黃永清

【摘要】本文首先簡(jiǎn)要概述了HPM的概念，指出了數(shù)學(xué)史與高等數(shù)學(xué)教學(xué)整合的重要性與必要性，最后基于悖論實(shí)例，探討了HPM視角下的高等數(shù)學(xué)教學(xué)。

【關(guān)鍵詞】HPM；高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)史

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）10-0139-02

國(guó)際社會(huì)將關(guān)于數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史之間關(guān)系的研究統(tǒng)稱HPM。現(xiàn)今，HPM研究組織已成立近40年，關(guān)于此領(lǐng)域的理論研究及實(shí)踐，均得到較大程度發(fā)展、完善與補(bǔ)充，但從總體上來(lái)看，存在著較嚴(yán)重的重理論而輕課堂實(shí)踐的情況。至此，本文基于HPM視角，對(duì)高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行了較深入研究，望能通過(guò)高等數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)史的整合，來(lái)調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)質(zhì)量。

一、HPM概述

HPM本意是指數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育間的關(guān)聯(lián)性，其作為一個(gè)具有相對(duì)特殊性的學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域，于1972年首次出現(xiàn)，由第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)提出，并且還針對(duì)此領(lǐng)域?qū)ｉT組建了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組（HPM）。對(duì)于HPM研究目標(biāo)而言，就是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歷史有針對(duì)性、高效化運(yùn)用，提升數(shù)學(xué)教育的整體質(zhì)量與水平。HPM注重的主要內(nèi)容為：數(shù)學(xué)史與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，多元文化的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)史與學(xué)生的困難，數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的關(guān)系，實(shí)際教學(xué)中數(shù)學(xué)原始文本的應(yīng)用及數(shù)學(xué)史與發(fā)生教學(xué)法等。

二、數(shù)學(xué)史與高等數(shù)學(xué)教學(xué)整合的重要性與必要性

數(shù)學(xué)有著兩千多年的歷史，在人類早期社會(huì)，數(shù)學(xué)與宗教、藝術(shù)、語(yǔ)言等共同構(gòu)建起了人類文明。數(shù)學(xué)史作為對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程及內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行研究的一門科學(xué)，能夠?qū)?shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法即數(shù)學(xué)概念的起源、發(fā)展等進(jìn)行系統(tǒng)化研究。研究數(shù)學(xué)史，目的有三：其一，歷史目的，即恢復(fù)歷史的原有形態(tài)；其二，數(shù)學(xué)的目的，實(shí)現(xiàn)古為今用，為更好的開(kāi)展數(shù)學(xué)研究及強(qiáng)化自主創(chuàng)先，提供滿足實(shí)際需要的歷史信息與資料；其三，教育的目的，即把數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)前，此做法已成為一種普遍現(xiàn)象與趨勢(shì)。針對(duì)數(shù)學(xué)史教育來(lái)講，就是教師在數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)際講授過(guò)程中，利用實(shí)證，將某一知識(shí)或概念的誕生、發(fā)展與完善的過(guò)程，詳細(xì)介紹于學(xué)生，另將此知識(shí)或概念在發(fā)展進(jìn)程中所遇到的各種問(wèn)題與困難向?qū)W生指明，把數(shù)學(xué)家們?nèi)绾螌⒅荛_(kāi)或戰(zhàn)勝的方法教于學(xué)生。當(dāng)前，傳統(tǒng)專才、英才的教育思想，已難以適應(yīng)當(dāng)今社會(huì)的教育、發(fā)展需要，而通識(shí)教育、素質(zhì)教育才為所需與首要，而在此方面數(shù)學(xué)史有著突出的促進(jìn)作用與指導(dǎo)意義。針對(duì)數(shù)學(xué)史的教育來(lái)講，主要包含三大目的，即培養(yǎng)學(xué)生的人文素養(yǎng)；激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；幫助學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)。

