白改平 韓龍淑 褚海峰

(1．浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院課程與教學(xué)論系 321004；2．太原師范學(xué)院數(shù)學(xué)系 030012；3．浙江師范大學(xué)行知學(xué)院 321004 )

自2003年起，高中數(shù)學(xué)課程的改革已經(jīng)走過了十幾年的歷程，效果如何？教師根據(jù)課程的要求建立的任務(wù)是否符合學(xué)生的認(rèn)知水平？學(xué)生的需求是否得到了滿足？若沒有，學(xué)生的困惑在哪里？帶著這些問題本文以“數(shù)學(xué)任務(wù)框架”為研究工具，選擇人教版數(shù)學(xué)必修2“立體幾何”中“直線與平面垂直的判定定理”為研究素材，選取了不同高中(普通5所，重點(diǎn)5所)的10節(jié)課作為研究案例，通過多課例的比較，研究在課堂教學(xué)中不同階段的數(shù)學(xué)教師在立體幾何的教學(xué)中的教學(xué)行為，期望以點(diǎn)帶面窺視改革成效.

1 研究方法

1.1 研究對象

選擇課例 “直線與平面垂直的判定定理”為分析素材，并不是隨意的.因?yàn)橹本€與平面垂直的判定定理是立體幾何的基本定理，不論課程如何改革，其在整個教學(xué)中的地位都是不可動搖的.另一方面，該定理的證明屬于高水平認(rèn)知要求的教學(xué)任務(wù)，但是現(xiàn)行教科書根據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，刪去了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明取而代之的是操作確認(rèn)，從而降低了任務(wù)要求，這對于研究學(xué)生的需求具有代表性.

1.2 研究方法

研究方法采用美國匹茲堡大學(xué)思騰恩博士提出的“數(shù)學(xué)任務(wù)框架”.數(shù)學(xué)任務(wù)是指一個課堂活動的片段, 該活動的目的是用于發(fā)展某個特定的數(shù)學(xué)技能、概念或思想(具體內(nèi)容如圖1所示).

圖1 數(shù)學(xué)任務(wù)框架

如圖1所示，該框架的核心是一系列影響學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的數(shù)學(xué)任務(wù)，包括課程呈現(xiàn)的任務(wù)、教師在課堂上建立的任務(wù)和學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)，研究內(nèi)容囊括了教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)結(jié)果等教學(xué)過程涉及的諸多因素，涉足范圍寬、廣、全，研究主線明朗.此外，分析學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果能夠清晰有效地幫助教師審視、檢測和反思自己的課堂教學(xué)行為，以及為研究者觀察和診斷教學(xué)問題提供依據(jù)和方向.

2 直線與平面垂直的判定定理的數(shù)學(xué)任務(wù)

2.1 課程呈現(xiàn)的任務(wù)

課程呈現(xiàn)的任務(wù)是指以書面材料形式呈現(xiàn)在教科書和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的任務(wù)，諸如問題、實(shí)驗(yàn)、探究、思考、建議等.

(1)教科書呈現(xiàn)的任務(wù)

《直線與平面垂直的判定》是人教A版必修Ⅱ第二章的內(nèi)容，主要研究了直線與平面垂直的定義及判定，這里僅對后一個知識點(diǎn)進(jìn)行研究.對直線與平面垂直的判定定理的探究，教科書在編排上主要呈現(xiàn)了4個任務(wù)：

任務(wù)1：除定義外，請思考如何判斷一條直線和平面垂直？

任務(wù)2：操作探究——折紙實(shí)驗(yàn)：

任務(wù)3：質(zhì)疑思辨：

任務(wù)4：歸納結(jié)論

(2)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)的任務(wù)

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對立體幾何初步的教學(xué)要求是：對有關(guān)線面平行、垂直關(guān)系的性質(zhì)定理進(jìn)行證明；對相應(yīng)的判定定理只要求直觀感知、操作確認(rèn)，在選修系列2中將用向量方法加以論證.

