白改平 韓龍淑 褚海峰

(1．浙江師范大學教師教育學院課程與教學論系 321004；2．太原師范學院數(shù)學系 030012；3．浙江師范大學行知學院 321004 )

自2003年起，高中數(shù)學課程的改革已經(jīng)走過了十幾年的歷程，效果如何？教師根據(jù)課程的要求建立的任務是否符合學生的認知水平？學生的需求是否得到了滿足？若沒有，學生的困惑在哪里？帶著這些問題本文以“數(shù)學任務框架”為研究工具，選擇人教版數(shù)學必修2“立體幾何”中“直線與平面垂直的判定定理”為研究素材，選取了不同高中(普通5所，重點5所)的10節(jié)課作為研究案例，通過多課例的比較，研究在課堂教學中不同階段的數(shù)學教師在立體幾何的教學中的教學行為，期望以點帶面窺視改革成效.

1 研究方法

1.1 研究對象

選擇課例 “直線與平面垂直的判定定理”為分析素材，并不是隨意的.因為直線與平面垂直的判定定理是立體幾何的基本定理，不論課程如何改革，其在整個教學中的地位都是不可動搖的.另一方面，該定理的證明屬于高水平認知要求的教學任務，但是現(xiàn)行教科書根據(jù)高中數(shù)學課程標準的要求，刪去了嚴謹?shù)淖C明取而代之的是操作確認，從而降低了任務要求，這對于研究學生的需求具有代表性.

1.2 研究方法

研究方法采用美國匹茲堡大學思騰恩博士提出的“數(shù)學任務框架”.數(shù)學任務是指一個課堂活動的片段, 該活動的目的是用于發(fā)展某個特定的數(shù)學技能、概念或思想(具體內容如圖1所示).

圖1 數(shù)學任務框架

如圖1所示，該框架的核心是一系列影響學生學習結果的數(shù)學任務，包括課程呈現(xiàn)的任務、教師在課堂上建立的任務和學生執(zhí)行的任務，研究內容囊括了教師、學生、教學內容、教學結果等教學過程涉及的諸多因素，涉足范圍寬、廣、全，研究主線明朗.此外，分析學生學習的結果能夠清晰有效地幫助教師審視、檢測和反思自己的課堂教學行為，以及為研究者觀察和診斷教學問題提供依據(jù)和方向.

2 直線與平面垂直的判定定理的數(shù)學任務

2.1 課程呈現(xiàn)的任務

課程呈現(xiàn)的任務是指以書面材料形式呈現(xiàn)在教科書和數(shù)學課程標準中的任務，諸如問題、實驗、探究、思考、建議等.

(1)教科書呈現(xiàn)的任務

《直線與平面垂直的判定》是人教A版必修Ⅱ第二章的內容，主要研究了直線與平面垂直的定義及判定，這里僅對后一個知識點進行研究.對直線與平面垂直的判定定理的探究，教科書在編排上主要呈現(xiàn)了4個任務：

任務1：除定義外，請思考如何判斷一條直線和平面垂直？

任務2：操作探究——折紙實驗：

任務3：質疑思辨：

任務4：歸納結論

(2)高中數(shù)學課程標準呈現(xiàn)的任務

高中數(shù)學課程標準對立體幾何初步的教學要求是：對有關線面平行、垂直關系的性質定理進行證明；對相應的判定定理只要求直觀感知、操作確認，在選修系列2中將用向量方法加以論證.

2.2 教師建立的任務和學生執(zhí)行的任務

教師建立的任務是指為實現(xiàn)教學目標，教師在課堂上圍繞“做什么”、“怎樣做”、“為什么這樣做”等設計的一系列任務，如問題、思考、探究、歸納等.學生執(zhí)行的任務是指學生為了執(zhí)行教師建立的任務所采取的思考方式.

(1)引入定理環(huán)節(jié)

教師建立的任務1：思考利用直線和平面垂直的定義直接證明線面垂直的困難在哪里？

生(眾)：需要考察平面內的每一條直線與已知直線垂直.

教師建立的任務2：這顯然很困難，那能否簡化條件尋求到證明線面垂直的新方法？

學生執(zhí)行的任務：學生沉思

(2)猜想定理環(huán)節(jié)

策略1：10位教師中有2位建立了如下的任務：

①仔細觀察墻角線與地面，你發(fā)現(xiàn)了什么？

②瞧，(停頓片刻)墻角線與地面上的這兩條相交直線(邊說邊比劃)有什么關系？

學生執(zhí)行的任務：跟著教師的手勢機械地觀察.

