)科內(nèi)容.我們還應(yīng)當(dāng)盡可能使學(xué)生成為自主而自動(dòng)的思想家.這樣的學(xué)生，當(dāng)他們?cè)谡綄W(xué)校教育結(jié)束之后，將會(huì)獨(dú)立地向前邁進(jìn).”