2.2 教師建立的任務(wù)和學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)

教師建立的任務(wù)是指為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，教師在課堂上圍繞“做什么”、“怎樣做”、“為什么這樣做”等設(shè)計(jì)的一系列任務(wù)，如問題、思考、探究、歸納等.學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)是指學(xué)生為了執(zhí)行教師建立的任務(wù)所采取的思考方式.

(1)引入定理環(huán)節(jié)

教師建立的任務(wù)1：思考利用直線和平面垂直的定義直接證明線面垂直的困難在哪里？

生(眾)：需要考察平面內(nèi)的每一條直線與已知直線垂直.

教師建立的任務(wù)2：這顯然很困難，那能否簡化條件尋求到證明線面垂直的新方法？

學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)：學(xué)生沉思

(2)猜想定理環(huán)節(jié)

策略1：10位教師中有2位建立了如下的任務(wù)：

①仔細(xì)觀察墻角線與地面，你發(fā)現(xiàn)了什么？

②瞧，(停頓片刻)墻角線與地面上的這兩條相交直線(邊說邊比劃)有什么關(guān)系？

學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)：跟著教師的手勢機(jī)械地觀察.

策略2：10位教師中有6位教師建立了如下任務(wù)：

①仔細(xì)觀察旗桿與地面、書脊與桌面，請問它們的共同特征是什么？

②旗桿與地面、書脊與桌面具有垂直位置關(guān)系的條件是什么？

學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)：操作課本并思考.

策略3：10位教師中還有2位建立了如下的任務(wù)：

①如果已知直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，則這條直線與平面垂直嗎？請舉出例子并畫出圖形.

學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)：學(xué)生獨(dú)立思考，舉出反例.

②如果已知直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則這條直線與平面垂直嗎？請舉出例子并畫出圖形.

學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)：學(xué)生通過作圖舉出兩條直線平行時的反例.

③如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線互相垂直，則這條直線垂直于這個平面嗎？請說明理由.

學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)：同桌討論，列舉實(shí)例，獲得猜想.

(3)驗(yàn)證定理環(huán)節(jié)

教師建立的任務(wù)：教師布置教材中的折紙實(shí)驗(yàn)(教師做了簡單的示范)，要求學(xué)生做實(shí)驗(yàn)并思考下列問題.

問題1：折痕AD與桌面所在平面一定垂直嗎？

問題2： 在什么情況下折痕AD與桌面所在的平面一定垂直？

學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)：學(xué)生獨(dú)立操作，學(xué)生間互相觀看，不時發(fā)出嬉笑聲.

(教師巡視，約40秒后有很多學(xué)生就完成了任務(wù))

(4)歸納定理環(huán)節(jié)

教師建立的任務(wù)：由上述實(shí)驗(yàn)?zāi)隳軠?zhǔn)確地歸納結(jié)論嗎？

學(xué)生執(zhí)行的任務(wù)：學(xué)生集體回答

(教師補(bǔ)充并板書定理，強(qiáng)調(diào)“兩條”、“相交”缺一不可)

3 學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果

學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果是檢驗(yàn)教學(xué)效果高低的主要依據(jù)，需要細(xì)化和分析的指標(biāo)眾多、復(fù)雜、多重，但鑒于研究目的本文僅就知識與技能掌握情況，以及定理的理解兩方面的學(xué)習(xí)狀況進(jìn)行分析.

(1)知識與技能的掌握情況

10位教師的課堂教學(xué)都是按照 “引入命題—猜想命題—驗(yàn)證命題—?dú)w納命題”的過程展開的.4個環(huán)節(jié)銜接自然流暢，環(huán)環(huán)相扣，教學(xué)過程有序，符合命題教學(xué)的一般規(guī)律和課程標(biāo)準(zhǔn)的要求.根據(jù)學(xué)生的課堂表現(xiàn)如回答、課堂練習(xí)和課后作業(yè)來看，學(xué)生們也較好地掌握了知識與技能目標(biāo)：知道直線和平面垂直的判定定理并能運(yùn)用其解決簡單的問題.