策略2：10位教師中有6位教師建立了如下任務：

①仔細觀察旗桿與地面、書脊與桌面，請問它們的共同特征是什么？

②旗桿與地面、書脊與桌面具有垂直位置關系的條件是什么？

學生執(zhí)行的任務：操作課本并思考.

策略3：10位教師中還有2位建立了如下的任務：

①如果已知直線與平面內的一條直線垂直，則這條直線與平面垂直嗎？請舉出例子并畫出圖形.

學生執(zhí)行的任務：學生獨立思考，舉出反例.

②如果已知直線與平面內的兩條直線垂直，則這條直線與平面垂直嗎？請舉出例子并畫出圖形.

學生執(zhí)行的任務：學生通過作圖舉出兩條直線平行時的反例.

③如果一條直線與平面內的兩條相交直線互相垂直，則這條直線垂直于這個平面嗎？請說明理由.

學生執(zhí)行的任務：同桌討論，列舉實例，獲得猜想.

(3)驗證定理環(huán)節(jié)

教師建立的任務：教師布置教材中的折紙實驗(教師做了簡單的示范)，要求學生做實驗并思考下列問題.

問題1：折痕AD與桌面所在平面一定垂直嗎？

問題2： 在什么情況下折痕AD與桌面所在的平面一定垂直？

學生執(zhí)行的任務：學生獨立操作，學生間互相觀看，不時發(fā)出嬉笑聲.

(教師巡視，約40秒后有很多學生就完成了任務)

(4)歸納定理環(huán)節(jié)

教師建立的任務：由上述實驗你能準確地歸納結論嗎？

學生執(zhí)行的任務：學生集體回答

(教師補充并板書定理，強調“兩條”、“相交”缺一不可)

3 學生的學習結果

學生學習結果是檢驗教學效果高低的主要依據(jù)，需要細化和分析的指標眾多、復雜、多重，但鑒于研究目的本文僅就知識與技能掌握情況，以及定理的理解兩方面的學習狀況進行分析.

(1)知識與技能的掌握情況

10位教師的課堂教學都是按照 “引入命題—猜想命題—驗證命題—歸納命題”的過程展開的.4個環(huán)節(jié)銜接自然流暢，環(huán)環(huán)相扣，教學過程有序，符合命題教學的一般規(guī)律和課程標準的要求.根據(jù)學生的課堂表現(xiàn)如回答、課堂練習和課后作業(yè)來看，學生們也較好地掌握了知識與技能目標：知道直線和平面垂直的判定定理并能運用其解決簡單的問題.

(2)對定理的理解方面

學生對直線與平面垂直的判定定理所闡述的事實已經(jīng)納入到了認知結構中，但是對定理的真實性究竟有什么樣的態(tài)度呢？為了探究這一問題，在課堂觀察的基礎上根據(jù)任課教師提供的信息，按照數(shù)學成績的優(yōu)、中、差每班分別抽取5名同學，對10個班級共150名同學進行了一對一的訪談.

表1 學生對定理真實性持有態(tài)度的人數(shù)和百分比

從表1可以看出，受訪者中僅有24%的學生自然地接受了定理所闡述的事實，66%的學生對定理的真實性表現(xiàn)出迷惑、半信半疑的狀態(tài)，尤其是重點中學的學生.訪談中持懷疑態(tài)度的學生普遍提出這樣的疑問：數(shù)學不是嚴謹?shù)膯?？直觀感知和操作實驗獲得的結論真實可靠嗎？這個定理為什么現(xiàn)在不能加以證明？這說明教師按照課程呈現(xiàn)的任務——“直觀感知、操作確認”讓學生獲得新知，大部分學生并不能欣然接受，尤其是學習能力強的學生.

