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        正方體模型的開發(fā)和利用

        2017-12-24 08:40:06周順鈿
        數學通報 2017年8期
        關鍵詞:棱長三棱錐二面角

        周順鈿

        (浙江省杭州高級中學 310003)

        2016年以來,“核心素養(yǎng)”成為教育界關注的一個焦點.在“基本運算、邏輯思維、空間想象”的“老”三大能力和“數學抽象、數學建模、數據分析”的“新”三大能力的基礎上,提出了數學核心素養(yǎng)的六個要素:數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.章建躍先生指出:為培養(yǎng)和發(fā)展學生的數學核心素養(yǎng),需要我們扎實開展數學教育的實踐研究,搞出一批“核心素養(yǎng)統(tǒng)領下的數學教學案例”,使抽象的“核心素養(yǎng)”獲得具體事例的支撐[1].

        “數學建模”包含模型建立和模型應用兩大方面,是數學核心素養(yǎng)之一.單墫先生說:“模式教育容易產生定勢思維,束縛創(chuàng)造性,但完全沒有模式,也使初學者難以把握,正如圍棋中的定式,需要根據情況靈活應用、不可拘泥.”[2]正方體就是一個極具價值的空間模型,掌握正方體的結構特征,以正方體為模型可以“生成”許多優(yōu)美的空間問題,許多空間問題如果將它置于正方體模型之中,其結果甚至可以一望而解.

        1 正方體模型的價值分析

        1.正方體是空間圖形中最特殊且內涵最豐富的幾何圖形,它享有“萬能模型”的美稱.正方體作為立體幾何教學的一個關鍵突破口,是因為它具有如下四個特征.

        (1)正方體是學生最早接觸和最熟悉的空間圖形,具有很強的空間感.借用它進行立體幾何教學,有利于學生建立空間概念、克服畏難情緒,有助于學生觀察點、線、面位置,降低思維難度.

        (2)正方體能完美體現立體幾何核心知識.正方體包含了眾多的空間中基本的線線關系、線面關系、面面關系,基于正方體模型,即可把立體幾何中的基本概念與基本定理梳理清楚.

        (3)對正方體進行切截、割補,可以得到多種多樣的柱體、臺體、錐體等,既可以拓展、豐富立體幾何的研究空間,又體現出圖形與知識間的內在聯(lián)系.

        (4)正方體是探索解題思路的重要突破口.很多立體幾何問題由于線面關系復雜或圖形不容易畫出,容易導致思路阻塞,借助正方體模型,可以把研究對象置于更大的背景之中,從而在整體上更好地看清各部分之間的關系.

        2. 正方體包含了眾多的點、線、面及其相互關系,剖析正方體,有助于學生理解正方體,并高度重視正方體的作用.

        (1)棱長為a的正方體有以下常見特征

        (i)正方體有6個面、8個頂點、12條棱,滿足面數+頂點數-棱數=2(歐拉定理);

        (ii)正方體的12條棱可以組成24對異面直線;

        (iii)正方體有13條對稱軸、9個對稱面;

        (iv)由正方體的頂點組成的三角形中,銳角三角形8個,直角三角形48個;

        (v)正方體繞其對角線旋轉120°后,與原正方體位置重合;

        (vii)一個平面截正方體,其截面可以是:三角形、正方形、菱形、矩形、梯形、平行四邊形、五邊形、六邊形.

        (2)正方體中具有特殊意義的線、面往往單獨形成研究系列.例如正方體的棱、面對角線、體對角線通常簡稱為正方體的三類線,正方體的底面、對角面、與同一頂點相鄰的三個頂點構成的截面,通常簡稱為正方體的三類面,圍繞這些線與面可以編制出一系列有趣的空間問題.

        (i)求三類線兩兩所成角的大??;

        (ii)求三類線與三類面間線面所成角的大??;

        (iii)求三類面間分別組成的二面角的大小;

        在學習數學的過程中,所積累的知識經驗經過加工,會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結構與重要類型――模式,將其有意識地記憶下來,并作有目的的簡單編碼,當遇到一個新問題時,我們辨認它屬于哪一類基本模式,聯(lián)想起一個已經解決的問題,以此為索引,在記憶貯存中提取出相應的方法來加以解決,這就是模式識別的解題策略[3].在教學實踐中,教師可充分發(fā)揮正方體模型的價值,積極高效地引導學生進行立體幾何的學習.

