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        剖析“一個(gè)漂亮的證明”中所隱含的錯(cuò)誤

        2017-12-24 08:40:26
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年8期
        關(guān)鍵詞:真假三邊證法

        賀 斌 閔 華

        (湖北省谷城縣第三中學(xué) 441700)

        1983年第24屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽最后一題為

        例1a,b,c是三角形的三邊長,求證:

        a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0,

        并說明上式中的等號(hào)在何時(shí)成立.

        文[1]在回顧、展示了楊克昌老師于1986年給出的巧妙證明和當(dāng)年參賽選手因證法簡潔巧妙而獲得特別獎(jiǎng)的聯(lián)邦德國學(xué)生伯爾哈德·李的證法之后,寫道:“可喜的是,在1984年3月,湖南臨澧一中高二學(xué)生楊承紅提出一個(gè)漂亮的證明,是基于下述原理:欲證A≥B,如確認(rèn)它與C≥D同真假,則只要證A+C≥B+D就可以了.由于I=a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)≥0與I′=b2a(b-a)+c2b(c-b)+a2c(a-c)≥0同真假,而I+I′=ab(a-b)2+bc(b-c)2+ca(c-a)2≥0,故原不等式成立.”

        如果上述證明正確,那它的確稱得上是“漂亮的證明”.但令人遺憾的是,上述證明錯(cuò)了!錯(cuò)在沒有弄清“輪換對(duì)稱”與“對(duì)稱”之間的差異,從而造成證明無效(原結(jié)論可能正確,也可能不正確!).反例如下:

        例2設(shè)a,b,c是三角形的三邊長,求證(對(duì)于任意的a,b,c有):

        例1、例2不等式左邊都是關(guān)于a,b,c的輪換式,它不是關(guān)于a,b,c的對(duì)稱式.輪換對(duì)稱式通常只具有對(duì)其所涉及的所有字母,按某一順序依次輪換,其表達(dá)式不變的特性;而對(duì)稱式則具有對(duì)其所涉及的所有字母,任意交換兩字母的順序,其表達(dá)式都不變的性質(zhì).所以,當(dāng)證明涉及輪換對(duì)稱式時(shí),如果我們按另一種順序輪換其中字母而得到另一個(gè)類似式子,那么所得式子與原來式子對(duì)于所涉字母的同一組值,兩個(gè)式子的值不一定相等.此時(shí)文[1]所謂原理中所涉及的兩個(gè)不等式A≥B與C≥D完全可能出現(xiàn):對(duì)于所涉字母的某一組值,此真彼假;而對(duì)于所涉字母的另一組值,此假彼真.此時(shí)“A≥B恒成立”與“C≥D恒成立”(注意:“恒成立”應(yīng)是文[1]所謂原理的本意!)必然同假!此種情況下運(yùn)用文[1]所謂原理必然得出錯(cuò)誤結(jié)論(例2正是如此).

        一般地,設(shè)A=A(a,b,c),B=B(a,b,c),C=C(a,b,c),D=D(a,b,c),其中所有(a,b,c)取值的集合為E.若A≥B恒成立與C≥D恒成立同真同假,則從A+C≥B+D恒成立并不能推出A≥B恒成立.這是因?yàn)椋寒?dāng)A≥B恒成立與C≥D恒成立同假時(shí),完全有可能存在集合E的非空真子集F,G(其中F∩G=?,F(xiàn)∪G=E),使得?(a,b,c)∈F有A

        如果A≥B恒成立與C≥D恒成立同真,那么我們的任務(wù)已經(jīng)完成,完全沒必要按照文[1]所謂原理所說的那樣,繞著彎回來再搞個(gè)所謂的證明.值得注意的是:要判斷兩個(gè)命題的同真同假性往往比較容易,但要判斷兩個(gè)命題究竟是同真還是同假卻并不容易!

        類似文[1]的錯(cuò)誤,在文[3]也存在.此類錯(cuò)誤比較隱蔽,而且時(shí)有發(fā)生,很有糾正必要.

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