(2)對定理的理解方面

學(xué)生對直線與平面垂直的判定定理所闡述的事實(shí)已經(jīng)納入到了認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，但是對定理的真實(shí)性究竟有什么樣的態(tài)度呢？為了探究這一問題，在課堂觀察的基礎(chǔ)上根據(jù)任課教師提供的信息，按照數(shù)學(xué)成績的優(yōu)、中、差每班分別抽取5名同學(xué)，對10個班級共150名同學(xué)進(jìn)行了一對一的訪談.

表1 學(xué)生對定理真實(shí)性持有態(tài)度的人數(shù)和百分比

從表1可以看出，受訪者中僅有24%的學(xué)生自然地接受了定理所闡述的事實(shí)，66%的學(xué)生對定理的真實(shí)性表現(xiàn)出迷惑、半信半疑的狀態(tài)，尤其是重點(diǎn)中學(xué)的學(xué)生.訪談中持懷疑態(tài)度的學(xué)生普遍提出這樣的疑問：數(shù)學(xué)不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯幔恐庇^感知和操作實(shí)驗(yàn)獲得的結(jié)論真實(shí)可靠嗎？這個定理為什么現(xiàn)在不能加以證明？這說明教師按照課程呈現(xiàn)的任務(wù)——“直觀感知、操作確認(rèn)”讓學(xué)生獲得新知，大部分學(xué)生并不能欣然接受，尤其是學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生.

4 研究結(jié)果

4.1 在定理引入環(huán)節(jié)教師建立了高于課程呈現(xiàn)的任務(wù)

教師在處理教科書呈現(xiàn)的任務(wù)1“除定義外，請思考如何判斷一條直線和平面垂直？”時，欣喜地發(fā)現(xiàn)教師們設(shè)計(jì)了高于教科書的如下認(rèn)知任務(wù):“思考利用直線和平面垂直的定義直接證明線面垂直的困難在哪里？”通過分析引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“用定義證明線面垂直的不便”，接著提出如下問題“能否簡化條件尋求到證明線面垂直的新方法”.在此環(huán)節(jié)中教師緊緊圍繞教科書呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)任務(wù)展開討論，但并沒有囿于教材的簡單設(shè)計(jì)，而從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部發(fā)展的需要展開研究，通過一系列的問題不斷推動數(shù)學(xué)任務(wù)向縱、深發(fā)展，使學(xué)生體會到利用定義判斷直線和平面垂直已經(jīng)不方便或不夠用了，自然需要尋找更簡潔的方法，從而產(chǎn)生探尋新方法的認(rèn)知需求.整個環(huán)節(jié)不僅具有研究的味道，有效地提升了數(shù)學(xué)任務(wù)的探究水平，還讓學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，體會到了數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力.

4.2 在定理猜想環(huán)節(jié)教師建立了異于課程呈現(xiàn)的任務(wù)，任務(wù)高低有較大的差異

在定理猜想環(huán)節(jié)教科書呈現(xiàn)的任務(wù)是折紙實(shí)驗(yàn)，但是10位教師在教學(xué)過程中不謀而合地把這個任務(wù)后移到了驗(yàn)證環(huán)節(jié)，而在此環(huán)節(jié)教師們根據(jù)自己對教學(xué)的理解建立了高低不同的任務(wù).

采用策略1的2位年輕教師(教齡分別是3年和2年)建立的兩個任務(wù)，問題指向太過明確，特別是任務(wù)“墻角線與地面上的這兩條相交直線有什么關(guān)系？”暗示性太強(qiáng)，學(xué)生雖然得出了結(jié)論，但并沒有獲得產(chǎn)生這一結(jié)論的思維過程和方法，致使猜想失去了其應(yīng)有的意義，探究也就流于了形式.

采用策略2的6位教師建立的2個任務(wù)富有關(guān)聯(lián)，構(gòu)成一個整體，整個過程連貫性和流暢性比較好.學(xué)生通過觀察分析旗桿與地面、書脊與桌面，抽象概括出這兩個具體情境的共性，從而猜想出線面垂直的判定定理.整個學(xué)習(xí)過程使學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的過程, 真正參與了“創(chuàng)設(shè)情境——提出問題——尋找共性——提出猜想”的科學(xué)探究過程, 領(lǐng)會到了科學(xué)研究一般方法和精神.

