鄭雪靜 陳清華

(1福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 350117；2泉州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 362000)

今年是恢復(fù)高考40周年，數(shù)學(xué)作為高考的重要學(xué)科，也走過了40年的歷程，回首40年高考，我們就建國(guó)以來高考數(shù)學(xué)試題的演變進(jìn)行梳理，為即將到來的新一輪高中數(shù)學(xué)課程改革在命題與考試方面提供借鑒.

1 民國(guó)時(shí)期(1912-1949)高考數(shù)學(xué)簡(jiǎn)介

民國(guó)時(shí)期的高考大都是高校單獨(dú)命題招考，類似于現(xiàn)在的自主招生．抗日戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期的1938～1940年為適應(yīng)戰(zhàn)時(shí)需要，保證招生質(zhì)量，曾實(shí)行三年的國(guó)立各院校統(tǒng)一招生，1941年因抗戰(zhàn)形勢(shì)緊迫被中止統(tǒng)一招生，之后部分高校采用聯(lián)合招生，比如1947年南開大學(xué)、清華大學(xué)、北京大學(xué)三校實(shí)行聯(lián)合招生．[1]這一時(shí)期的高考數(shù)學(xué)試卷多為用英文表達(dá)，這與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教育采用英文原版教材和使用英文授課有關(guān)系．考查內(nèi)容包括：初等代數(shù)、平面幾何和立體幾何、三角函數(shù)、解析幾何、高等代數(shù)等五部分，其中前三部分是必考內(nèi)容，后兩部分根據(jù)考生報(bào)考專業(yè)不同，考試題目會(huì)有差別．試題數(shù)目以一般考生能在規(guī)定時(shí)數(shù)內(nèi)做完試卷為準(zhǔn)(數(shù)學(xué)3個(gè)小時(shí))[2]，比如1923年國(guó)立北京大學(xué)高考理科試卷[3]，該試卷共10道題，其中初等代數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何各3題，立體幾何1題，相對(duì)于現(xiàn)在高考試題，其難度不大，主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查的內(nèi)容和方式相對(duì)單一.

例1【1923年高考國(guó)立北京大學(xué)卷·理6】

Ifα，β，care the roots of the equationx3-px2+qx-c=0，find the value ofα2+β2+c2．

解析：若α，β，c是三次方程x3-px2+qx-c=0的三個(gè)根，求α2+β2+c2的值．該試題屬于初等代數(shù)問題，考查方程的根及相關(guān)運(yùn)算．依題意α，β，c是方程的根，則(x-α)(x-β)(x-c)=0，將式子展開與x3-px2+qx-c=0進(jìn)行系數(shù)對(duì)比，得α+β+c=p，αβ+βc+cα=q，再由α2+β2+c2=(α+β+c)2-2(αβ+βc+cα)，可得α2+β2+c2=p2-2q．

2 建國(guó)以來高考數(shù)學(xué)命題與考試方式簡(jiǎn)況

建國(guó)以來，高考數(shù)學(xué)主要是全國(guó)統(tǒng)一命題與省市自主命題兩種命題形式．1949年大部分高校沿襲民國(guó)時(shí)期單獨(dú)招考的方法，少數(shù)高校采用聯(lián)合招生的形式．1950年和1951年的高考有分區(qū)(東北區(qū)、西北區(qū)、華北區(qū)、中南區(qū)、西南區(qū)、華東區(qū))聯(lián)考也有統(tǒng)一招考．[4]1952年到1965年維持了14年的全國(guó)統(tǒng)一命題制度，1966～1976年十年“文化大革命”取消高考，1977年恢復(fù)高考，當(dāng)時(shí)由于來不及組織高考試卷命題，最終由各省市自主命題，1978年恢復(fù)全國(guó)統(tǒng)一命題．[5]直至1985年上海率先實(shí)行自主命題，2002年北京也實(shí)行自主命題．從2004年起，開始分省命題，以后分省自主命題的范圍不斷擴(kuò)大，而到2016年全國(guó)26個(gè)省又回歸全國(guó)統(tǒng)一命題，山東部分采用全國(guó)卷(山東高考數(shù)學(xué)自主命題)，北京、天津、上海、江蘇、浙江五省市仍自主命題.