        2 正方體模型的開發(fā)和利用

        “生”和“成”是構成“生成”的兩個方面.“生”是指事物從無到有的過程,含有產生、出現、創(chuàng)造之意;“成”為形成之“成”或成果之“成”,強調事物變化的過程和結果.“生成”指事物的出現、產生與形成過程,具有過程性、發(fā)展性和創(chuàng)造性的意義,它是一種既有起點又有終點的過程.教師要鼓勵學生成為生成性資源的發(fā)掘者,正方體模型具有很好的開發(fā)和利用的價值.

        2.1 提取

        “有效提取數學信息”是指學生能夠在有限的時間內從文字、圖表等信息呈現方式中提取準確、必需的數學信息.正確提取數學信息的能力是學生分析與解決問題的基本途徑,也是新課改理念下高中數學教學所必需關注的基本目標.正方體具有豐富的點、線、面的關系,是一個很好的信息源,從中“提取”一部分加以研究,就可以“生成”許多優(yōu)質的空間問題.

        2.1.1 生成概念辨析問題

        立體幾何中許多概念性問題,都可以從正方體中找到相應的模型.

        例1(1)三棱錐的四個面最多可以有多少個直角三角形?

        (2)三個內角為直角的四邊形一定是矩形?

        (3)一個二面角的兩個面分別與另一個二面角的兩個面垂直,這兩個二面角的大小相等或互補?

        圖1 圖2 圖3

        分析:以正方體ABCD-A′B′C′D′為模型進行有效提取.(1)如圖1,三棱錐D′-ABD的四個面均為直角三角形,故三棱錐的四個面最多可以有4個直角三角形;(2)如圖2,空間四邊形ABB′D′有三個內角為直角,但它不是矩形;(3)如圖3,二面角A′-AD-C的兩個面分別與二面角D′-CC′-M的兩個面垂直,這兩個二面角的大小沒有必然聯(lián)系.

        2.1.2 生成三視圖的問題

        三視圖問題常常是由幾何體提取部分后逆向編制而成的.

        例2(1)(2014全國1理12題)如圖4,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長的棱的長度為( )

        圖4

        圖5

        分析:如圖5,從邊長為4的正方體中提取三棱錐D-ABC,再畫出三視圖就“生成”了這個高考題,其最長的棱長為DA=6,選B.

        (2)某幾何體的三視圖如圖6所示,則該幾何體的體積為.

        圖6

        圖7

        目前,全國各地設計的三視圖問題的難度都有上升趨勢,實際上要設計一個這樣的問題是容易的,但要學生逆向畫出直觀圖,的確有些強人所難.

        2.1.3 生成角與距離的計算問題

        角與距離的計算是立體幾何的核心問題,由正方體“生成”問題是一條討巧的捷徑.

        例3(2016年天津理17題)如圖8,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點G為AB的中點,AB=BE=2.

        (1)求證:EG∥平面ADF;

        (2)求二面角O-EF-C的正弦值;

        圖8

        圖9

        分析:如圖9,在棱長為2的正方體中提取多面體EF-ABCD,就“生成”了2016年天津理17題,在這個正方體模型中,可輕松地解決相關問題.

        (1)求證:ADBC;

        (2)求二面角B-AC-D的大小的余弦值;

        圖10

        (3)在直線AC上是否存在一點E,使ED與面BCD成30角?若存在,確定E的位置;若不存在,說明理由.

        圖11

        分析:如圖11,在單位正方體中提取三棱錐A-BCD,就“生成”了2006年江西理20題.

        2.1.4 生成球的切接問題

        正方體的內切球和外接球都是很好的研究對象.

        例5如圖12,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1內有一個內切球,M、N分別為AB、CC1的中點,且MN與球交于E、F兩點,線段EF長為( )

        圖12

        例6(2007年復旦自主招生題)棱長為a的正方體內有兩球互相外切,且兩球各與正方體的三個面相切,則兩球的半徑之和為( )

        圖13

        2.2 嵌入

        “嵌入”的字面解釋是“牢固地或深深地固定或樹立”,如果一個空間問題的研究對象可以置于一個正方體中,那么可以從整體上更好地看清各部分之間的內在關系.“嵌入”和“提取”是矛盾對立統(tǒng)一的兩個方面,是相輔相成的.