采用策略3的另2位教師建立的4個任務(wù)脫離了具體的情境，從數(shù)學(xué)知識本身出發(fā)環(huán)環(huán)相扣，層層遞進(jìn),不斷激活了學(xué)生的思維活動，使學(xué)生的大腦內(nèi)部經(jīng)過了火熱的思考，體驗(yàn)了數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程，經(jīng)歷了“再創(chuàng)造”的過程.此外，在操作過程增加了把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)圖形的環(huán)節(jié)，一方面糾正學(xué)生的錯誤，規(guī)范立體幾何的作圖，另一方面使數(shù)學(xué)課堂具有了數(shù)學(xué)味.

4.3 在探究或驗(yàn)證定理環(huán)節(jié)教師建立的任務(wù)與課程呈現(xiàn)的任務(wù)基本相同

在驗(yàn)證定理環(huán)節(jié)， 10位教師都是按照教科書呈現(xiàn)的任務(wù)“怎樣折疊三角形紙片才能使紙片垂直立于桌面”的折紙實(shí)驗(yàn)展開探究，但在這個環(huán)節(jié)的處理上有2種不同的策略：

策略1：教師首先提出課程呈現(xiàn)的任務(wù)，接著讓學(xué)生執(zhí)行“畫三角形—剪三角形——折三角形—展示”等任務(wù).目的是讓學(xué)生通過動手操作，親身感悟和驗(yàn)證猜想的真實(shí)性和正確性.

策略2：教師首先提出課程呈現(xiàn)的任務(wù)，停頓片刻后采用邊演示邊描述的方式，讓學(xué)生直觀感知猜想的正確性.

策略1和2分別運(yùn)用了操作實(shí)驗(yàn)法和演示法的教學(xué)方法，表面上看前者優(yōu)于后者，但實(shí)際上兩者都是無意義的機(jī)械學(xué)習(xí).策略1通過動手操作調(diào)動了學(xué)生眼、手、口、腦等多種感官系統(tǒng)的參與，有利于學(xué)生形象思維和抽象思維的培養(yǎng)和完善，但從認(rèn)知的深度和學(xué)生解決問題的效果來看，這些活動僅停留于實(shí)踐操作的表層, 對為什么要如此操作以及操作過程中體現(xiàn)哪些思維方法, 缺乏深層次的思考和重視.從課堂觀察來看，學(xué)生在一片嬉鬧聲中用時40秒就順利完成了任務(wù)，課堂氛圍和學(xué)生的表情告訴我們，學(xué)生的思維沒有經(jīng)過激烈的碰撞，獲取知識沒有經(jīng)歷“跳一跳、摘果子”的歷程，這說明了教師建立的任務(wù)探究價(jià)值并不高；策略2的探究方式教師明顯越俎代庖了，由于學(xué)生對定理的操作很不充分，對判定定理的必要體驗(yàn)并沒有建立起來.

4.4 在歸納定理環(huán)節(jié)教師建立的任務(wù)高于課程呈現(xiàn)的任務(wù)

在這個環(huán)節(jié)，教師們除按照教科書呈現(xiàn)的任務(wù)歸納了定理外，有7位教師設(shè)計(jì)了“仔細(xì)分析判定定理你能發(fā)現(xiàn)研究立體幾何的基本方法是什么嗎？”的相近問題，這個任務(wù)的價(jià)值不言而喻，對這節(jié)課的教學(xué)具有推波助瀾的功效.因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的精髓和靈魂，是架起知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁和紐帶，通過引導(dǎo)學(xué)生回顧判定定理讓學(xué)生掌握研究立體幾何問題的基本方法“降維”，完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)思維能力和創(chuàng)新能力的提升.

