湖北省武漢市第二高級(jí)技工學(xué)校 操先進(jìn)

小議從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的角度體會(huì)函數(shù)之美

湖北省武漢市第二高級(jí)技工學(xué)校 操先進(jìn)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的脊梁，是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心所在。中職數(shù)學(xué)中，函數(shù)教學(xué)的內(nèi)容盡管并不復(fù)雜，但是對(duì)于中職生來說，函數(shù)的學(xué)習(xí)效果會(huì)深刻影響到后續(xù)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，因此教師應(yīng)盡可能地在函數(shù)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用。從中職生現(xiàn)狀來看，如何加強(qiáng)其函數(shù)學(xué)習(xí)的興趣？從函數(shù)教學(xué)的哪一板塊直觀性角度切入比較好？現(xiàn)代信息技術(shù)能否合理地使用成為中職生學(xué)習(xí)的利器？這些都成為筆者函數(shù)教學(xué)的思考點(diǎn)。

從教材第三章第三節(jié)后的現(xiàn)代信息技術(shù)應(yīng)用3——利用幾何畫板作函數(shù)圖象（靜態(tài)）這一教學(xué)內(nèi)容來看，教材的設(shè)計(jì)正是努力想提高函數(shù)教學(xué)的直觀性，從函數(shù)圖象的認(rèn)知出發(fā)，思考函數(shù)的變化。筆者認(rèn)為，本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)間甚至可以提前，在函數(shù)概念教學(xué)中合適給出，通過現(xiàn)代信息技術(shù)（這里主要運(yùn)用教材提出的幾何畫板作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的載體）從直觀上認(rèn)知函數(shù)，從函數(shù)圖象的角度感受函數(shù)的美，通過知識(shí)與美的結(jié)合，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)模型的重要性。

近年來，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與傳統(tǒng)教學(xué)的結(jié)合成為數(shù)學(xué)教學(xué)的新切入點(diǎn)。廣義上來說，一切引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體都可以稱之為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。從現(xiàn)代信息技術(shù)引入來看，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更多的是以數(shù)學(xué)軟件、計(jì)算機(jī)等實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程。要提高中職生抽象思維的能力，首先需要提升學(xué)生的學(xué)習(xí)知識(shí)興趣，幾何畫板恰恰是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)入手的一款較好軟件。

案例1：繪制基本初等函數(shù)的圖象

師：請(qǐng)同學(xué)們找到機(jī)房電腦上的幾何畫板軟件，我們今天開始繪制各種不同的基本初等函數(shù)圖象。從初中開始，我們已經(jīng)學(xué)過了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等等，首先請(qǐng)同學(xué)們繪制這幾類函數(shù)的圖象。

生：選擇幾何畫板圖表——繪制新函數(shù)——輸入新函數(shù)即可。

師：好，請(qǐng)?jiān)陔娔X上演示。

圖 1

圖 2

圖3

師：好！繪制得很好。請(qǐng)同學(xué)們先說一說，從這三幅圖中，你所體會(huì)到的函數(shù)概念。

生：每一個(gè)自變量 都有一個(gè)因變量 與之對(duì)應(yīng)。

師：從圖中你還能感受到什么？

生：第一幅圖和第三幅圖都是關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，第二幅圖是關(guān)于 軸成軸對(duì)稱。

師：很好！直觀的感受，讓同學(xué)們獲得了很多獨(dú)立的思考。

意圖：從初中所學(xué)最基本的初等函數(shù)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生回憶最常見的三個(gè)基本初等函數(shù)，從圖象直觀的角度思考函數(shù)的圖形特征，獲得了一定的感官認(rèn)知。

案例2：自由繪制函數(shù)圖象

中職生對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)往往較為依賴教材，除教材之外的思考較少、摸索較少。鑒于本知識(shí)恰是開發(fā)學(xué)生發(fā)散思維的重要工具，因此筆者設(shè)計(jì)讓學(xué)生利用幾何畫板自由繪制函數(shù)圖象，并相互間展示、比較，從數(shù)學(xué)美的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)不同的函數(shù)圖象，認(rèn)識(shí)更為廣闊的函數(shù)世界，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。

圖 4

圖 5

圖 6

師：請(qǐng)說一說你繪制的函數(shù)特點(diǎn)。

生：這依舊是二次函數(shù)，但是其頂點(diǎn)不在原點(diǎn)，對(duì)稱軸也不是 軸。這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，在 軸上的截距為，在x軸上的交點(diǎn)分別是