4 研究結果

4.1 在定理引入環(huán)節(jié)教師建立了高于課程呈現(xiàn)的任務

教師在處理教科書呈現(xiàn)的任務1“除定義外，請思考如何判斷一條直線和平面垂直？”時，欣喜地發(fā)現(xiàn)教師們設計了高于教科書的如下認知任務:“思考利用直線和平面垂直的定義直接證明線面垂直的困難在哪里？”通過分析引導學生發(fā)現(xiàn)“用定義證明線面垂直的不便”，接著提出如下問題“能否簡化條件尋求到證明線面垂直的新方法”.在此環(huán)節(jié)中教師緊緊圍繞教科書呈現(xiàn)的數(shù)學任務展開討論，但并沒有囿于教材的簡單設計，而從數(shù)學知識內部發(fā)展的需要展開研究，通過一系列的問題不斷推動數(shù)學任務向縱、深發(fā)展，使學生體會到利用定義判斷直線和平面垂直已經(jīng)不方便或不夠用了，自然需要尋找更簡潔的方法，從而產(chǎn)生探尋新方法的認知需求.整個環(huán)節(jié)不僅具有研究的味道，有效地提升了數(shù)學任務的探究水平，還讓學生充分認識到數(shù)學發(fā)展的動力，體會到了數(shù)學的獨特魅力.

4.2 在定理猜想環(huán)節(jié)教師建立了異于課程呈現(xiàn)的任務，任務高低有較大的差異

在定理猜想環(huán)節(jié)教科書呈現(xiàn)的任務是折紙實驗，但是10位教師在教學過程中不謀而合地把這個任務后移到了驗證環(huán)節(jié)，而在此環(huán)節(jié)教師們根據(jù)自己對教學的理解建立了高低不同的任務.

采用策略1的2位年輕教師(教齡分別是3年和2年)建立的兩個任務，問題指向太過明確，特別是任務“墻角線與地面上的這兩條相交直線有什么關系？”暗示性太強，學生雖然得出了結論，但并沒有獲得產(chǎn)生這一結論的思維過程和方法，致使猜想失去了其應有的意義，探究也就流于了形式.

采用策略2的6位教師建立的2個任務富有關聯(lián)，構成一個整體，整個過程連貫性和流暢性比較好.學生通過觀察分析旗桿與地面、書脊與桌面，抽象概括出這兩個具體情境的共性，從而猜想出線面垂直的判定定理.整個學習過程使學生經(jīng)歷了數(shù)學化的過程, 真正參與了“創(chuàng)設情境——提出問題——尋找共性——提出猜想”的科學探究過程, 領會到了科學研究一般方法和精神.

采用策略3的另2位教師建立的4個任務脫離了具體的情境，從數(shù)學知識本身出發(fā)環(huán)環(huán)相扣，層層遞進,不斷激活了學生的思維活動，使學生的大腦內部經(jīng)過了火熱的思考，體驗了數(shù)學結論的形成過程，經(jīng)歷了“再創(chuàng)造”的過程.此外，在操作過程增加了把實際問題抽象為數(shù)學圖形的環(huán)節(jié)，一方面糾正學生的錯誤，規(guī)范立體幾何的作圖，另一方面使數(shù)學課堂具有了數(shù)學味.

4.3 在探究或驗證定理環(huán)節(jié)教師建立的任務與課程呈現(xiàn)的任務基本相同

在驗證定理環(huán)節(jié)， 10位教師都是按照教科書呈現(xiàn)的任務“怎樣折疊三角形紙片才能使紙片垂直立于桌面”的折紙實驗展開探究，但在這個環(huán)節(jié)的處理上有2種不同的策略：

策略1：教師首先提出課程呈現(xiàn)的任務，接著讓學生執(zhí)行“畫三角形—剪三角形——折三角形—展示”等任務.目的是讓學生通過動手操作，親身感悟和驗證猜想的真實性和正確性.

策略2：教師首先提出課程呈現(xiàn)的任務，停頓片刻后采用邊演示邊描述的方式，讓學生直觀感知猜想的正確性.

策略1和2分別運用了操作實驗法和演示法的教學方法，表面上看前者優(yōu)于后者，但實際上兩者都是無意義的機械學習.策略1通過動手操作調動了學生眼、手、口、腦等多種感官系統(tǒng)的參與，有利于學生形象思維和抽象思維的培養(yǎng)和完善，但從認知的深度和學生解決問題的效果來看，這些活動僅停留于實踐操作的表層, 對為什么要如此操作以及操作過程中體現(xiàn)哪些思維方法, 缺乏深層次的思考和重視.從課堂觀察來看，學生在一片嬉鬧聲中用時40秒就順利完成了任務，課堂氛圍和學生的表情告訴我們，學生的思維沒有經(jīng)過激烈的碰撞，獲取知識沒有經(jīng)歷“跳一跳、摘果子”的歷程，這說明了教師建立的任務探究價值并不高；策略2的探究方式教師明顯越俎代庖了，由于學生對定理的操作很不充分，對判定定理的必要體驗并沒有建立起來.

