江蘇 王安寓 范賢麗
三角形問題中避免增解的常用策略
江蘇 王安寓 范賢麗
計算是數(shù)學學習中的一種重要技能.數(shù)學運算是新課標六大數(shù)學核心素養(yǎng)之一.數(shù)學運算不僅是數(shù)學發(fā)展的重要起源,更是數(shù)學后續(xù)發(fā)展思想方法的源泉.數(shù)學運算貫穿數(shù)學的基本脈絡,幾乎滲透到數(shù)學的每一個角落.三角形問題中離不開計算,但有些三角形問題的計算往往會出現(xiàn)增解,如何避開增解呢?首先,要弄清楚產(chǎn)生增解的原因,然后根據(jù)產(chǎn)生增解的原因尋找對應的解決策略.造成解三角形問題的增解的原因,主要有運用同角三角函數(shù)的平方關系開方、由正弦值求角的運算、鈍角或銳角的充要條件等等.根據(jù)增解原因,思考對應的解決策略:少用開方、少用正弦、縮小角的范圍、找準鈍角或銳角的充要條件等等.
策略一:能用倍角,符號內(nèi)蘊,不用開方
(Ⅰ)求sinB;
點評:當出現(xiàn)平方關系需要開方時,一定要小心,要判斷清楚符號,才能實施開方運算.當題設中存在倍數(shù)關系時,要優(yōu)先選擇倍數(shù)關系,避開出現(xiàn)開方造成增解.
策略二:能用余弦,或者正切,不用正弦
分析:由條件易求sinA, sinB,再由和角公式求C的某一三角函數(shù)值.
由于是限制在三角形中,角的范圍往往是(0,π),因此,要多求余弦或正切,而少用正弦.
錯解:設P(x,y)在第一象限,
即a4-16a2+48=0,解得a2=4或12,
正解:設P是第一象限的點,設|PE|=m,|PF|=n,則m-n=2a,則余弦定理有
4c2=m2+n2-mn=(m-n)2+mn,∴mn=4b2,
策略三:鈍角銳角,充要條件,避開增解
【例4】鈍角三角形ABC中,a=1,b=2,則最大邊c的范圍是________.
分析:最大邊所對的角一定為鈍角.由cosClt;0求得c的范圍.
錯因分析:顯然c不能取很大的值.實際上,c=5gt;a+b,構不成三角形.
在三角形中,一般用余弦定理就能避開增解,為什么本題出現(xiàn)了增解?請先思考:cosClt;0C為鈍角嗎?也就是說,cosClt;0是C為鈍角的必要不充分條件.cosClt;0中還包含cosC=-1!C為鈍角lt;Clt;π-1lt;cosClt;0.因此,在附加條件“三角形”下,C為鈍角的充要條件是-1lt;cosClt;0.
正解:∵c是最大邊,△ABC為鈍角三角形,∴C為鈍角,∴-1lt;cosClt;0,
點評:在△ABC中,角A為鈍角-1lt;cosAlt;0;角A為銳角0lt;cosAlt;1.
銳角三角形ABC
筆者不禁回想起向量夾角為鈍角的問題.能借鑒嗎?
題目(必修4P85練習5改編)設向量a=(x,4),b=(-2,-1),向量a與b的夾角為鈍角,則實數(shù)x的取值范圍是________.
解析:a與b的夾角為鈍角a·blt;0且a與b不共線-2x-4lt;0且-x≠-2×4xgt;-2且x≠8.
在處理向量夾角為鈍角時,采用剔除法:在a·blt;0中剔除a與b共線,相當于排除a與b的夾角為π(當然也包含0)的情形.這種解法能借鑒到三角形中鈍角問題.
如,例4也可以采用向量的解法.
這種解法是最本質的解法.
這啟發(fā)我們,解三角形問題,完全可以用解析法.
策略四:用已知角,表示待角,避開增解
分析:由題意求角A,用余弦定理求邊c.
∴a2=7=32+c2-3c,解得c=1或2.
點評:由正弦定理求邊所構建的方程是一次式,其解也唯一.因此,不會出現(xiàn)增解.與策略一比較,應能體會求邊與求角的不同處理方式.本題中,“銳角三角形ABC”是指A,B,C都是銳角,不能只看一個角或兩個角.本題求邊c,也可以用射影定理求解.c=acosB+bcosA=2.
策略五:比較函值,確定角圍,避開增解
分析:求出sinB,cosC,運用誘導公式和兩角和的正弦公式求解.
點評:比較正弦值,結合正弦定理,得到邊的關系,再根據(jù)大角對大邊、大邊對大角的結論,確定角的范圍,是求解某些三角形問題的常用方式.挖掘隱含條件,縮小角的范圍,是求解三角形問題必須考慮的.
策略六:二次方程,多解檢驗,避開增解
(Ⅰ)求角C的大?。?/p>
(Ⅱ)若a2=2b2+c2,求tanA的值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)向量共線得到關于cosC的方程,解方程并注意范圍;(Ⅱ)由邊的關系聯(lián)想正弦定理,降次、萬能公式或化切,解方程即可.
(Ⅱ)∵a2=2b2+c2,
正解1:由余弦定理得c2=a2+b2-ab,
∴a2=2b2+c2=2b2+a2+b2-ab,∴ab=3b2,
∴a=3b,
正解2:仿上得a=3b,
江蘇省南京市六合區(qū)實驗高級中學)