張國利

【摘要】本文統(tǒng)計了華東師范大學(xué)編寫的《數(shù)學(xué)分析（第四版）》教材中的定理、習(xí)題和提及的數(shù)學(xué)家，研究了這些數(shù)學(xué)家傳記以及一些數(shù)學(xué)史在課堂上的教育價值，從而激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)分析課堂上的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的人文素質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；數(shù)學(xué)家；數(shù)學(xué)史；人文素質(zhì)

【中圖分類號】G642.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）13-0055-02

在我校數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育和統(tǒng)計學(xué)等幾個本科專業(yè)里，都采用了華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《數(shù)學(xué)分析（第四版）》（以下簡稱《數(shù)》）作為授課教材?！稊?shù)》分為上下兩冊，其內(nèi)容難易適當(dāng)，習(xí)題豐富，章節(jié)設(shè)置合理，很多高校都采用了此書作為教材，一般用3個學(xué)期完成教學(xué)。教學(xué)過程中，我們可以采用毛羽輝等編著的《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（ 上下冊）》作為輔導(dǎo)教材，可以推薦學(xué)生把東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系劉玉璉等編著的《數(shù)學(xué)分析講義》作為配套教材，當(dāng)然，對學(xué)有余力的學(xué)生也可以推薦他們閱讀張筑生、歐陽光中、陳紀(jì)修、謝惠民等或直接閱讀Amann、Apostol或Zorich等各自編著的數(shù)學(xué)分析著作。

《數(shù)》中有大量的定理，定義和習(xí)題以及數(shù)學(xué)家的名字，由于和高中數(shù)學(xué)思維的巨大差異，初學(xué)此書的高中畢業(yè)生大多會略感不適。本文從對這些定理和數(shù)學(xué)家的統(tǒng)計數(shù)據(jù)得出了對本教材貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家，通過對他們的介紹，可以提高對教材的可教性和學(xué)生的易學(xué)性，這些課堂上有益的嘗試，確實收到了一些理想的教學(xué)效果。

一、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家傳記的人文教育價值

無論哪一本數(shù)學(xué)分析教材都會有大量的定理及其證明，經(jīng)作者統(tǒng)計，《數(shù)》正文中共有244個定理（等價定理或推論不計入），提到48位數(shù)學(xué)家（含習(xí)題中的），以數(shù)學(xué)家命名的定理有34個，約占定理總數(shù)的13.9%。該書共有966道習(xí)題，其中課后習(xí)題中的基礎(chǔ)題有490道，約占50.7%，提高題273道，約占28.3%，總復(fù)習(xí)題203道，約占21%。[1]從這個數(shù)據(jù)來看，學(xué)生要至少做好全書一半以上的習(xí)題才能算基本掌握教材，要學(xué)精教材至少要做好70%以上的習(xí)題，但從作者的小范圍調(diào)查來看，我校學(xué)生普遍做題沒有達(dá)到50%甚至更低，這是一個需要注意的問題。

