江蘇 王懷學(xué)

解題探究活動(dòng)不能僅僅留下一個(gè)結(jié)論
——談分段求和破解含絕對(duì)值項(xiàng)的數(shù)列求和方法

江蘇 王懷學(xué)

一、分組分段求和是解決問(wèn)題的本質(zhì)策略

含有絕對(duì)值的問(wèn)題中，首要任務(wù)就是分類討論.對(duì)于一個(gè)數(shù)列{an}，如果有些項(xiàng)是正數(shù)，有些項(xiàng)是負(fù)數(shù)，在求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和的時(shí)候，就需要把正數(shù)項(xiàng)和負(fù)數(shù)項(xiàng)分組求解.這是此類問(wèn)題求解首先要明確的一個(gè)問(wèn)題.

【例1】在等差數(shù)列{an}中，a1gt;0,a10·a11lt;0，若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S10=36，前18項(xiàng)的和為S18=12，則數(shù)列{|an|}的前18項(xiàng)的和T18=________.

【解析】由已知得公差dlt;0，a10gt;0,a11lt;0，所以等差數(shù)列{an}單調(diào)遞減.

所以T18=S10+|a11|+|a12|+…+|a18|

=S10-(a11+a12+…+a18)

=S10-(S18-S10)

=2S10-S18

=72-12=60.

【變式1】在數(shù)列{an}中，已知an=n+11，n∈N*，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】當(dāng)n∈N*時(shí)，an=n+11gt;0成立，

則數(shù)列{an}可以看成首項(xiàng)為12，公差為1 的等差數(shù)列.

二、前k項(xiàng)為正數(shù)的分段討論

求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和，就是要搞清楚數(shù)列{an}的項(xiàng)的正負(fù)，再分組分段求和，而數(shù)列{an}的項(xiàng)的正負(fù)決定著分組討論的不同情形，因此我們要對(duì)數(shù)列{an}的項(xiàng)的正負(fù)展開(kāi)討論.

【例2】在公差為d的等差數(shù)列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比數(shù)列.

(Ⅰ)求d,an;

(Ⅱ)若dlt;0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】(Ⅰ)依題意得(2a2+2)2=5a1a3，4(a1+d+1)2=50(a1+2d)，(11+d)2=25(5+d)，解得d=4或d=-1，于是an=4n+6或an=11-n.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)dlt;0時(shí),an=11-n,

①當(dāng)1≤n≤11時(shí),an≥0，

②當(dāng)n≥12時(shí),anlt;0，

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)有正負(fù)之分，就需要先判斷正負(fù)再求和.當(dāng)前k項(xiàng)為正，后n-k(ngt;k,n,k∈N*)項(xiàng)為負(fù)時(shí)，可得Tn=|a1|+|a2|+…|ak|+|ak+1|+…+|an|=(a1+a2+…+ak)-(ak+1+ak+2+…+an)=Sk-(Sn-Sk)=2Sk-Sn.

【變式2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=32n-n2，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.

【解析】因?yàn)镾n=32n-n2，所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=32(n-1)-(n-1)2,

作差得，an=33-2n，a1=S1=31也滿足上式.

所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=33-2n，所以數(shù)列{an}單調(diào)遞減.

即當(dāng)n≤16時(shí)，angt;0；當(dāng)n≥17時(shí)，anlt;0.

所以當(dāng)n≤16時(shí)，數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn=Sn=32n-n2；

又S16=256，所以當(dāng)n≥17時(shí)，Tn=2S16-Sn=n2-32n+512.

三、前k項(xiàng)為負(fù)數(shù)的分段討論

數(shù)列的前k項(xiàng)的正負(fù)，其實(shí)從本質(zhì)上同求和沒(méi)有什么區(qū)別，都是要進(jìn)行分段求解，前k項(xiàng)都是正的，那么就把前k項(xiàng)單獨(dú)拿出來(lái)，并直接表示為Sk，余下的提取負(fù)號(hào)，還是可以用Sn-Sk表示；同理前k項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，方法也是同樣，不需要背記公式.

【例3】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-100n.

(Ⅰ) 數(shù)列{an}是什么數(shù)列?

(Ⅱ)設(shè)bn=|an|,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

【解析】(Ⅰ)因?yàn)镾n=n2-100n，所以

an=Sn-Sn-1=n2-100n-(n-1)2+100(n-1)=2n-101(n≥2)，

當(dāng)n=1時(shí)，滿足條件，所以an=2n-101，

所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為-99，公差為2的等差數(shù)列.

(Ⅱ)因?yàn)閎n=|an|=|2n-101|，

所以當(dāng)n≤50時(shí)，Tn=-Sn=-n2+100n；

當(dāng)n≥51時(shí)，

Tn=T50+a51+a52+…+an

=-S50+a51+a52+…+an

=-S50+Sn-S50

=Sn-2S50

=n2-100n+5 000，

【點(diǎn)評(píng)】前k項(xiàng)為負(fù)，后n-k(ngt;k,n,k∈N*)項(xiàng)為正的數(shù)列求和，首先按絕對(duì)值的代數(shù)意義去絕對(duì)值符號(hào)，可得

Tn=|a1|+|a2|+…+|ak|+|ak+1|+…+|an|

=-(a1+a2+…+ak)+(ak+1+ak+2+…+an)

=-Sk+(Sn-Sk)=Sn-2Sk.

【變式3】在數(shù)列{an}中，已知an=2n-25，n∈N*，求 |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

【解析】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{|an|}前n項(xiàng)和為Tn.

所以，對(duì)數(shù)列{|an|}來(lái)說(shuō)，

當(dāng)n≥13時(shí)，Tn=|a1|+|a2|+…+|a12|+|a13|+…+|an|=-(a1+a2+…+a12)+(a13+a14+…+an)=-2(a1+a2+…+a12)+(a1+a2+…+an)=Sn-2S12=n2-24n+288.

江蘇省贛榆縣海頭高級(jí)中學(xué))