值得紀(jì)念的是1952年，那年是全國(guó)高等學(xué)校實(shí)行統(tǒng)一命題考試的第一年，它形成了高考制度的基本框架，開啟了中國(guó)高考的時(shí)代[4]．那年的高考在8月15、16、17日舉行，每個(gè)科目考試時(shí)間為1小時(shí)40分鐘．每個(gè)考生必須參加8個(gè)科目的考試，具體考試科目和時(shí)間見表1．1952年高考錄取時(shí)高校根據(jù)專業(yè)要求，按各科不同比例計(jì)分，但此方法不能很好地體現(xiàn)各專業(yè)特點(diǎn)．[6]因此，1954年高考科目設(shè)置成文、理兩類，1955年改成文、理、農(nóng)醫(yī)三類，1964年再改成文、理兩類．1978年恢復(fù)高考后也是按文、理兩類進(jìn)行科目設(shè)置，直至2014年上海、浙江率先進(jìn)入高考文理不分科試點(diǎn)．

表1 1952年全國(guó)高等學(xué)校統(tǒng)一招生考試時(shí)間和科目

3 建國(guó)以來高考數(shù)學(xué)試題的演變

建國(guó)以來高考數(shù)學(xué)試題經(jīng)歷了多重演變，我們主要從題型與題量、試題的背景、試題的性質(zhì)三個(gè)方面進(jìn)行分析.

3.1 題型與題量的演度

以全國(guó)統(tǒng)考卷，有文、理卷的以理科卷為統(tǒng)計(jì)對(duì)象，就建國(guó)以來高考數(shù)學(xué)試卷[7]的題型與題量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，見表2．

表2 建國(guó)以來全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷(理)題型與題量

表2顯示，建國(guó)以來，高考數(shù)學(xué)試題有選擇題、填空題、解答題三種題型．1950年高考數(shù)學(xué)試卷分為兩組：甲組和乙丙組(類似于現(xiàn)在的全國(guó)Ⅰ、Ⅱ卷)，題目分為兩部分：第一部分是5道單項(xiàng)選擇題和5道填空題；第二部分是5道解答題．1951年和1952年也分為兩部分，但題量達(dá)到24題．1953～1961年試卷一般由5道大題組成，有些大題再分小題，如第1大題以十個(gè)天干作為題名再設(shè)置甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬等小題，有些試卷有附加題．1951～1982年的試題都是解答題，題量一般在10道大題左右，到1983年開始有所增加，題量在13～28題之間，并且重新出現(xiàn)單項(xiàng)選擇題，選擇題題量在5～18題之間．1984年開始重新出現(xiàn)填空題，雖然1984～1988年試卷中第二大題沒有明確是填空題，但題目只要求直接寫出結(jié)果，因此我們把它當(dāng)成填空題，題量在4～7題之間．2000年至今試題總量一般是22題，其中12道單項(xiàng)選擇題、4道填空題、6道大題，有些大題有2～3個(gè)小題．特殊的，江蘇省從2008年開始取消選擇題．另外，1977年恢復(fù)高考后，有幾年在高考試卷最后設(shè)置參考題或附加題，主要考查微積分知識(shí)，其成績(jī)一般不計(jì)入總分，只作為招生時(shí)的參考.

3.2 試題背景的演變

高考數(shù)學(xué)試題背景的來源非常廣泛，有教材背景、高等數(shù)學(xué)背景、競(jìng)賽數(shù)學(xué)背景、學(xué)科交叉背景、社會(huì)生活背景等等，我們從數(shù)學(xué)自身的性質(zhì)出發(fā)，對(duì)建國(guó)以來高考數(shù)學(xué)試題從純數(shù)學(xué)背景到應(yīng)用數(shù)學(xué)背景的演變進(jìn)行分析，同時(shí)對(duì)目前高考數(shù)學(xué)兩類特殊背景：“數(shù)學(xué)閱讀理解背景、數(shù)學(xué)文化背景”加以剖析.

