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        三角形問題中避免增解的常用策略

        2017-12-14 02:03:06江蘇王安寓范賢麗
        教學考試(高考數(shù)學) 2017年5期
        關鍵詞:開方鈍角銳角

        江蘇 王安寓 范賢麗

        三角形問題中避免增解的常用策略

        江蘇 王安寓 范賢麗

        計算是數(shù)學學習中的一種重要技能.數(shù)學運算是新課標六大數(shù)學核心素養(yǎng)之一.數(shù)學運算不僅是數(shù)學發(fā)展的重要起源,更是數(shù)學后續(xù)發(fā)展思想方法的源泉.數(shù)學運算貫穿數(shù)學的基本脈絡,幾乎滲透到數(shù)學的每一個角落.三角形問題中離不開計算,但有些三角形問題的計算往往會出現(xiàn)增解,如何避開增解呢?首先,要弄清楚產(chǎn)生增解的原因,然后根據(jù)產(chǎn)生增解的原因尋找對應的解決策略.造成解三角形問題的增解的原因,主要有運用同角三角函數(shù)的平方關系開方、由正弦值求角的運算、鈍角或銳角的充要條件等等.根據(jù)增解原因,思考對應的解決策略:少用開方、少用正弦、縮小角的范圍、找準鈍角或銳角的充要條件等等.

        策略一:能用倍角,符號內(nèi)蘊,不用開方

        (Ⅰ)求sinB;

        點評:當出現(xiàn)平方關系需要開方時,一定要小心,要判斷清楚符號,才能實施開方運算.當題設中存在倍數(shù)關系時,要優(yōu)先選擇倍數(shù)關系,避開出現(xiàn)開方造成增解.

        策略二:能用余弦,或者正切,不用正弦

        分析:由條件易求sinA, sinB,再由和角公式求C的某一三角函數(shù)值.

        由于是限制在三角形中,角的范圍往往是(0,π),因此,要多求余弦或正切,而少用正弦.

        錯解:設P(x,y)在第一象限,

        即a4-16a2+48=0,解得a2=4或12,

        正解:設P是第一象限的點,設|PE|=m,|PF|=n,則m-n=2a,則余弦定理有

        4c2=m2+n2-mn=(m-n)2+mn,∴mn=4b2,

        策略三:鈍角銳角,充要條件,避開增解

        【例4】鈍角三角形ABC中,a=1,b=2,則最大邊c的范圍是________.

        分析:最大邊所對的角一定為鈍角.由cosClt;0求得c的范圍.

        錯因分析:顯然c不能取很大的值.實際上,c=5gt;a+b,構不成三角形.

        在三角形中,一般用余弦定理就能避開增解,為什么本題出現(xiàn)了增解?請先思考:cosClt;0C為鈍角嗎?也就是說,cosClt;0是C為鈍角的必要不充分條件.cosClt;0中還包含cosC=-1!C為鈍角lt;Clt;π-1lt;cosClt;0.因此,在附加條件“三角形”下,C為鈍角的充要條件是-1lt;cosClt;0.

        正解:∵c是最大邊,△ABC為鈍角三角形,∴C為鈍角,∴-1lt;cosClt;0,

        點評:在△ABC中,角A為鈍角-1lt;cosAlt;0;角A為銳角0lt;cosAlt;1.

        銳角三角形ABC

        筆者不禁回想起向量夾角為鈍角的問題.能借鑒嗎?

        題目(必修4P85練習5改編)設向量a=(x,4),b=(-2,-1),向量a與b的夾角為鈍角,則實數(shù)x的取值范圍是________.

        解析:a與b的夾角為鈍角a·blt;0且a與b不共線-2x-4lt;0且-x≠-2×4xgt;-2且x≠8.

        在處理向量夾角為鈍角時,采用剔除法:在a·blt;0中剔除a與b共線,相當于排除a與b的夾角為π(當然也包含0)的情形.這種解法能借鑒到三角形中鈍角問題.

        如,例4也可以采用向量的解法.

        這種解法是最本質的解法.

        這啟發(fā)我們,解三角形問題,完全可以用解析法.

        策略四:用已知角,表示待角,避開增解

        分析:由題意求角A,用余弦定理求邊c.

        ∴a2=7=32+c2-3c,解得c=1或2.

        點評:由正弦定理求邊所構建的方程是一次式,其解也唯一.因此,不會出現(xiàn)增解.與策略一比較,應能體會求邊與求角的不同處理方式.本題中,“銳角三角形ABC”是指A,B,C都是銳角,不能只看一個角或兩個角.本題求邊c,也可以用射影定理求解.c=acosB+bcosA=2.

        策略五:比較函值,確定角圍,避開增解

        分析:求出sinB,cosC,運用誘導公式和兩角和的正弦公式求解.

        點評:比較正弦值,結合正弦定理,得到邊的關系,再根據(jù)大角對大邊、大邊對大角的結論,確定角的范圍,是求解某些三角形問題的常用方式.挖掘隱含條件,縮小角的范圍,是求解三角形問題必須考慮的.

        策略六:二次方程,多解檢驗,避開增解

        (Ⅰ)求角C的大?。?/p>

        (Ⅱ)若a2=2b2+c2,求tanA的值.

        分析:(Ⅰ)根據(jù)向量共線得到關于cosC的方程,解方程并注意范圍;(Ⅱ)由邊的關系聯(lián)想正弦定理,降次、萬能公式或化切,解方程即可.

        (Ⅱ)∵a2=2b2+c2,

        正解1:由余弦定理得c2=a2+b2-ab,

        ∴a2=2b2+c2=2b2+a2+b2-ab,∴ab=3b2,

        ∴a=3b,

        正解2:仿上得a=3b,

        江蘇省南京市六合區(qū)實驗高級中學)

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