江蘇 魏美云

巧用投影模型，速解一類數(shù)量積問題

江蘇 魏美云

平面向量知識(shí)在高中教材中占有重要地位，有關(guān)內(nèi)容已經(jīng)成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，特別是平面向量的數(shù)量積更是高考的必考內(nèi)容．近年來有關(guān)數(shù)量積的試題具有一定的綜合性，思維量大，解法也越來越靈活．解決數(shù)量積問題的常用方法有定義法、基向量法、坐標(biāo)法等，而數(shù)量積的幾何意義卻常被遺忘．實(shí)際上，巧用幾何意義能快速解決一類數(shù)量積問題．下面從數(shù)量積的定義入手，介紹與幾何意義有關(guān)的三個(gè)結(jié)論及其應(yīng)用，幫助學(xué)生豐富視野、開拓思路．

平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影．

平面向量數(shù)量積a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與向量b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積(或者等于b的長(zhǎng)度|b|與向量a在b方向上的投影|a|cosθ的乘積)．

根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和幾何意義，容易得到以下三個(gè)結(jié)論，下面介紹三個(gè)結(jié)論及其應(yīng)用．

結(jié)論一：如果向量a，b在向量c方向上的投影相等，則a·c=b·c.

【證明】根據(jù)數(shù)量積的定義得

a·c=|a||c|cosα，b·c=|b||c|cosβ，其中α是a與c的夾角，β是b與c的夾角．

因?yàn)橄蛄縜，b在向量c方向上的投影相等，得|a|cosα=|b|cosβ，所以a·c=b·c．

【解析】如圖，設(shè)邊BC的中點(diǎn)為O，則PO⊥BC，

過O作OD⊥AC交AC于點(diǎn)D，

因?yàn)镺是△ABC的垂心，

所以O(shè)，B，D三點(diǎn)共線，

【解析】如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AE于點(diǎn)G，

【提示】過點(diǎn)F作FG⊥AB于G，

利用結(jié)論一也能快速證明．

【證明】如圖，取弦AB的中點(diǎn)M，連接OM，則OM⊥AB，

根據(jù)這個(gè)結(jié)論不難得到如下結(jié)論：

在△ABC中，O是△ABC的外心，

【解析】因?yàn)镺是△ABC的外心，

即50=60xcos∠BAC+100y，

即5=6xcos∠BAC+10y，

江蘇省沛縣湖西中學(xué))