(1)純數(shù)學(xué)背景

建國(guó)后，我們主要學(xué)習(xí)蘇聯(lián)嚴(yán)謹(jǐn)、形式化的數(shù)學(xué)風(fēng)格，這一時(shí)期的高考數(shù)學(xué)試題主要是純數(shù)學(xué)背景，相比于現(xiàn)今高考數(shù)學(xué)試題，難度不大．在那個(gè)為實(shí)現(xiàn)“四個(gè)現(xiàn)代化”培養(yǎng)又紅又專人才的年代，強(qiáng)調(diào)的是打好基礎(chǔ)、掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，強(qiáng)調(diào)的是對(duì)概念的記憶和命題的理解，掌握證明和運(yùn)算的技能．那時(shí)候是精英教育，1978年有610萬考生，錄取人數(shù)40.2萬，錄取率僅7%．[8]之后，為了提高區(qū)分度，數(shù)學(xué)試題的難度有所提高，有些試題內(nèi)容甚至涉及微積分的知識(shí)．到了20世紀(jì)80年代初期，國(guó)際上對(duì)數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)能力型、應(yīng)用型人才的關(guān)注影響著我國(guó)，高考數(shù)學(xué)試題在1984年出現(xiàn)一個(gè)歷史性轉(zhuǎn)折，提出“出活題、考基礎(chǔ)、考能力”的命題指導(dǎo)思想．[9]但主要還是一些純數(shù)學(xué)背景試題，重點(diǎn)考查邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、空間想象能力三大能力.

例2【1984年高考全國(guó)卷·理六(1)】

設(shè)p≠0，實(shí)系數(shù)一元二次方程z2-2pz+q=0有兩個(gè)虛數(shù)根z1，z2．再設(shè)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是Z1，Z2．求以Z1，Z2為焦點(diǎn)且經(jīng)過原點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng).

解析：該試題以一元二次方程、復(fù)數(shù)、橢圓等純數(shù)學(xué)知識(shí)為背景，考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)加減法幾何意義、橢圓性質(zhì)．由于p、q為實(shí)數(shù)，p≠0，z1，z2為虛數(shù)，因此Δ=(-2p)2-4q<0，即q>p2>0．由于兩個(gè)虛數(shù)根z1，z2是共軛復(fù)數(shù)，所以它們?cè)趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z1，Z2會(huì)關(guān)于x軸對(duì)稱，從而橢圓短軸在x軸上．又因?yàn)闄E圓經(jīng)過原點(diǎn)，因此原點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，從而短軸長(zhǎng)為：2b=|z1+z2|=2|p|；