4.4 在歸納定理環(huán)節(jié)教師建立的任務高于課程呈現(xiàn)的任務

在這個環(huán)節(jié)，教師們除按照教科書呈現(xiàn)的任務歸納了定理外，有7位教師設計了“仔細分析判定定理你能發(fā)現(xiàn)研究立體幾何的基本方法是什么嗎？”的相近問題，這個任務的價值不言而喻，對這節(jié)課的教學具有推波助瀾的功效.因為數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的精髓和靈魂，是架起知識轉化為能力的橋梁和紐帶，通過引導學生回顧判定定理讓學生掌握研究立體幾何問題的基本方法“降維”，完善了學生的認知結構，實現(xiàn)思維能力和創(chuàng)新能力的提升.

5 討論與建議

上述研究結果表明，教師在定理“引入”、“猜想”、“歸納小結”環(huán)節(jié)，都建立了高于課程呈現(xiàn)的任務，能圍繞課程呈現(xiàn)的任務充分挖掘教材編寫意圖，以發(fā)揮數(shù)學的教育價值為準繩，創(chuàng)造性地展開課堂教學，這值得繼承和發(fā)揚.而在“解釋定理真實性”的環(huán)節(jié)，不論職初教師、經(jīng)驗型教師還是專家型教師，都忠于課程特別是課程標準呈現(xiàn)的任務，以“操作確認”代替了“邏輯證明”.這種現(xiàn)象說明課程標準在教師課堂教學中具有重要地位.但如何評價這種一致性的好與壞，最有說服力的恐怕只有學生學習的結果，而學習結果恰恰與我們的預期存在巨大反差，研究發(fā)現(xiàn)作為學習主體的學生，對定理的理解卻存在很大困惑，這不得不引起教師和教材編寫者深深反思.

教科書根據(jù)課程標準對線面垂直的判定定理的要求編寫的，這是無可厚非的，因為課程標準是教材編寫的依據(jù).但是在具體的教學活動中，教師應在尊重教科書的基礎上，立足于學生的已有知識經(jīng)驗、認知水平以及數(shù)學的價值，做到入乎其內，出乎其外，創(chuàng)造性地運用教科書，努力保持和創(chuàng)造高認知水平的任務.因為高認知任務有助于發(fā)展學生高層次的思維能力.當然并不是說所有的數(shù)學任務必須轉化為高水平的認知任務，教學才有價值和意義.事實上，按照教學的規(guī)律和學生的特點每一種數(shù)學任務都有其需要和適合的場所，低認知和高認知的任務應該相輔相成，相得益彰，只有這樣才能促進課堂教學的順利展開和學生數(shù)學能力的高效發(fā)展.對于“直線與平面垂直判定定理”這節(jié)內容，“直觀感知”、“操作確認”和“解釋這個命題的正確性”都屬于低認知水平類型的任務，研究表明這種處理方式確實能夠幫助學生建立定理的幾何表征，卻不能有效促進學生從數(shù)學的角度來理解這個定理.鑒于在研究中大部分學生對定理的真實性普遍表現(xiàn)出迷惑、懷疑或半信半疑，數(shù)學是一種理性的精神，在教學中教師需要思考這樣的問題：本節(jié)課在學生已有知識經(jīng)驗、已有能力和方法的范圍內能否滿足學生的需要？事實上，本定理的證明方法很多，如利用中線長公式、三角形全等和垂直平分線定理以及反證法等.這些方法中總有一種適合于學生認知水平，教師需要對這些方法根據(jù)教學對象的情況加以甄別和取舍，就能建立促進學生在“最近發(fā)展區(qū)”的數(shù)學任務，從而幫助學生完成在現(xiàn)有水平基礎之上向高認知學習任務的跨越.

數(shù)學是一種理性精神，所以從育人的功能和數(shù)學特點來看，在教學過程中如果學生經(jīng)過努力就能完成高水平的認知任務，教師就不應該隨意降低任務，而是應該給學生思維和推理搭“腳手架”，不斷促進學生對數(shù)學的理解，促進學生發(fā)揮最大的潛能.[5]