三、實(shí)例探討——悖論

數(shù)學(xué)悖論即在整個(gè)數(shù)學(xué)體系中，既有數(shù)學(xué)規(guī)范中所出現(xiàn)的各種現(xiàn)今難以解決的認(rèn)識(shí)矛盾，而在新的數(shù)學(xué)規(guī)范中，此種認(rèn)識(shí)矛盾可以得到有效解決?？v觀人類數(shù)學(xué)歷史，共有4次真正意義上的數(shù)學(xué)高峰；首次發(fā)生于古希臘演繹數(shù)學(xué)時(shí)期，第二次為萊布尼茲與牛頓主導(dǎo)下的微積分時(shí)期，第三次以希爾伯特等人為中心的形式主義公理化時(shí)期；對(duì)于第四次來(lái)講，便是以計(jì)算機(jī)技術(shù)為重要載具或標(biāo)志的新數(shù)學(xué)時(shí)期。另外，在數(shù)學(xué)歷史上，還有三次嚴(yán)重違紀(jì)，即發(fā)生于上個(gè)世紀(jì)初的由集合論悖論產(chǎn)生的危機(jī)、17～18世紀(jì)與微積分基礎(chǔ)爭(zhēng)論相關(guān)的貝克萊悖論危機(jī)及發(fā)生于古希臘時(shí)期的希帕索斯悖論危機(jī)，這些危機(jī)與上述數(shù)學(xué)高峰之間存在著緊密關(guān)系，對(duì)于此種關(guān)系而言，乃是數(shù)學(xué)能夠趨向完備的科學(xué)必然。針對(duì)起初階段的高等數(shù)學(xué)教學(xué)而言，通過(guò)將那些由數(shù)學(xué)悖論所導(dǎo)致的數(shù)學(xué)危機(jī)介紹于學(xué)生，來(lái)幫助學(xué)生更加深入、全面了解數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)，知曉其乃是一門矛盾與發(fā)展并存的學(xué)科。

18世紀(jì)初，為了更好的推動(dòng)工業(yè)革命進(jìn)程，萊布尼茲與牛頓首次創(chuàng)立了微積分理論，而且在實(shí)踐中得到成功應(yīng)用，許多數(shù)學(xué)家對(duì)此理論的準(zhǔn)確度與可靠性未有質(zhì)疑。但對(duì)于兩人的理論而言，其基于無(wú)窮小分析基礎(chǔ)上而建立，他們?cè)诶斫馀c運(yùn)用無(wú)窮小量的基本概念方面是較混亂的，完成無(wú)窮小分析之后，還需要證明其乃是囊括有邏輯矛盾的。1734年，英國(guó)數(shù)學(xué)家貝克萊猛烈抨擊了當(dāng)時(shí)的微積分學(xué)說(shuō)，比如他對(duì)牛頓提出了質(zhì)疑，在計(jì)算 的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先把x的值設(shè)定為一個(gè)非0的增量Δx，利用 ，便可得到 ，被Δx除，得2x+Δx，最后卻突然設(shè)定Δx=0，得出導(dǎo)數(shù)是2x，這是依據(jù)雙重錯(cuò)誤而得到的正確但不科學(xué)的結(jié)果。在牛頓的理論中，其一會(huì)將無(wú)窮小量說(shuō)成0，一會(huì)又非0。在數(shù)學(xué)史上，通常將貝克萊的問(wèn)題統(tǒng)稱為“貝克萊悖論”?；诋?dāng)時(shí)的無(wú)窮小量應(yīng)用來(lái)講，其須為0，又非0，但基于形式邏輯來(lái)考量，其矛盾特質(zhì)更為凸顯。發(fā)現(xiàn)此悖論，在當(dāng)時(shí)引發(fā)了比較嚴(yán)重的思想混亂，由此引發(fā)了整個(gè)數(shù)學(xué)史進(jìn)程中的第二次危機(jī)，使得微積分基礎(chǔ)理論的爭(zhēng)論持續(xù)了將近200年。隨后，一些數(shù)學(xué)家開(kāi)始著手多角度研究，試圖重新劃定微積分，使其在可靠基礎(chǔ)上重新建立。經(jīng)過(guò)柯西、魏爾斯特拉斯、拉格朗日、伯努利家族等數(shù)學(xué)家的不斷努力，最后終于把微積分基礎(chǔ)理論歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，而在上個(gè)世紀(jì)70年代時(shí)，建立了較完整的實(shí)數(shù)體系，另外，還構(gòu)建了嚴(yán)謹(jǐn)、可靠的實(shí)數(shù)理論與極限理論，為分析學(xué)發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。通過(guò)將此類數(shù)學(xué)悖論講解于學(xué)生，學(xué)生可以從中了解到悖論是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力源泉，激發(fā)學(xué)生的深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，使其更加積極的參與到了解第一次、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)中，更加全面的了解整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上，在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)當(dāng)中融入數(shù)學(xué)史，除了能夠達(dá)到強(qiáng)化數(shù)學(xué)人文教育的目的之外，還能使整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂變得不再無(wú)味與枯燥，還能較好的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更加全面、深入、細(xì)致的掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容，為后續(xù)知識(shí)學(xué)習(xí)奠定扎實(shí)基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)

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