(2)應(yīng)用數(shù)學(xué)背景

把數(shù)學(xué)應(yīng)用當(dāng)作實(shí)用主義、短視行為進(jìn)行批判的情形，直到1990年代開始才有所改觀．張奠宙先生曾指出：國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)家多次評(píng)論我國(guó)學(xué)生考試成績(jī)往往不錯(cuò), 但一到寫論文階段就顯得力不從心．這是我們數(shù)學(xué)教育上的一種通病，可能與我們的試題單一、純數(shù)學(xué)化不無關(guān)系．1992年冬張奠宙、嚴(yán)士健、蘇式冬走訪了國(guó)家考試中心，建議在高考題中應(yīng)該有一些應(yīng)用題．他們說：這些年來，高考八股化的趨勢(shì)并未得到遏制，[10]高考應(yīng)該按照九年制義務(wù)教育數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的要求：“要使學(xué)生受到把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)．”[11]這與新一輪高中課程改革提出的數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是一脈相承的．即：一個(gè)人經(jīng)過數(shù)學(xué)教育之后，即便他將來從事的工作與數(shù)學(xué)無關(guān)，也會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界．[12]建國(guó)以來的高考數(shù)學(xué)只是零星的出現(xiàn)一些應(yīng)用背景的試題，比如1960年有一道求船與燈塔距離的問題，1979年全國(guó)高考理科卷有一道國(guó)防海岸線的問題(例3)，1995年高考全國(guó)卷理科卷第24題、文科卷第25題有一道關(guān)于淡水魚養(yǎng)殖的函數(shù)模型問題．此后的高考數(shù)學(xué)試卷，或多或少均有一些應(yīng)用背景的試題出現(xiàn)．1997年啟動(dòng)高中課程改革試點(diǎn)工作后，應(yīng)用問題的形式更加靈活多樣，背景更加豐富，在應(yīng)用背景、試題設(shè)問方面都有所創(chuàng)新．2001～2007年新課程教育改革期間，增加了概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)，這一階段主要以概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容為應(yīng)用背景．之后，應(yīng)用背景更注意源于社會(huì)、源于生活的真實(shí)情境[13]，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于社會(huì)、生活，又應(yīng)用于社會(huì)、生活中，把冰冷的數(shù)學(xué)回歸生動(dòng)、有趣、現(xiàn)實(shí)的情境中，更加有效地考查學(xué)生抽象、概括、建立數(shù)學(xué)模型的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

例3【1979年高考全國(guó)卷·理五】

外國(guó)船只，除特許外，不得進(jìn)入離我海岸線D里以內(nèi)的區(qū)域．設(shè)A及B是我們的觀測(cè)站，A及B間的距離為S里，海岸線是過A、B的直線，一外國(guó)船只在P點(diǎn)，在A站測(cè)得∠BAP=α，同時(shí)在B站測(cè)得∠ABP=β．問α及β滿足什么簡(jiǎn)單的三角函數(shù)值不等式，就應(yīng)當(dāng)向此未經(jīng)特許的外國(guó)船只發(fā)出警告，命令退出我海域？

圖1

(3)兩類特殊背景

①數(shù)學(xué)閱讀理解背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》指出：高中數(shù)學(xué)課程還倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式．[14]這里強(qiáng)調(diào)了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力的培養(yǎng)，閱讀理解背景試題成為近幾年高考試題的一個(gè)亮點(diǎn)，這類試題一般結(jié)合文字語言、圖形語言、符號(hào)語言進(jìn)行敘述，題目比較長(zhǎng)，信息量和閱讀量一般比較大，考查學(xué)生閱讀理解能力、語言轉(zhuǎn)化和表達(dá)的能力，體現(xiàn)“多想少算”的理念，是對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)和能力的考查，成為高考的熱點(diǎn)題型之一.

分析歷年高考數(shù)學(xué)閱讀理解背景試題，主要有以下幾種類型：以教材內(nèi)容為閱讀材料，要求學(xué)生揭示所學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，掌握思想方法；呈現(xiàn)一些模擬學(xué)生解題過程的閱讀材料，讓考生判斷解題過程的正誤，正確的寫出解題依據(jù)，錯(cuò)誤的寫出正確的解答過程；給定一些文字、圖表的閱讀材料，讓考生通過歸納、探索，提取相關(guān)信息，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論；提供新定義、新定理要求考生閱讀后解決新問題．[15]或是由一些相互聯(lián)系的條件組成的具有邏輯推理的背景，要求考生根據(jù)相關(guān)邏輯知識(shí)進(jìn)行推理分析(比如2014年高考全國(guó)卷理科、文科第14題填空題：要求根據(jù)甲乙丙的陳述，推斷乙去過的城市)．在信息化時(shí)代、大數(shù)據(jù)時(shí)代，從海量文字、數(shù)據(jù)、圖表中進(jìn)行閱讀理解提煉是一項(xiàng)基本能力.