大部分的數(shù)學(xué)教材都在很直接地向?qū)W生介紹各種定義、定理和直接的證明，而對這些教學(xué)內(nèi)容的背景提的不多，其實這是一個很好的對學(xué)生進(jìn)行人文教育的機會，在課堂上對學(xué)生的滲透也是最好的提高人文素質(zhì)的方式之一。季羨林大師在首屆北大論壇上曾講到：“在21世紀(jì)，文理交融是學(xué)術(shù)發(fā)展的必由之路，文理雙方的專家都要考慮交融的問題?！盵2]其實，每一個定義、定理的產(chǎn)生背后都有很多數(shù)學(xué)家研究的艱辛歷程，有該問題產(chǎn)生的萌芽、錯誤、改進(jìn)和推廣，了解這些問題背景，不僅對學(xué)好本門課程的學(xué)習(xí)有利，也會提高學(xué)生的人文素質(zhì)，對后續(xù)課程也有很好的影響。因此，作者在《數(shù)》的教學(xué)過程中，越來越體會到對數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家傳記貫穿到教學(xué)中的重要性，為此專門搜集了《數(shù)》中出現(xiàn)的全部數(shù)學(xué)家傳記并整理裝訂成4冊共約500頁的傳記以便為教學(xué)服務(wù)，此外，作者還正在整理《數(shù)》中出現(xiàn)的著名定理或數(shù)學(xué)概念的研究歷程編輯成冊以方便教學(xué)。同時作者也積極向?qū)W生推薦一些如吳文俊或林壽的《數(shù)學(xué)史》、齊民友的《重溫微積分》、克萊因（Felix Klein，德國數(shù)學(xué)家、教育家，1849.4.25-1925.6.22，在群論、復(fù)分析和非歐幾何等領(lǐng)域有重要貢獻(xiàn)）原著，舒湘芹等譯的《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》、John Stillwell（澳大利亞，1942-）原著，袁向東等譯的《數(shù)學(xué)及其歷史》等數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)科普著作。

著名華裔數(shù)學(xué)家丘成桐（1949-）說過“多讀幾部科學(xué)家傳記比參加奧賽訓(xùn)練要好的多，培養(yǎng)學(xué)生的興趣太重要了”。[3]作為數(shù)學(xué)系本科《數(shù)》課程的教師，有必要對數(shù)學(xué)家傳記或數(shù)學(xué)史的教育價值進(jìn)行研究。從數(shù)學(xué)家傳記中，我們可以探索其個人或順利、或挫折的成長經(jīng)歷以及社會環(huán)境對個人成長的影響，可以看到教材上沒有提到的他們對數(shù)學(xué)的具體貢獻(xiàn)，由此可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，如介紹魏爾斯特拉斯是如何培養(yǎng)教育自己的學(xué)生、歐拉在視力減退的情況下如何著作等身、英年早逝的數(shù)學(xué)家阿貝爾的傳奇故事等。蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基（1918-1970）說過：“所有智力方面的工作都要依賴于興趣?！?[4]強烈的好奇心，是引發(fā)興趣的重要來源。適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生介紹曾經(jīng)解決或尚未解決的數(shù)學(xué)問題能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，如《數(shù)》上冊第46頁函數(shù)極限的（ε，δ）定義產(chǎn)生過程：18世紀(jì)初，柯西在他的某些文章中已經(jīng)開始使用ε，δ這一類符號，但沒有提出函數(shù)極限的（ε，δ）定義。1817年波爾扎諾（Bernard Bolzano，捷克數(shù)學(xué)家，1781.10.5-1848.12.18）第一個提出極限的（ε，δ）定義，最終由魏爾斯特拉斯提出極限的現(xiàn)代（ε，δ）定義，再加上后來戴德金等人提出的實數(shù)理論才奠定了分析嚴(yán)格化的基礎(chǔ)。第204頁黎曼積分的產(chǎn)生過程及其缺陷：對于定義在有界閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，在柯西定義的積分里面，，其中δ是對[a，b]分割的模，是每一個分割小區(qū)間的左端點，柯西在證明連續(xù)函數(shù)一定是（柯西）可積的證明過程是不完美的，而且其定義也是有局限性的，后來黎曼改進(jìn)了柯西的定義，把柯西積分定義中的改為中的任一點ξi，于是對柯西積分只適用于任一點震蕩為0的函數(shù)，黎曼積分則將其推廣到了震蕩可以大于0的情形。[5]當(dāng)然黎曼積分在如積分與極限換序運算等方面的不便更促使了Lebesgue（法國數(shù)學(xué)家，1875.6.28-1941.7.26）積分的產(chǎn)生和發(fā)展。下冊第5頁的格蘭迪（Luigi Guido Grandi，意大利數(shù)學(xué)家，1671.10.1-1742.9.4）級數(shù)：這個級數(shù)發(fā)散很好證明，但是其切薩羅（Ernesto Cesàro，意大利數(shù)學(xué)家，1859.3.12-1906.9.12）和卻等于，其原因就在于我們對級數(shù)和的定義有差異。第14頁p級數(shù)斂散性的研究歷程：ζ（1）稱為調(diào)和級數(shù)，其發(fā)散性首先被奧雷斯姆（Nicole Oresme，法國數(shù)學(xué)家，1325-1382）在1350年證明。ζ（2）時是著名的巴塞爾問題（Basel Problem），1735年，年僅28歲的歐拉得到了經(jīng)典的結(jié)果ζ（2），盡管一開始的證明并不完美，但從此在數(shù)學(xué)屆名聲大振。ζ（3）為稱為阿佩里（Roger Apéry，法國，1916-1994）常數(shù)，1979年Apéry證明了ζ（3）是個無理數(shù)，更多情況下的ξ（p）是有理數(shù)還是無理數(shù)還不清楚。一般情況下，稱ζ（s）為黎曼zeta函數(shù)，其中s為實部大于1的復(fù)數(shù)。這個函數(shù)在解析數(shù)論中有著極其重要的地位尤其是與素數(shù)的分布有著密切的聯(lián)系，它在物理學(xué)、概率論和應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)中也有廣泛應(yīng)用。以上幾個例子我們可以看到教師在這里講授的每一個小知識點都可以變成課堂上一段段生動的學(xué)習(xí)素材，花費適當(dāng)?shù)臅r間介紹給學(xué)生可以起到點綴豐富數(shù)學(xué)課堂、增加數(shù)學(xué)知識的親和力、提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣等效果。事實上，只有那些熱愛數(shù)學(xué)，并能把數(shù)學(xué)看成活生生的、不斷發(fā)展的教師才能真正激起學(xué)生的好奇心和求知欲。