師：我們看看另一位同學(xué)用幾何畫板繪制的函數(shù)圖象。

師：好！同學(xué)們都做了嘗試，這位同學(xué)，你繪制了什么？

生：如圖6，我繪制了函數(shù) ，跟他們的不一樣。（實(shí)驗(yàn)教學(xué)的精彩時(shí)刻）

師：哦？圖象畫得很有想象力。（教師沒有想到學(xué)生會(huì)這樣畫）請(qǐng)大家看看，圖6和前面的五幅圖有什么不同嗎？

生：好像這個(gè)不是函數(shù)吧？（不敢確定）

師：說得很對(duì)！圖6不是函數(shù)！我們回想一下函數(shù)的概念：對(duì)于任意一個(gè)自變量，都只能有唯一的因變量與之相對(duì)應(yīng)，這才是函數(shù)。而圖6中，比如取 ，則 ，顯然違背了函數(shù)的概念，因此我們只能將其稱之為曲線。

生：哦！通過對(duì)比，我們對(duì)函數(shù)的概念又有了進(jìn)一步的思考。

意圖：通過自由繪制函數(shù)圖象，不僅開拓了學(xué)生的各種思路，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)運(yùn)用到傳統(tǒng)教學(xué)中，還更進(jìn)一步地回顧了函數(shù)的概念，使學(xué)生在動(dòng)手操作中獲取知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)于教學(xué)的重要作用，更理解了函數(shù)相關(guān)知識(shí)的深刻性。

案例3：與數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美的結(jié)合

師：同學(xué)們剛剛繪制得都很好，接下來老師也給大家展示一下更有創(chuàng)意的函數(shù)或曲線。（展示圖7、圖8、圖9）同學(xué)們的視線都停留在一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等等，其實(shí)還有很多函數(shù)有著優(yōu)美的曲線，我們將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)進(jìn)行有效的復(fù)合，可以獲得意想不到的函數(shù)圖象。

圖 7

圖 8

圖 9

給出三個(gè)函數(shù)解析式，請(qǐng)學(xué)生再次用幾何畫板進(jìn)行繪制：

生：用幾何畫板繪制完畢，我發(fā)現(xiàn)生成了很漂亮的曲線。

師：你說說看，函數(shù)圖象給了你什么樣的感覺？

生：圖7中的上半部分我覺得非常像我們生活中的體育品牌“耐克”的標(biāo)記。

生：圖8很像美國(guó)快餐品牌麥當(dāng)勞的圖標(biāo)。（同學(xué)們一陣歡笑）

師：是的，在開口向下的二次函數(shù)中，給自變量加上絕對(duì)值，取得了意想不到的效果！

生：圖9老師跟我們講過了，這個(gè)不是函數(shù)。有些自變量對(duì)應(yīng)的因變量不是一個(gè)，看著有點(diǎn)像李寧的商標(biāo)。

師：是的！同學(xué)們說得都非常正確。圖9的確不是函數(shù)，但是我們用充滿創(chuàng)意的變化做出了令人驚嘆的曲線，選擇一部分自變量，以分段的形式進(jìn)行選取，從而獲得了“李寧”曲線。我們稍微對(duì)學(xué)過的函數(shù)進(jìn)行有效的整合，創(chuàng)造了有趣的函數(shù)或曲線。

生：想不到幾何畫板給我們的函數(shù)學(xué)習(xí)帶來了這么多歡樂，課后我們?cè)傺芯扛鼮槠恋暮瘮?shù)。

師：希望大家用好幾何畫板，通過函數(shù)讓我們認(rèn)識(shí)更多的函數(shù)圖象，了解更多的函數(shù)之美，對(duì)后續(xù)的函數(shù)運(yùn)用提升自己的理解和興趣。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)于中職生而言，是比較有效的提升學(xué)習(xí)的手段。從本課的學(xué)習(xí)來看，筆者認(rèn)為有三點(diǎn)值得思考：第一，教學(xué)觀念的改變，中職生喜歡數(shù)學(xué)動(dòng)手操作，這樣更有助于其思考積極性，傳統(tǒng)教學(xué)往往關(guān)注教師的講，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率不高；第二，幾何畫板是簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件，其上手操作的難度不高，基本屬于所見即所得，因此受到學(xué)生歡迎；第三，要提升學(xué)習(xí)的興趣，教師要做好合理的設(shè)計(jì)，本案例既引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造，又給出了教師的事先準(zhǔn)備，讓課堂教學(xué)達(dá)到了一個(gè)新的高度，是學(xué)生思考的高度，可以說，學(xué)生從實(shí)驗(yàn)的角度獲得了真正的體會(huì)。