例4【2016年高考新課標(biāo)Ⅰ卷·理16】

某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元．

解析：該試題給出一些文字閱讀材料，學(xué)生要能夠通過閱讀提取相關(guān)信息，建立數(shù)據(jù)間的關(guān)系，并且懂得利用數(shù)形結(jié)合的方法直觀看出利潤(rùn)最大值的情況．主要考查不等式、線性規(guī)劃、最值．設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，生產(chǎn)B產(chǎn)品y件，利潤(rùn)之和為z，由相關(guān)數(shù)據(jù)，可建立關(guān)系式：1.5x+0.5y=150，x+0.3y=90，5x+3y=600(x≥0,y≥0)，在直角坐標(biāo)系中畫出滿足關(guān)系式的區(qū)域圖，即可找到目標(biāo)函數(shù)z=2100x+900y當(dāng)x=60，y=100的時(shí)候取得最大值216000，從而得到生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和最大值為216000元.

②數(shù)學(xué)文化背景

關(guān)于數(shù)學(xué)文化背景試題，雖然它具有數(shù)學(xué)閱讀理解背景的特點(diǎn)，但由于這類試題是近年高考的熱點(diǎn)題型，特別是自教育部考試中心《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》([2016]179號(hào))指出：“高考在能力要求內(nèi)涵方面增加數(shù)學(xué)文化的要求”之后，數(shù)學(xué)文化更是引起教育界的廣泛關(guān)注，滲透數(shù)學(xué)文化的高考試題是新時(shí)期高考數(shù)學(xué)考試改革的熱點(diǎn)，因此我們單獨(dú)作為一種試題背景加以分析.

數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，一個(gè)人的成長(zhǎng)應(yīng)該是才、學(xué)、識(shí)三者兼顧．我們往往只強(qiáng)調(diào)知識(shí)和能力的“學(xué)”與“才”，忽視了“識(shí)”，即見識(shí)．其實(shí)，見識(shí)是將知識(shí)和能力引向何方的根本性問題，是知識(shí)、能力形成后的個(gè)人見解，其背后的支撐是世界觀、人生觀、價(jià)值觀．?dāng)?shù)學(xué)文化在這方面可以起到有效作用．[10]從2003年開始，無論是高考自主命題的地方卷還是全國(guó)卷，高考數(shù)學(xué)試題從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)應(yīng)用三個(gè)方面陸續(xù)滲透數(shù)學(xué)文化[16]，比如2003年高考全國(guó)卷理科第15題、文科第16題，就以著名的“四色定理”為題材進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的滲透考查．眾觀近年高考數(shù)學(xué)文化試題，主要涉及名著和數(shù)學(xué)名題，[17]數(shù)學(xué)文化試題的呈現(xiàn)有些是以“本來面目”或取其特例；有些是稍作雕琢，以簡(jiǎn)化形式呈現(xiàn)，但保留原有思路和方法；有些是加以拓展和推廣．[18]

數(shù)學(xué)文化背景試題，在考查數(shù)學(xué)的同時(shí)也考查學(xué)生的閱讀理解能力．然而，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化試題的心聲值得我們給予關(guān)注，我們?cè)鴮?duì)1007名高中生進(jìn)行調(diào)查：你喜歡這種具有數(shù)學(xué)文化背景的試題嗎？為什么？調(diào)查結(jié)果回答“不喜歡”的有605人，占60.08%，回答“喜歡”的有302人，占29.99%，回答“還行”的有100人，占9.93%．學(xué)生回答“喜歡”的原因大致為：“這種試題蘊(yùn)含著豐富的文化背景，可以了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史，拓展視野，領(lǐng)略先人們的智慧，讓枯燥的數(shù)學(xué)有了文化背景，在緊張的學(xué)習(xí)之余提供了文化環(huán)境熏陶，不知不覺提高了文化自信，增加了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，提高文化素養(yǎng)．”回答“不喜歡”的原因大致為：“這樣的試題題目太長(zhǎng)，需要大量的文字理解，很難看懂題目，考試時(shí)間緊迫，浪費(fèi)讀題時(shí)間，表面上極具新意，但無意中加重了考生的閱讀負(fù)擔(dān)，繁瑣的閱讀材料很容易讓學(xué)生抓不到入手點(diǎn)，找不到關(guān)鍵信息，干擾學(xué)生數(shù)學(xué)思維，給對(duì)深?yuàn)W文字不易理解的同學(xué)帶來困難，失去了數(shù)學(xué)的意義，難以起到提升數(shù)學(xué)文化涵養(yǎng)的作用．”有六成的學(xué)生不喜歡這種具有數(shù)學(xué)文化背景的試題，這值得我們深思！也警示我們，要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀理解能力的培養(yǎng)；要?jiǎng)?chuàng)新數(shù)學(xué)文化試題的呈現(xiàn)方式；要將數(shù)學(xué)文化有效的滲透在常態(tài)的教學(xué)中，真正揭示數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)；要注意數(shù)學(xué)文化試題科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋硎?，不要讓“閱讀”成為學(xué)生高考的“攔路虎”(如例5).