        圖14

        評注:本題考查球與正三棱錐的切接問題,若直接利用三棱錐來考慮難度較大,注意到條件中的垂直關系,把三棱錐轉化為正方體來考慮就容易多了.

        例8(2009年江西理9題)如圖15,正四面體ABCD的頂點A,B,C分別在兩兩垂直的三條射線Ox,Oy,Oz上,則在下列命題中,錯誤的為( )

        A.O-ABC是正三棱錐

        B.直線OB∥平面ACD

        C.直線AD與OB所成的角是45°

        D.二面角D-OB-A為45°

        圖16

        分析:如圖16,將正四面體ABCD“嵌入”正方體中,則正四面體的棱為其所在正方體的面對角線,從正方體中觀察此圖,易知直線OB∥平面ACD是不可能的.選B.

        評注:利用正方體與正四面體之間的“蘊含”關系,借助正方體模型可輕松解決正四面體中點、線、面之間的位置關系.

        例9(2006年江蘇9題)兩相同的正四棱錐組成如圖17所示的幾何體,可放在棱長為1的正方體內,使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個平面平行,且各頂點均在正方體的面上,則這樣的幾何體體積的可能值有( )

        A.1個 B.2個 C.3個 D.無窮多個

        圖17

        圖18

        分析:如圖18,由于兩個正四棱錐相同,所以所求幾何體的中心為正四棱錐底面正方形ABCD中心,由對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半,影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形ABCD的面積,于是問題轉化為考察邊長為1的正方形可以有多少個內接正方形,顯然有無窮多個.選D.

        評注:正方體是大家熟悉的幾何體,它的一些內接或外接圖形需要一定的空間想象能力,要學會將空間問題向平面問題轉化.

        2.3 運動

        “動態(tài)”立體幾何問題由于注入了某些變化的點、線、面、體等元素,常常集“知識的交匯性與綜合性、方法的靈活性與多向性、思維的變通性與深刻性”于一體,使立體幾何問題更富思辨性、開放性和挑戰(zhàn)性,這與“以能力立意”的高考命題指導思想和“將知識、能力與素質的考查融為一體,全面檢測考生的數學素養(yǎng)”的高考數學命題原則相吻合.將正方體中的某些要素“動”起來,甚至將整個正方體“動”起來,是一個很“時髦”的“生成”手段.

        例10(2017年4月金華十校??碱})如圖19,在正方體ABCDA1B1C1D1中,點M、N分別是直線CD、AB上的動點,點P是△A1C1D內的動點(不包括邊界),記直線D1P與MN所成角為θ,若θ的最小值為則點P的軌跡是( ).

        圖19

        A.圓的一部分 B.橢圓的一部分

        C.拋物線的一部分 D.雙曲線的一部分

        例11如圖20,直線l⊥平面α,垂足為O,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點A是直線l上的動點,點B1在平面α內,則點O到CD1中點P的距離的最大值為( )

        圖20

        圖21

        圖22

        圖23

        如圖23,為了便于觀察,我們將OE下移至O′E′.當正方體ABCD-A1B1C1D1繞著OA旋轉一周時,平面C1D1DC的法線OE(也即O′E′)繞著OA旋轉一周時形成一個圓錐的側面.記平面C1D1DC的法線O′E′與平面α的法線OH所成角的最小值為β,平面C1D1DC與平面α所成

        教學是在資源的不斷“生成”與“利用”的反復交替過程中進行的,是在學生已有經驗的基礎上,推動學生的認知發(fā)展和知識建構.教師作為教學信息的重組者,在開發(fā)和利用動態(tài)生成性資源時,應努力激發(fā)學生的動機、尊重學生的興趣、把握信息的價值、推動信息的增值,實現課堂教學的動態(tài)生成.

        從雙基教學的產生,到素質教育、情感態(tài)度價值觀、學生學科核心素養(yǎng)等一系列理念的提出、研究和實施,不難發(fā)現,在這個變化發(fā)展的過程中,教育教學目標的實施一步步具體、明確、可操作,充分體現了基礎教育研究的不斷深入,體現了教育研究水平的不斷提高.布魯納曾經指出:“我們教師的目的在于:我們應當盡可能使學生牢固地掌握學科內容.我們還應當盡可能使學生成為自主而自動的思想家.這樣的學生,當他們在正式學校教育結束之后,將會獨立地向前邁進.”

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