我們對學(xué)生的培養(yǎng)，其核心是如何做人，如何為人處世體現(xiàn)了一定的人文精神。課堂教學(xué)僅僅傳遞知識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們教育的根本要使學(xué)生對人生價值有所領(lǐng)悟并產(chǎn)生熱愛生活和事業(yè)的情感，樹立遠(yuǎn)大人生目標(biāo)。1996年，聯(lián)合國教科文組織21世紀(jì)委員會發(fā)布的報告《學(xué)習(xí)：內(nèi)在的財富》提出了學(xué)習(xí)的四大支柱即：學(xué)會求知、學(xué)會做事、學(xué)會共處、學(xué)會生存。從數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家的傳記來看，數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程上有著大量相互交流，相互合作的例子，這正是數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)課堂上提高學(xué)生人文素質(zhì)的最好的教育方式之一。

二、結(jié)語

數(shù)學(xué)教師本身的整體素質(zhì)和人格魅力，直接影響著學(xué)生個人素質(zhì)的提高，如果在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，能及時領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的魅力和美，體驗到數(shù)學(xué)的價值，這將使他們終身受益，這跟我們的校訓(xùn)：敬業(yè)奉獻(xiàn)，為人師表和教風(fēng)：德以修己，教以育人也是一脈相承的。

參考文獻(xiàn)

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版，上下冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]婁延常.高等學(xué)校科學(xué)教育與人文教育融合路徑的探討[J].中國高教研究，2003（18）1：2-24.

[3]丘成桐.數(shù)學(xué)家之路-從“龐加萊猜想”說起[J]，上海：光明日報，2006，6，29（6）.

[4]胡作玄，鄧明立.大有可為的數(shù)學(xué)[M]，石家莊：河北教育出版社，2006.

[5]齊民友.從積分概念的發(fā)展看數(shù)學(xué)分析基本概念的發(fā)展（續(xù)2）[J].高等數(shù)學(xué)研究，2015.1.endprint