例5【2017年高三質(zhì)檢福建卷·理4】

朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元寶鑒》卷中“如像招數(shù)”五問有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，問筑堤幾日”．其大意為：“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩．第一天派出64人，從第二天開始，每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升，共發(fā)出大米40392升，問修筑堤壩多少天．在這個(gè)問題中，第5天應(yīng)發(fā)大米

(A) 894升 (B)1170升

(C)1275升 (D)1467升

3.3 試題性質(zhì)的演變

(1)封閉性試題

封閉性試題一般是指試題所給條件完備、過程確定、結(jié)論唯一，建國(guó)以來的高考數(shù)學(xué)試題，甚至從民國(guó)時(shí)期的高考數(shù)學(xué)試題，都是以封閉性為主旋律，這類試題比較普遍，我們這里就不展開分析.

(2)開放性試題

高考數(shù)學(xué)命題堅(jiān)持穩(wěn)中求變，變中求新，從1999年開始陸續(xù)出現(xiàn)一些考查探究能力的開放性試題，有條件開放、解題策略開放、結(jié)論開放和綜合性開放等類型．開放題(Open Ended Problem)原是1971年日本學(xué)者島田茂為首的一個(gè)小組的研究課題的副產(chǎn)品，起初只是作為檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的一種手段．在我國(guó)開始介紹開放題當(dāng)始于1980年日本學(xué)者澤田利夫的一篇文章《從“未完結(jié)問題”提出的算術(shù)、數(shù)學(xué)課的教學(xué)的方案》刊登在《外國(guó)教育》第4期的時(shí)候[19]，這里的“未完結(jié)問題”就是指開放題．我國(guó)對(duì)數(shù)學(xué)開放題的集中研究當(dāng)屬浙江教育學(xué)院的戴再平教授，戴教授編著了5本從小學(xué)到高中的開放題集，在全國(guó)廣為流傳，開放題的理念迅速在全國(guó)擴(kuò)展，高考數(shù)學(xué)試題中也陸續(xù)出現(xiàn)開放題，如1999年全國(guó)卷文科、理科第18題，2000年全國(guó)卷文科、理科第16題，之后開放性試題成為高考試題改革的一個(gè)關(guān)注點(diǎn).

例6【2002年高考全國(guó)卷·文22】

(Ⅰ)給出兩塊相同的正三角形紙片(如圖1，圖2)，要求用其中一塊剪拼成一個(gè)三棱錐模型，另一塊剪拼成一個(gè)正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，分別用虛線標(biāo)示在圖1、圖2中，并作簡(jiǎn)要說明；

(Ⅱ)試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大?。?/p>

(Ⅲ)(本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分)如果給出的是一塊任意三角形的紙片(如圖3)，要求剪拼成一個(gè)直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種剪拼方法，用虛線標(biāo)示在圖3中，并作簡(jiǎn)要說明.

