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        分類討論還是參變分離?
        ——淺議不等式恒成立問題的解法

        2017-12-14 02:04:13河北劉立剛
        關(guān)鍵詞:分離法最值題意

        河北 劉立剛

        分類討論還是參變分離?
        ——淺議不等式恒成立問題的解法

        河北 劉立剛

        函數(shù)導(dǎo)數(shù)問題中不等式恒成立問題一直倍受命題人的青睞,也一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的疑點(diǎn)和高考的熱點(diǎn).由于其中既含有參數(shù)又含有變量,能有效考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

        解決此類問題的常見方法一是不等式變形,使不等式一側(cè)為具體常數(shù)(常常是實(shí)數(shù)0),將另一側(cè)構(gòu)造為關(guān)于變量x的函數(shù),把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的函數(shù)求最值,f(x)gt;0(f(x)lt;0)恒成立?[f(x)]mingt;0([f(x)]maxlt;0),簡稱“函數(shù)法”;二是等價(jià)變形將變量x和參數(shù)a分別置于不等號兩側(cè),f(x)gt;g(a)恒成立?g(a)lt;[f(x)]min(f(x)lt;g(a)恒成立?g(a)gt;[f(x)]max),簡稱“參變分離法”.

        兩種方法都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值,在解決過程中各有利弊:“函數(shù)法”通過分類討論將函數(shù)求最值分為不同情況,把復(fù)雜問題簡單化,但函數(shù)中含參數(shù),導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)符號的不確定性,大部分學(xué)生對于帶參數(shù)的求導(dǎo)結(jié)果的討論會(huì)知難而退;而“參變分離法”通過對字母的分離使恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的給定函數(shù)的最值,避開了對含參因式的分辨以及主次變量的討論,其弊端是分離后有可能使給定函數(shù)形式過于復(fù)雜,最值不易求.

        同學(xué)們在解決此類問題時(shí)總有這樣的糾結(jié):到底用“函數(shù)法”分類討論,還是用“參變分離法”化給定函數(shù)?尤其是做壓軸題時(shí),一旦所確定的方法不合適,不光耗時(shí)耗力,而且想重新改正時(shí)發(fā)現(xiàn)時(shí)間已來不及.那么涉及具體問題時(shí),我們?nèi)绾巍耙蝾}制宜”的解決,下面筆者以三個(gè)例題加以說明:

        1 例題分析

        例1已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+1),若對于任意的x∈(-1,0],總有f(x)≥ax2,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

        解析設(shè)g(x)=f(x)-ax2=x-ln(x+1)-ax2,

        則g(x)≥0在(-1,0]上恒成立,

        若a=0,則g′(x)≤0在(-1,0]上恒成立,

        即g(x)在(-1,0]上單調(diào)遞減,

        g(x)min=g(0)=0,g(x)≥0符合題意;

        g′(x)≤0在(-1,0]上恒成立,

        即g(x)在(-1,0]上單調(diào)遞減,

        g(x)min=g(0)=0,g(x)≥0符合題意;

        g′(x)≤0在(-1,0]上恒成立,

        g(x)在(-1,0]上單調(diào)遞減,

        所以g(x)min=g(0)=0,g(x)≥0符合題意;

        因此g(x)minlt;g(0)=0,不符題意.

        2 例題再思考

        上面兩個(gè)例題通過分析所給不等式的結(jié)構(gòu)得出比較容易解決問題的通法.波利亞對解題過程有著精辟的論述:不斷地變換你的問題,我們必須一再地變化它,重新敘述它,變換它,直到最后成功地找到某些有用的東西為止.其實(shí)解決不等式恒成立問題中有的只能用或更適合用某一種,而有的兩種都可以.比如以上兩個(gè)例題,其實(shí)兩種方法都可以,只不過采取方法不同,導(dǎo)致難易程度有區(qū)別.

        顯然,此法難點(diǎn)在于部分截取構(gòu)造函數(shù)二次求導(dǎo)以及洛必塔法則的使用.

        此例若用“函數(shù)法”難度增大不小,尤其是不等式的處理,不是解出關(guān)于k的不等式,而是通過換元得出其小于0恒成立,避免解“超越不等式”,但技巧性強(qiáng),學(xué)生不易想到.

        3 拓展延伸

        “死板地硬套所選擇的模型乃是愚笨的,這是思維惰性的一種表現(xiàn)”.法無定法,掌握基本方法的基礎(chǔ)上靈活變通地分析問題、解決問題是我們的方向.一個(gè)知識、一種方法的學(xué)習(xí)更重要的意義在于思想的滲透,思維的訓(xùn)練.

        例3(2012·全國高考21題改編)已知a,b∈R,且ex+1≥ax+b對x∈R恒成立,則ab的最大值是

        ( )

        解析1由已知條件得b≤ex+1-ax.

        (ⅰ)若alt;0,則x→-∞時(shí),ex+1-ax→-∞,不等式不恒成立;

        (ⅱ)若a=0,則ab=0;

        (ⅲ)若agt;0,由b≤ex+1-ax得ab≤aex+1-a2x,

        設(shè)f(x)=aex+1-a2x,f′(x)=aex+1-a2=a(ex+1-a),令f′(x)=0,得x=lna-1,當(dāng)x∈(-∞,lna-1)時(shí),f′(x)lt;0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(lna-1,+∞)時(shí),f′(x)gt;0,f(x)單調(diào)遞增,則f(x)min=f(lna-1)=2a2-a2lna.

        點(diǎn)評本題的求解最值問題涉及雙參數(shù),而且兩個(gè)參數(shù)都沒有一些明顯的限制條件,針對雙參數(shù)一方面是配湊分離出所要求的ab這個(gè)整體的不等關(guān)系;另一方面是對參數(shù)的分類討論.

        解析2考慮本題是選擇題的特點(diǎn),遵循“小題小做,小題巧做”的原則,根據(jù)不等式的特點(diǎn),將不等式兩側(cè)變形為初等函數(shù),畫初等函數(shù)圖象,用數(shù)形結(jié)合的思想解題.我們不妨稱為“部分參變分離法”.

        如圖,作f(x)=ex+1和g(x)=ax+b的圖象,由圖可知,要使不等式恒成立,則a≥0.

        若a=0,則g(x)=b,原不等式恒成立?b≤0,此時(shí)ab=0.

        若agt;0,如圖,求ab的最大值分兩步,第一步假定a的值不變,g(x)是隨著b的變化而變化的平行直線系.

        點(diǎn)評“部分參變分離”,將代數(shù)問題幾何化,數(shù)形結(jié)合,利用初等函數(shù)的圖象變化直觀判斷解決問題,節(jié)省時(shí)間,提高能力.

        4 小結(jié)

        “一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個(gè)方面,使得通過問題的解決,好像通過一道門戶,把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”解決不等式恒成立問題到底是進(jìn)行分類討論還是參變分離,需要在觀察和分析的基礎(chǔ)上獲得,當(dāng)然也要有解題經(jīng)驗(yàn)的積累.

        本文中解不等式恒成立問題在方法的選取上要注意,“函數(shù)法”重點(diǎn)是求導(dǎo)以后對參數(shù)的分類討論,參數(shù)的不同取值范圍對于導(dǎo)數(shù)的正負(fù)要容易判斷;“參變分離法”一是盡量使參變分離容易,要避免討論,二是分離以后所得的給定函數(shù)的最值能相對容易地求出來.

        河北省定州中學(xué))

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