陜西 王仕林
探討增元法求解最值問題
陜西 王仕林
求最值問題是高中數(shù)學中最重要的問題,也是高考考查的熱點之一;它滲透在高中數(shù)學各個模塊中;求最值的方法也多種多樣,增元法就是其中一種最重要的方法;通常把要求的最值代數(shù)式通過增元化成函數(shù),然后利用函數(shù)求最值的方法,達到求最值的目的.本人歸納出利用增元的方法求函數(shù)最值問題的三種模型,相對于常規(guī)方法而言,這種方法可以起到事半功倍的效果.
方法2:以上證明運用了函數(shù)求最值的方法,下面用本文所講的增元法來解決.
【評注】以上兩種不同的求解方法都利用了均值不等式求最值,但明顯第一種方法轉(zhuǎn)化成均值不等式形式的過程中,利用了通分、相除、湊項、拆項、換元等五步整理,而第二種方法只經(jīng)過了增元、把1代換、相乘等三步就完成了,而且運算過程比較簡單.
【解析】方法1:該題是無理函數(shù)求最值問題,用代數(shù)法就必須去掉根號,可考慮三角換元法.
設x=4cosα(0≤α≤π) ,則
又0≤α≤π,所以-φ≤α-φ≤π-φ,
所以-sinφ≤sin(α-φ)≤1,
所以-12≤13sin(α-φ)≤13,
即f(x)max=13,f(x)min=-12.
方法2:利用增元法,效率大大增強.
【評注】從以上兩種證明方法可以看出,三角換元法的運算比較繁瑣,而增元法最后轉(zhuǎn)化成數(shù)形結(jié)合,運算少,而且很直觀.
【解析】方法1:本題初看不知從哪下手,仔細分析后可考慮用三角換元法.
方法2:由于該函數(shù)比較復雜,特別是含有根號,因此,可考慮用增元法求解.
【評注】以上兩種方法求解,雖然最后都用了斜率的幾何意義來求其最大與最小值問題,但是第一種方法太麻煩了,用了兩次換元才知動點P的軌跡,尤其是P(cosθ,sinθ)(0≤θ≤π)很不容易找到.而利用增元法,原函數(shù)就變成了條件等式下的二元函數(shù)求最值問題,而且很容易想到用斜率的幾何意義來求解.
陜西省漢中市西鄉(xiāng)二中)