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        關(guān)于三角形中線與角平分線的兩個(gè)新不等式

        2017-12-24 08:40:28胡文生
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年8期
        關(guān)鍵詞:磨溪內(nèi)切圓正三角形

        胡文生

        (江西省九江市德安磨溪中學(xué) 330400)

        本文將建立兩個(gè)不等式,首先給出第一個(gè)不等式

        (1)

        為了敘述方便,我們約定:a,b,c,ma,mb,mc,la,lb,lc,s,R,r分別表示△ABC的三邊長(zhǎng),三條中線長(zhǎng),三條角平分線長(zhǎng),半周長(zhǎng),外接圓、內(nèi)切圓半徑.

        下面給出(1)式的證明.

        (1)式的證明

        同理

        (2)

        于是(1)式得證.

        下面我們?cè)俳o出關(guān)于角平分線的又一個(gè)不等式

        (3)

        證明由(2)式和均值不等式可得

        (4)

        由已知恒等式a2+b2+c2=2s2-8Rr-2r2,abc=4sRr及歐拉不等式可將(4)式變?yōu)?/p>

        從而不等式(3)得證,當(dāng)且僅當(dāng)△ABC是正三角形時(shí)取等號(hào).

        利用上述方法和凸函數(shù)的性質(zhì),易得

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