5 討論與建議

上述研究結(jié)果表明，教師在定理“引入”、“猜想”、“歸納小結(jié)”環(huán)節(jié)，都建立了高于課程呈現(xiàn)的任務(wù)，能圍繞課程呈現(xiàn)的任務(wù)充分挖掘教材編寫意圖，以發(fā)揮數(shù)學(xué)的教育價(jià)值為準(zhǔn)繩，創(chuàng)造性地展開課堂教學(xué)，這值得繼承和發(fā)揚(yáng).而在“解釋定理真實(shí)性”的環(huán)節(jié)，不論職初教師、經(jīng)驗(yàn)型教師還是專家型教師，都忠于課程特別是課程標(biāo)準(zhǔn)呈現(xiàn)的任務(wù)，以“操作確認(rèn)”代替了“邏輯證明”.這種現(xiàn)象說明課程標(biāo)準(zhǔn)在教師課堂教學(xué)中具有重要地位.但如何評價(jià)這種一致性的好與壞，最有說服力的恐怕只有學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，而學(xué)習(xí)結(jié)果恰恰與我們的預(yù)期存在巨大反差，研究發(fā)現(xiàn)作為學(xué)習(xí)主體的學(xué)生，對定理的理解卻存在很大困惑，這不得不引起教師和教材編寫者深深反思.

教科書根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)對線面垂直的判定定理的要求編寫的，這是無可厚非的，因?yàn)檎n程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫的依據(jù).但是在具體的教學(xué)活動中，教師應(yīng)在尊重教科書的基礎(chǔ)上，立足于學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平以及數(shù)學(xué)的價(jià)值，做到入乎其內(nèi)，出乎其外，創(chuàng)造性地運(yùn)用教科書，努力保持和創(chuàng)造高認(rèn)知水平的任務(wù).因?yàn)楦哒J(rèn)知任務(wù)有助于發(fā)展學(xué)生高層次的思維能力.當(dāng)然并不是說所有的數(shù)學(xué)任務(wù)必須轉(zhuǎn)化為高水平的認(rèn)知任務(wù)，教學(xué)才有價(jià)值和意義.事實(shí)上，按照教學(xué)的規(guī)律和學(xué)生的特點(diǎn)每一種數(shù)學(xué)任務(wù)都有其需要和適合的場所，低認(rèn)知和高認(rèn)知的任務(wù)應(yīng)該相輔相成，相得益彰，只有這樣才能促進(jìn)課堂教學(xué)的順利展開和學(xué)生數(shù)學(xué)能力的高效發(fā)展.對于“直線與平面垂直判定定理”這節(jié)內(nèi)容，“直觀感知”、“操作確認(rèn)”和“解釋這個命題的正確性”都屬于低認(rèn)知水平類型的任務(wù)，研究表明這種處理方式確實(shí)能夠幫助學(xué)生建立定理的幾何表征，卻不能有效促進(jìn)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度來理解這個定理.鑒于在研究中大部分學(xué)生對定理的真實(shí)性普遍表現(xiàn)出迷惑、懷疑或半信半疑，數(shù)學(xué)是一種理性的精神，在教學(xué)中教師需要思考這樣的問題：本節(jié)課在學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)、已有能力和方法的范圍內(nèi)能否滿足學(xué)生的需要？事實(shí)上，本定理的證明方法很多，如利用中線長公式、三角形全等和垂直平分線定理以及反證法等.這些方法中總有一種適合于學(xué)生認(rèn)知水平，教師需要對這些方法根據(jù)教學(xué)對象的情況加以甄別和取舍，就能建立促進(jìn)學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”的數(shù)學(xué)任務(wù)，從而幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有水平基礎(chǔ)之上向高認(rèn)知學(xué)習(xí)任務(wù)的跨越.

數(shù)學(xué)是一種理性精神，所以從育人的功能和數(shù)學(xué)特點(diǎn)來看，在教學(xué)過程中如果學(xué)生經(jīng)過努力就能完成高水平的認(rèn)知任務(wù)，教師就不應(yīng)該隨意降低任務(wù)，而是應(yīng)該給學(xué)生思維和推理搭“腳手架”，不斷促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，促進(jìn)學(xué)生發(fā)揮最大的潛能.[5]