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        三角形問(wèn)題中避免增解的常用策略

        2017-12-14 02:03:06江蘇王安寓范賢麗
        關(guān)鍵詞:開方鈍角銳角

        江蘇 王安寓 范賢麗

        三角形問(wèn)題中避免增解的常用策略

        江蘇 王安寓 范賢麗

        計(jì)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要技能.?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是新課標(biāo)六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要起源,更是數(shù)學(xué)后續(xù)發(fā)展思想方法的源泉.?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算貫穿數(shù)學(xué)的基本脈絡(luò),幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落.三角形問(wèn)題中離不開計(jì)算,但有些三角形問(wèn)題的計(jì)算往往會(huì)出現(xiàn)增解,如何避開增解呢?首先,要弄清楚產(chǎn)生增解的原因,然后根據(jù)產(chǎn)生增解的原因?qū)ふ覍?duì)應(yīng)的解決策略.造成解三角形問(wèn)題的增解的原因,主要有運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系開方、由正弦值求角的運(yùn)算、鈍角或銳角的充要條件等等.根據(jù)增解原因,思考對(duì)應(yīng)的解決策略:少用開方、少用正弦、縮小角的范圍、找準(zhǔn)鈍角或銳角的充要條件等等.

        策略一:能用倍角,符號(hào)內(nèi)蘊(yùn),不用開方

        (Ⅰ)求sinB;

        點(diǎn)評(píng):當(dāng)出現(xiàn)平方關(guān)系需要開方時(shí),一定要小心,要判斷清楚符號(hào),才能實(shí)施開方運(yùn)算.當(dāng)題設(shè)中存在倍數(shù)關(guān)系時(shí),要優(yōu)先選擇倍數(shù)關(guān)系,避開出現(xiàn)開方造成增解.

        策略二:能用余弦,或者正切,不用正弦

        分析:由條件易求sinA, sinB,再由和角公式求C的某一三角函數(shù)值.

        由于是限制在三角形中,角的范圍往往是(0,π),因此,要多求余弦或正切,而少用正弦.

        錯(cuò)解:設(shè)P(x,y)在第一象限,

        即a4-16a2+48=0,解得a2=4或12,

        正解:設(shè)P是第一象限的點(diǎn),設(shè)|PE|=m,|PF|=n,則m-n=2a,則余弦定理有

        4c2=m2+n2-mn=(m-n)2+mn,∴mn=4b2,

        策略三:鈍角銳角,充要條件,避開增解

        【例4】鈍角三角形ABC中,a=1,b=2,則最大邊c的范圍是________.

        分析:最大邊所對(duì)的角一定為鈍角.由cosClt;0求得c的范圍.

        錯(cuò)因分析:顯然c不能取很大的值.實(shí)際上,c=5gt;a+b,構(gòu)不成三角形.

        在三角形中,一般用余弦定理就能避開增解,為什么本題出現(xiàn)了增解?請(qǐng)先思考:cosClt;0C為鈍角嗎?也就是說(shuō),cosClt;0是C為鈍角的必要不充分條件.cosClt;0中還包含cosC=-1!C為鈍角lt;Clt;π-1lt;cosClt;0.因此,在附加條件“三角形”下,C為鈍角的充要條件是-1lt;cosClt;0.

        正解:∵c是最大邊,△ABC為鈍角三角形,∴C為鈍角,∴-1lt;cosClt;0,

        點(diǎn)評(píng):在△ABC中,角A為鈍角-1lt;cosAlt;0;角A為銳角0lt;cosAlt;1.

        銳角三角形ABC

        筆者不禁回想起向量夾角為鈍角的問(wèn)題.能借鑒嗎?

        題目(必修4P85練習(xí)5改編)設(shè)向量a=(x,4),b=(-2,-1),向量a與b的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.

        解析:a與b的夾角為鈍角a·blt;0且a與b不共線-2x-4lt;0且-x≠-2×4xgt;-2且x≠8.

        在處理向量夾角為鈍角時(shí),采用剔除法:在a·blt;0中剔除a與b共線,相當(dāng)于排除a與b的夾角為π(當(dāng)然也包含0)的情形.這種解法能借鑒到三角形中鈍角問(wèn)題.

        如,例4也可以采用向量的解法.

        這種解法是最本質(zhì)的解法.

        這啟發(fā)我們,解三角形問(wèn)題,完全可以用解析法.

        策略四:用已知角,表示待角,避開增解

        分析:由題意求角A,用余弦定理求邊c.

        ∴a2=7=32+c2-3c,解得c=1或2.

        點(diǎn)評(píng):由正弦定理求邊所構(gòu)建的方程是一次式,其解也唯一.因此,不會(huì)出現(xiàn)增解.與策略一比較,應(yīng)能體會(huì)求邊與求角的不同處理方式.本題中,“銳角三角形ABC”是指A,B,C都是銳角,不能只看一個(gè)角或兩個(gè)角.本題求邊c,也可以用射影定理求解.c=acosB+bcosA=2.

        策略五:比較函值,確定角圍,避開增解

        分析:求出sinB,cosC,運(yùn)用誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求解.

        點(diǎn)評(píng):比較正弦值,結(jié)合正弦定理,得到邊的關(guān)系,再根據(jù)大角對(duì)大邊、大邊對(duì)大角的結(jié)論,確定角的范圍,是求解某些三角形問(wèn)題的常用方式.挖掘隱含條件,縮小角的范圍,是求解三角形問(wèn)題必須考慮的.

        策略六:二次方程,多解檢驗(yàn),避開增解

        (Ⅰ)求角C的大?。?/p>

        (Ⅱ)若a2=2b2+c2,求tanA的值.

        分析:(Ⅰ)根據(jù)向量共線得到關(guān)于cosC的方程,解方程并注意范圍;(Ⅱ)由邊的關(guān)系聯(lián)想正弦定理,降次、萬(wàn)能公式或化切,解方程即可.

        (Ⅱ)∵a2=2b2+c2,

        正解1:由余弦定理得c2=a2+b2-ab,

        ∴a2=2b2+c2=2b2+a2+b2-ab,∴ab=3b2,

        ∴a=3b,

        正解2:仿上得a=3b,

        江蘇省南京市六合區(qū)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué))

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