圖1

圖2

圖3

評(píng)析：這是一道典型的開放性試題．戴再平教授利用19世紀(jì)初波爾約——蓋爾文(Bolyai-Gerwien)定理說明該題的三個(gè)小題的解法和結(jié)論有無窮多個(gè)．戴教授指出：開放性試題有利于考查學(xué)生的探究能力，特別是對(duì)創(chuàng)新能力的考核，而第(Ⅲ)小題采用加分的方法，這在高考評(píng)分中是一大創(chuàng)新．[20]對(duì)于開放性試題的評(píng)分應(yīng)該采用“滿意原則”、“加分原則”，只要學(xué)生給出滿足問題要求的答案，就應(yīng)該滿意而給滿分，對(duì)于解答超過一種甚至說明有無窮多種的，應(yīng)該加分鼓勵(lì)．如何命制更能考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和思維過程的開放性試題，還需要我們不斷地探索與實(shí)踐.

4 未來高考數(shù)學(xué)試題命制與考試時(shí)間展望

4.1 “素養(yǎng)立意”命題

建國(guó)以來，高考數(shù)學(xué)試題的命制經(jīng)歷了“知識(shí)立意”到“能力立意”的過程，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(征求意見稿)》[12]提出新的命題理念：要基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考試命題．這也就意味著高考數(shù)學(xué)命題將向“素養(yǎng)立意”演進(jìn)．“雙基”是我國(guó)的優(yōu)良傳統(tǒng)，高考命題在保持傳統(tǒng)精華的基礎(chǔ)上，應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)，不斷創(chuàng)新，在考查知識(shí)技能的同時(shí)，關(guān)注學(xué)生基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成，有效考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，注重對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)達(dá)成水平的評(píng)價(jià)．以“素養(yǎng)立意”為導(dǎo)向命制試題，處理好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系，充分發(fā)揮考試對(duì)教學(xué)的積極導(dǎo)向作用，為人才培養(yǎng)，人才選拔作出貢獻(xiàn).

4.2 題型、題量與考試時(shí)間

建國(guó)以來，高考數(shù)學(xué)考試題量在8～28題之間擺動(dòng)，2000年以來基本隱定在22題．對(duì)于高考數(shù)學(xué)考試時(shí)長(zhǎng)，我們搜索了自1952年全國(guó)高等學(xué)校實(shí)行統(tǒng)一命題考試以來的高考準(zhǔn)考證，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：除1952年高考數(shù)學(xué)時(shí)長(zhǎng)為1小時(shí)40分鐘，從1953年至今，一般為2個(gè)小時(shí)，只有1977年省市自主命題時(shí)部分省(如湖北、廣東)高考數(shù)學(xué)考試時(shí)長(zhǎng)達(dá)到2個(gè)半小時(shí)．不同題型與題量卻要求在相同長(zhǎng)度的時(shí)間內(nèi)作答，這一問題也許值得我們進(jìn)一步思考.

2個(gè)小時(shí)的考試時(shí)間，大部分考生和老師都反映做不完．2010年張奠宙先生就“呼吁延長(zhǎng)高考數(shù)學(xué)考試時(shí)間”，他指出：考試是檢測(cè)學(xué)生解題的能力，而不是解題快慢，學(xué)生會(huì)解就行，速度并沒那么重要．[21]未來高考數(shù)學(xué)要適度調(diào)整考試時(shí)間和題量[12]，也就是在不增加題量的前提下延長(zhǎng)考試時(shí)間，給學(xué)生足夠的思維時(shí)間；或在不延長(zhǎng)考試時(shí)間的情況下，充分發(fā)揮各類試題的考查優(yōu)勢(shì)，科學(xué)地進(jìn)行題型和題量的調(diào)整，逐步減少選擇題、填空題的題量；命制一定數(shù)量的應(yīng)用問題，問題情境的設(shè)計(jì)真實(shí)，來源于現(xiàn)實(shí)世界；以“素養(yǎng)立意命題”，命制更能考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和思維過程的開放題，以滿意原則和加分原則進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分的原則和標(biāo)準(zhǔn)是思維和結(jié)果的一致性程度，如果學(xué)生的思維和結(jié)果一致，就應(yīng)該滿意給滿分，如果學(xué)生的思維分析更深刻，就應(yīng)該加分．